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1、（五十七）二项分布与正态分布 一般难度题 全员必做 1若同时抛掷两枚骰子，当至少有5 点或 6 点出现时，就说这次试验成功，则在3 次 试验中至少有1次成功的概率是() A. 125 729 B. 80 243 C. 665 729 D.100 243 解析： 选 C一次试验中，至少有5 点或 6点出现的概率为1 1 1 3 11 3 1 4 9 5 9，设 X 为 3 次试验中成功的次数，则 XB 3， 5 9 ，故所求概率P(X1)1P(X0) 1C 0 3 5 9 0 4 9 3665 729，故选 C. 2设随机变量服从正态分布N( ， 2)，函数 f(x) x24x 没有零点的概率是
2、1 2， 则 () A 1 B4 C 2 D不能确定 解析： 选 B根据题意函数f(x)x2 4x 没有零点时， 164 4.根据正态曲线的对称性，当函数f(x)x 24x没有零点的概 率是 1 2时， 4. 3为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30 项基 础设施类工程、20 项民生类工程和10 项产业建设类工程现有3 名民工相互独立地从这 60 个项目中任选一个项目参与建设，则这 3 名民工选择的项目所属类别互异的概率是() A. 1 2 B.1 3 C. 1 4 D.1 6 解析： 选 D记第 i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事 件
3、 Ai、Bi、Ci，i 1、2、3.由题意知，事件Ai、Bi、Ci(i1、2、3)相互独立，则 P(Ai) 30 60 1 2，P(B i)20 60 1 3，P(Ci) 10 60 1 6(i1、2、 3)，故这 3 名民工选择的项目所属类别互异的 概率是 PA 3 3P(AiBiCi) 6 1 2 1 3 1 6 1 6.选 D. 4 某银行规定， 一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误， 该银行卡将被锁定小 王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他 常用的6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试若密码正确，则结 束尝试；否则继续
4、尝试，直至该银行卡被锁定 (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求 X 的分布列和数学期望 解： (1)设“ 当天小王的该银行卡被锁定” 为事件 A，则 P(A) 5 6 4 5 3 4 1 2. (2)依题意得， X 所有可能的取值是1,2,3.又 P(X 1)1 6，P(X2) 5 6 1 5 1 6，P(X3) 5 6 4 51 2 3.所以 X 的分布列为 X 123 P 1 6 1 6 2 3 所以 E(X) 1 1 62 1 6 3 2 3 5 2. 5甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互
5、不影响，只要有一队获胜4 场就结束比赛现已比赛了4 场且甲篮球队胜3 场，已知甲球 队第 5,6 场获胜的概率均为 3 5 ，但由于体力原因，第7 场获胜的概率为 2 5. (1)求甲队以4 3获胜的概率； (2)设 X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列和数学期望 解： (1)设甲队以43 获胜的事件为B， 甲队第5,6 场获胜的概率均为 3 5，第 7 场获胜的概率为 2 5， 甲队以43 获胜的概率P(B) 1 3 5 2 2 5 8 125， 甲队以43 获胜的概率为 8 125. (2)随机变量X 的可能取值为5,6,7，P(X5) 3 5，P(X6) 1 3 5 3 5 6
6、25， P(X 7) 1 3 5 22 5 1 3 5 2 1 2 5 4 25，随机变量 X 的分布列为 X 567 P 3 5 6 25 4 25 E(X)5 3 5 6 6 25 7 4 25 139 25 . 中档难度题 学优生做 1某公司甲、乙、丙三位员工参加某项专业技能测试，每人有两次机会，当且仅当第 一次不达标时进行第二次测试根据平时经验，甲、乙、丙三位员工每次测试达标的概率 分别为 1 2， 2 3， 1 2，各次测试达标与否互不影响 (1)求甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率； (2)记甲、乙、丙三位员工中达标的人数为X，求 X 的分布列和数学期望 解： (1)甲员工需测
7、试两次才达标的概率为1 1 2 1 2 1 4；乙员工需测试两次才达标的 概率为1 2 3 2 3 2 9.因为各次测试达标与否互不影响，所以甲、乙两位员工均需测试两次 才达标的概率为 1 4 2 9 1 18. (2)由题意可知，甲员工测试达标的概率为 1 2 1 1 2 1 2 3 4， 乙员工测试达标的概率为 2 3 1 2 3 2 3 8 9， 丙员工测试达标的概率为 1 2 1 1 2 1 2 3 4. 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P(X 0) 1 3 4 1 8 9 1 3 4 1 144， P(X 1)3 4 1 8 9 1 3 4 1 3 4 8 9 1 3
8、4 1 3 4 1 8 9 3 4 7 72， P(X 2)3 4 8 9 13 4 3 4 1 8 9 3 4 1 3 4 8 9 3 4 19 48 ， P(X 3)3 4 8 9 3 4 1 2. 所以随机变量X 的分布列为 X 0123 P 1 144 7 72 19 48 1 2 E(X)0 1 1441 7 722 19 483 1 2 43 18. 2为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100 名家用轿车驾驶 员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55 名男性驾驶员中，平均 车速超过100 km/h 的有 40 人，不超过100 km/h 的有
