函数与导数文-高考文科数学试题专题分类汇编.pdf

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1、函数与导数 1 【 2018 年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】 D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（ 1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置， 由函数的值域，判断图象的上、下位置；（ 2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（ 3）由函数的奇偶 性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复 2 【 2018 年天津卷文】已知，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小 关系 . 详解：由题意可知：，即，即，

2、 ，即，综上可得：. 本题选择D选项 . 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数 不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时， 若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指 数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 3 【 2018 年新课标I 卷文】设函数，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 D 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题， 在求解的过程中，需要利用

3、函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数， 从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组， 从而求得结果. 4 【 2018 年新课标I 卷文】设函数若为奇函数，则曲线在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】 D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要 确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得 相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5 【 2018 年全国卷文】函数

4、的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】 D 【解析】分析：由特殊值排除即可 详解：当时，排除 A,B., 当时，, 排除 C 故正确答案选D. 点睛：本题考查函数的图像，考查了特殊值排除法，导数与函数图像的关系，属于中档题。 6 【 2018 年全国卷文】下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A. B. C. D. 【答案】 B 点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。 7 【 2018 年浙江卷】已知R，函数f(x)=，当 =2 时，不等式f(x)8- 8ln2 ； （）若a3-4ln2 ，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x

5、) 有唯一公共点 【答案】（）见解析（）见解析 【解析】分析: （）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2) 为，利用 基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（）一方面利用零点存在定理证明函数 有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多 一个零点 .两者综合即得结论. ，所以 x（0，16）16 （16，+） - 0 + 2-4ln2 所以g（x）在 256 ，+）上单调递增，故，即 （）令m=，n=，则f（m）kma|a|+kka0，f（n） kna0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题

6、策略：(1) 构造差函数. 根据差函数导函数符 号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般 思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函 数. 19 【2018 年文北京卷】设函数. （）若曲线在点处的切线斜率为0，求a； （）若在处取得极小值，求a的取值范围 . 【答案】（）（） 解： （）因为，所以. ，由题设知，即，解得. （）方法一：由（）得. 若a1，则当时，；当时，. 所以在x=1 处取得极小值 . 若，则当时，所以. 所以 1 不是的极小值点 . 综上可知，a的取值范围是. 方法

7、二：. （1）当a=0 时，令得x=1.随x的变化情况如下表： x1 + 0 - 极大值 在x=1 处取得极大值，不合题意. （2）当a0 时，令得. 当，即a=1时， 在 上单调递增，无极值，不合题意. 当，即 01 时，随x的变化情况如下表： x + 0 -0 + 极大值极小值 在x=1 处取得极小值，即a1 满足题意 . （3）当a2 时，f （x）0所以f（x）在（ 0，2）单调递减，在（2，+）单调递增 （2）当a 时，f（x）设g（x）=，则当 01 时，g（x）0所以x=1 是g（x）的最小值点故当x0时，g（x）g（1）=0因此，当 时， 点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，

8、涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单 调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之 后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时 候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果. 21 【2018 年江苏卷】记分别为函数的导函数若存在，满足且 ，则称为函数与的一个“S点” （1）证明：函数与不存在“S点”； （2）若函数与存在“S点”，求实数a的值； （3） 已知函数， 对任意， 判断是否存在， 使函数与在区间 内存在“S点”，并说明理由 【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任

9、意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（ 0， +）内存在“S点” 详解：解：（ 1）函数f（x）=x，g（x）=x 2+2x-2，则 f（x） =1，g（x）=2x+2 由f（x）=g（x）且f（x）= g（x） ，得，此方程组无解， 因此，f（x）与g（x）不存在“S”点 （2）函数，则 设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f（x0）与g（x0） ，得 ，即， （* ） 得，即，则当时，满足方程组（*） ，即为f（x）与g（x） 的“S”点因此，a的值为 此时，满足方程组（ * ） ，即是函数f（x）与g（x）在区间（ 0，1）内的一个“S点” 因此，

10、对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（ 0，+）内存在“S点” 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单 调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底 还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 22 【2018 年江苏卷】 某农场有一块农田，如图所示， 它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点） 和线段MN构成已知圆O的半径为40 米，点P到MN的距离为50 米现规划在此农田上修建两个温室大 棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状

11、为，要求均在线段上，均在圆 弧上设OC与MN所成的角为 （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2） 若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求 当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sin cos+cos）平方米，CDP的面积为 1600（cos sin cos） ，sin 的取值范围是 ， 1） （2）当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 详解： 解： （1）连结PO并延长交MN于H，则PHMN，所以OH=10过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE=， 故OE=40cos

