函数与导数理-高考理科数学试题专题分类汇编.pdf

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1、函数与导数 1 【 2018 年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】 D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（ 1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置， 由函数的值域，判断图象的上、下位置；（ 2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（ 3）由函数的奇偶 性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复 2 【 2018 年理天津卷】已知，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：， 据此可得：. 本题选

2、择D选项 . 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数 不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时， 若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指 数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 3 【 2018 年理新课标I 卷】已知函数若g（x）存在 2 个零点， 则a的取值范围是 A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+） 【答案】 C 详解：画出函数的图像，在 y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直

3、 线过点 A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个 交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选 C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是 将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数 的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4 【 2018 年理新课标I 卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处 的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】 D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方

4、程的问题，在求解的过程中，首先需要 确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得 相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5 【 2018 年全国卷理】设，则 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。 详解： .，, 即 ，又，即，故选 B. 点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。 6 【2018 年理数全国卷II 】已知是定义域为的奇函数， 满足若， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】 C 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的

5、问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 7 【 2018 年理数全国卷II 】函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】 B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A,舍去 D; ，所以舍去C；因此选 B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数 的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象 的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 8 【 2018 年浙江卷

6、】已知R，函数f(x)=，当 =2 时，不等式f(x)8- 8ln2 ； （）若a3-4ln2 ，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x) 有唯一公共点 【答案】（）见解析（）见解析 详解： （）函数f（x）的导函数，由得，因为，所 以由基本不等式得因为，所以由题意得 设，则，所以 x（0，16）16 （16，+） - 0 + 2-4ln2 所以g（x）在 256 ，+）上单调递增，故，即 （）令m=，n=，则f（m）kma|a|+kka0，f（n） kna0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数. 根据差

7、函数导函数符 号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般 思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函 数. 19 【2018 年理数天津卷】已知函数，其中a1. （I ）求函数的单调区间； （II ）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明 ； （III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线 . 【答案】 ( ) 单调递减区间，单调递增区间为；( ) 证明见解析； ( ) 证明见解析 . （III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：. 则原 问题等价于当时，存

8、在，使得l1和l2重合 . 转化为当时，关于x1 的方程存在实数解， 构造函数， 令， 结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x00，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题 中的结论成立. 详解：（I）由已知，有. 令，解得x=0. 由a1，可知当x变化时，的变化情况如下表： x0 0 + 极小值 所以函数的单调递减区间，单调递增区间为. （III）曲线在点处的切线l1：. 曲线在点处的切线l2：. 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线， 只需证明当时，存在，使得l1和l2重合 . 即只需证明当时，方程组有解， 由得，代入，得. 因此，只需证明当时，关于x1的方程存在实数解.

9、 故存在唯一的x0，且x00，使得，即. 由此可得在上单调递增，在上单调递减 . 在处取得极大值. 因为，故， 所以. 下面证明存在实数t，使得. 由（I）可得，当时， 有，所以存在实数t，使得 ，因此，当时，存在，使得. 所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线 . 点睛：导数是研究函数的单调性、极值( 最值 ) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在 历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对 导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1) 考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联 系 (2) 利用导数求

10、函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3) 利用导数求函数的最值( 极 值) ，解决生活中的优化问题 (4) 考查数形结合思想的应用 20 【2018 年理北京卷】设函数= （）若曲线y= f（x）在点（ 1，）处的切线与轴平行，求a； （）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围 【答案】 (1) a的值为 1 (2) a的取值范围是（，+） （）由（）得f （x）=ax 2（ 2a+1）x+2ex=（ ax 1）(x2)e x 若a ，则当x(，2) 时，f (x)0所以f (x)0所以 2 不是f (x) 的极小值点 综上可知，a的取值范围是（，+） 点睛：利用导数的几何意义解

11、题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 以平行、 垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起 来求解 . 21 【2018 年江苏卷】记分别为函数的导函数若存在，满足且 ，则称为函数与的一个“S点” （1）证明：函数与不存在“S点”； （2）若函数与存在“S点”，求实数a的值； （3） 已知函数， 对任意， 判断是否存在， 使函数与在区间 内存在“S点”，并说明理由 【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（ 0， +）内存在“S点” 详解：解：（ 1）函数f（x）=

