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1、一、填空题 1已知 f(x) cos x ，x0， f x1 1，x0， 则 f(4 3)f( 4 3)的值等于 _ 解析： f(4 3) 1 2；f( 4 3)f( 1 3)1f( 2 3)2 5 2，f( 4 3)f( 4 3)3. 答案： 3 2已知 f(1x 1x) 1x 2 1x 2，则 f(x)的解析式可取为 _ 解析： (换元法 )令 t1x 1x，由此得 x 1t 1t，所以 f(t) 1 1t 1t 2 1 1t 1t 2 2t 1t 2，从而 f(x)的解析式可取为 2x 1x 2. 答案： 2x 1x 2 3设 f(x) |x1|2，|x|1， 1 1x 2，|x|1，
2、则 ff(1 2)_. 解析： ff(1 2)f( 3 2) 4 13. 答案： 4 13 4 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，则 f( 3)等于_ 解析： 令 x3，y1， 则 f(2)f(1)f(3)6. 又f(1)2，f(3)f(2)4. 令 x2，y1，则 f(1)f(1)f(2)4， f(2)f(1)2. 令 x1，y1，f(0)f(1)f(1)2. 又 xy0 时，f(0)0，f(1)0， f(3)f(2)4f(1)66. 答案： 6 5已知函数 f(x)ax b x4(a，b为常数 )，f(lg 2)0，则 f(lg
3、1 2)_. 解析：由题意得 f(lg 2)alg 2 b lg 240，有 alg 2 b lg 24，则 f(lg 1 2)alg 1 2 b lg 1 2 4alg 2 b lg 2 48. 答案： 8 6定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(mn 2)f(m)2f(n)2，m，nR，且 f(1)0， 则 f(2 014)_. 解析： 令 mn0，得 f(00 2)f(0)2f(0)2 ，所以 f(0)0；令 m0，n1， 得 f(012)f(0)2f(1) 2， 由于 f (1)0，所以 f(1)1 2；令 mx，n1， 得 f(x1 2)f(x)2f(1)2， 所以 f(x1)f(
4、x)2(1 2) 2， 即 f(x1)f(x)1 2， 这说明数列 f(x)( xZ)是首项为 1 2， 公差为 1 2的等差数列，所以 f(2 014) 1 2(2 014 1)1 21 007. 答案： 1 007 7已知 f(2 x1)lg x，则 f(x)_. 解析： 令 2 x1t(t1)，则 x 2 t1， f(t)lg 2 t1(t1)，f(x)lg 2 x1(x1) 答案： lg 2 x1(x1) 8函数 f(x)在闭区间 1,2上的图象如图所示，则函数的解析 式为_ 答案： f(x) x1，1x0， 2x，x0 时，g(x)x1， 故 fg(x)(x1)21x22x； 当 x
5、0， x 24x3，x1 或 x0， 故 gf(x)f(x)1x 22； 当11或x3 时，S3 2. Sf(x) x 2 4 0x2 1 2x 23x3 23 . 函数图象如图所示 12已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)x 2x)f(x)x2x. (1)若 f(2)3，求 f(1)；又若 f(0)a，求 f(a)； (2)若有且仅有一个实数x0，使得 f(x0)x0，求函数 f(x)的解析式 解析： (1)因为对任意 xR 有 f(f(x)x 2x)f(x)x2x， 所以 f(f(2)2 22)f(2)222， 又 f(2)3，从而 f(1)1. 又 f(0)a，则 f(a0 20)a020，即 f(a)a. (2)因为对任意 xR， 有 f(f(x)x2x)f(x)x2x， 又有且仅有一个实数x0，使得 f(x0)x0， 故对任意 xR，有 f(x)x 2xx 0. 在上式中令 xx0，有 f(x0)x2 0x0x0. 又因为 f(x0)x0， 所以 x0x 2 00， 故 x00 或 x01. 若 x00，则 f(x)x 2x，但方程 x2xx 有两个不相同实根， 与题设条件矛盾， 故 x00. 若 x01，则有 f(x)x2x1，易验证该函数满足题设条件 综上，函数 f(x)的解析式为 f(x)x2x1.