12、，EC=40sin ， 则矩形ABCD的面积为240cos（40sin +10）=800（4sin cos+cos） ， CDP的面积为240cos （4040sin ）=1600（cossin cos） 过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 令GOK=0，则 sin 0= ，0（ 0， ） 当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以 sin 的取值范围是 ， 1） 答：矩形ABCD的面积为800（ 4sin cos+cos）平方米，CDP的面积为 1600（cos sin cos） ，sin 的取值范围是 ， 1） （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积

13、年产值之比为43， 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0） ， 则年总产值为4k800（ 4sin cos+cos）+3k1600（ cossin cos ） =8000k（sin cos+cos） ， 0， ） 设f（）= sin cos+cos， 0， ） ， 则 令，得 = ，当 （0， ）时，所以f（）为增函数； 当 （ ， ）时， 所以f（）为减函数，因此，当= 时，f（）取到最大值 答：当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解 决问题 . 23 【2018 年

14、全国卷文】已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时， 【答案】（1）切线方程是（ 2）证明见解析 （2）当时，令，则 当时，单调递减；当时，单调递增； 所以因此 点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时， , 令，将问题转化为证明很关键， 本 题难度较大。 24 【2018 年全国卷II文】已知函数 （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点 【答案】（1）f（x）在（，） ， （，+）单调递增，在（，）单调递减 （2）f（x）只有一个零点 详解：（1）当a=3 时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0 解得x=或 x=当x（

15、，）（，+）时，f （x）0；当x（，）时， f （x）0故f（x）在（，） ， （，+）单调递增，在（，）单调递 减 （2）由于，所以等价于 设=，则g （x）=0，仅当x=0 时g （x）=0，所以g（x）在（， +）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点 又f（ 3a1） =，f（ 3a+1）=，故f（x）有一个零点 综上，f（x）只有一个零点 点睛： （1）用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数的定义域； 求导数；由（或 ）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相 应区间上是减增函数. （2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将

16、问题转化为求证函数有唯一零点，可先 证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证. 优质模拟试题 25 【福建省厦门市2018 届二模文】设函数，直线是曲线的切线，则 的最小值是（） A. B. 1 C. D. 【答案】 C 点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题. 求曲线切 线方程的一般步骤是： （1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲 线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为） ； （2）由点斜式求得切线方程 . 26 【福建省厦门市2018 届二模文】设函数若恒成立，则实数的取值 范围为（） A. B. C. D. 【来源】【全国

17、市级联考】福建省厦门市2018 届高中毕业班第二次质量检查数学（文）试题 【答案】 A 【解析】 分析：函数恒成立等价于是的最小值， 根据分段函数的性质列不等式可得结果. 点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的值域，属于中档题. 对于分段函数解析式的考查是命题 的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思 路清晰 . 27 【河北省衡水中学2018 年押题 (二）文】 1函数在区间的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案. 详解：设，当时，当时，即 函

18、数在上为单调递增函数，排除B；由当时，排除 D；因为 ，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选 A. 点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用， 试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 28 【陕西省咸阳市2018 年 5 月文】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有 （ 是自然对数的底数） ，则（） A. B. C. D. 【答案】 D 点睛 : 本题需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造, （2）若，就 构造， （3），就构造， （4）就构造，等便于给 出导数时联想构造函数. 29 【安徽亳州市涡阳一中20

19、18 届最后一卷文】已知函数在处取得极值 . （1）求的值，并讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围 . 【答案】（1）上单调递增，在单调递减；（2） 【解析】 分析： （ 1）由，可得，令求得的范围， 可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间； （2）依题意，当时，恒成立，等价于 ，令，只需即可，利用导数研究函数的单调性，可 得，从而可得结果. 点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方 法：分离参数恒成立 (即可 ) 或恒成立（即可） ；数形结合 (图象在上方即可 ) ；讨论最值或恒成立；讨论参数 . 本题是 利用方法

20、 求得的最大值 . 30 【陕西省咸阳市2018 年 5 月文】已知函数 （）当时，求函数在点处的切线方程； （）当时，求证：对任意的恒成立 . 【答案】（1）（2）见解析 【解析】分析: （）当 a=2 时，写出f （x）的表达式，对f （x）进行求导，求出x=1 处的斜率，再根据 点斜式求出切线的方程； （）由题意可知，对任意的x1 ，+） ，使 f （x） 0 成立，只需任意的x1 ，+），f（ x）min0， 从而求出a 的取值范围。 详解 : （）由得， 切点为，斜率为，所求切线方程为：，即； ，可知在上递增，于是有，综上，当时，对任意的 恒成立 点睛 : 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数. 根据差函数导函数符 号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般 思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函 数.