9、 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均 车速超过100 km/h 的有 20 人，不超过100 km/h 的有 25 人 (1)完成下面2 2 列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h 与性别 有关”？ 平均车速超过100 km/h平均车速不超过100 km/h总计 男性驾驶员 女性驾驶员 总计 附： K 2 n adbc 2 ab cd ac bd ，其中 na bcd. P(K 2 k 0)0.1500.1000.0500.0100.0050.001 k02.0722.7063.8416.6357.87910.828 (2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100
10、 km/h 的人中随机抽取2 人，求这 2 人 恰好是 1 名男性驾驶员和1 名女性驾驶员的概率； (3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3 辆，记这3 辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆数为X， 求 X 的分布列和数学期望E(X) 解： (1)完成的 2 2 列联表如下： 平均车速超过100 km/h平均车速不超过100 km/h总计 男性驾驶员401555 女性驾驶员202545 总计6040100 K 2100 40251520 2 55456040 8.2497.879，所以有 99.5% 的把握认为 “平均车速超过 100 km/h 与
11、性别有关 ” (2)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40 人，从中随机抽取2 人的方法总数为C 2 40， 记“ 这 2 人恰好是1 名男性驾驶员和1 名女性驾驶员”为事件 A，则事件A 所包含的基本 事件数为C 1 15C 1 25，所以所求的概率 P(A) C 1 15C 1 25 C 2 40 15 25 20 39 25 52. (3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1 辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性 驾驶员的概率为 40 100 2 5，故 XB 3， 2 5 . 所以 P(X0)C0 3 2 5 0 3 5 327 125； P(X 1)C 1 3 2
12、5 3 5 254 125； P(X 2)C 2 3 2 5 2 3 5 36 125； P(X 3)C 3 3 2 5 3 3 5 0 8 125. 所以 X 的分布列为 X 0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 E(X)0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125 6 5 或E X 3 2 5 6 5 . 较高难度题 学霸做 1甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛双方约定： 比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)； 双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场已知甲俱乐部派出队员A1，A2， A3，其中 A3只参加第三场比赛，另
13、外两名队员A1，A2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员 B1，B2，B3，其中 B1参加第一场与第五场比赛， B2参加第二场与第四场比赛，B3只参加第 三场比赛 根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表： A1A2A3 B1 5 6 3 4 1 3 B2 2 3 2 3 1 2 B3 6 7 5 6 2 3 (1)若甲俱乐部计划以30 取胜，则应如何安排A1，A2两名队员的出场顺序，使得取 胜的概率最大？ (2)若 A1参加第一场与第四场比赛， A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结 果互不影响， 设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X， 求 X 的分布列及
14、数学期望E(X) 解： (1)设 A1，A2分别参加第一场，第二场，则P1 5 6 2 3 2 3 10 27，设 A 2，A1分别参加 第一场、第二场，则P2 3 4 2 3 2 3 1 3， P1P2，甲俱乐部安排 A1参加第一场，A2参加 第二场，则以30 取胜的概率最大 (2)比赛场数X 的所有可能取值为3,4,5，P(X3) 5 6 2 3 2 3 1 6 1 3 1 3 7 18， P(X 4) 5 6C 1 2 2 3 1 3 2 3 1 6 2 3 31 6C 1 2 1 3 2 3 1 3 5 6 1 3 319 54， P(X 5)1P(X3) P(X 4) 7 27， X
15、 的分布列为 X 345 P 7 18 19 54 7 27 E(X)3 7 184 19 545 7 27 209 54 . 2(2018 东北三省四市一模)近两年双11 网购受到广大市民的热捧某网站为了答谢 老顾客， 在双 11 当天零点整， 每个金冠买家都可以免费抽取200 元或者 500 元代金券一张， 中奖率分别是 2 3和 1 3.每人限抽一次， 100% 中奖小张、小王、小李、小赵4 个金冠买家约定 零点整抽奖 (1)试求这 4 人中恰有 1 人抽到 500 元代金券概率； (2)这 4 人中抽到200 元、 500 元代金券的人数分别用X、Y 表示，记 XY，求随机变 量 的分
16、布列与数学期望 解： (1)设“这 4人中恰有i 人抽到 500 元代金券 ”为事件 Ai， 其中 i0,1,2,3,4， 则 P(A1) C 1 4 1 3 1 2 3 332 81. (2)易知 可取 0,3,4， P( 0)P(A0)P(A4)C 0 4 1 3 0 2 3 4C4 4 1 3 42 3 016 81 1 81 17 81， P( 3)P(A1)P(A3)C 1 4 1 3 12 3 3C3 4 1 3 32 3 132 81 8 81 40 81. P( 4)P(A2)C 2 4 1 3 2 2 3 224 81. 的分布列为 034 P 17 81 40 81 24 81 E( )0 17 813 40 814 24 81 8 3.