12、x，g（x）=x 2+2x-2，则 f（x） =1，g（x）=2x+2 由f（x）=g（x）且f（x）= g（x） ，得，此方程组无解， 因此，f（x）与g（x）不存在“S”点 （2）函数，则 设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f（x0）与g（x0） ，得 ，即， （* ） 得，即，则当时，满足方程组（*） ，即为f（x）与g（x） 的“S”点因此，a的值为 （3）对任意a0，设因为，且h（x）的 图象是不间断的，所以存在（ 0，1） ，使得，令，则b0 函数，则 由f（x）与g（x）且f（x）与g（x） ，得 ，即（* ） 此时，满足方程组（ * ） ，即是函数

13、f（x）与g（x）在区间（ 0，1）内的一个“S点” 因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（ 0，+）内存在“S点” 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单 调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底 还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 22 【2018 年江苏卷】 某农场有一块农田，如图所示， 它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点） 和线段MN构成已知圆O的半径为40 米，点P到MN的距离为50 米现规划在此农田上修建两个

14、温室大 棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆 弧上设OC与MN所成的角为 （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2） 若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求 当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sin cos+cos）平方米，CDP的面积为 1600（cos sin cos） ，sin 的取值范围是 ， 1） （2）当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【解析】分析： （1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式

15、以及三角形面积公 式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根 据单调性确定函数最值取法. 详解： 当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以 sin 的取值范围是 ， 1） 答：矩形ABCD的面积为800（ 4sin cos+cos）平方米，CDP的面积为 1600（cos sin cos） ，sin 的取值范围是 ， 1） （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43， 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0） ， 则年总产值为4k800（ 4sin cos+cos）+3k1600（ cossin co

16、s ） =8000k（sin cos+cos） ， 0， ） 设f（）= sin cos+cos， 0， ） ， 则 令，得 = ，当 （0， ）时，所以f（）为增函数； 当 （ ， ）时， 所以f（）为减函数，因此，当= 时，f（）取到最大值 答：当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解 决问题 . 23 【2018 年理新课标I 卷】已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明： 【答案】（1）当时，在单调递减 . ，当时，在单 调递减，在单调递增 . （2）证明见解析 . 详

17、解：（1）的定义域为，. （i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减 . （ii ）若，令得，或.当时， ；当时，. 所以在单调递减， 在单调递增 . 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数 研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用， 再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要 时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确. 24 【2018 年全国卷理】已知函数 （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的

18、极大值点，求 【答案】（1）见解析（ 2） 【解析】分析： （1）求导，利用函数单调性证明即可。 （2）分类讨论和, 构造函数, 讨论的性质即可得到a 的范围。 详解：（1）当时，. 设函数，则. 当时，；当时，. 故当时，且仅当时， 从而，且仅当时，. 所以在单调递增 . 又，故当时，；当时，. （2） （i ）若，由（ 1）知，当时，这与是的极大 值点矛盾 . 点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和 , 当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。 25 【2018 年理数全国卷II 】已知函数 （1）若，证明：当时，； （2）若在只

19、有一个零点，求 【答案】（1）见解析（ 2） 详解：（1）当时，等价于 设函数，则 当时，所以在单调递减 而，故当时，即 （2）设函数 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点 （i ）当时，没有零点； （ii ）当时， 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递增 故是在的最小值 若，即，在没有零点； 若，即，在只有一个零点； 若，即，由于，所以在有一个零点， 由（ 1）知，当时，所以 故在有一个零点，因此在有两个零点 综上，在只有一个零点时， 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1) 利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2) 分离参数后转化为函数的值域( 最值 ) 问题求解

20、 . (3) 转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 优质模拟试题 26 【四川省成都市2018 届模拟理】设函数，若存在区间，使在 上的值域为，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】 C 因为，所以在单调递增，因为在上的值域为，所以 ，所以方程在上有两解，作出与直线的函数的 图象，则两图象有两个交点，若直线过点，则， 若直线与的图象相切，设切点为，则，解得， 综上所述，所以实数的取值范围是，故选 C. 点睛：本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及其应用，导数的几何意义，函数的零点与函数的图象 之间的关系等知识点的综合运用，其中把函数的值域转化为着方程有两

21、个实数根，进而转化为两函数的图 象由两个交点是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力. 27 【辽宁省葫芦岛市2018 年二模理】已知函数，在区间上任取三个数均存 在以为边长的三角形，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】 D 由此能求出的取值范围 详解：函数， ，由得 x=1， 时，时， 在区间上任取三个数均存 在以为边长的三角形， 联立，得故选 D 点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用 28 【河南省洛阳市2018 届三模理】已知函数与的图像有4 个不同的交 点，则实数的取值范围是（） A. B. C

22、. D. 【答案】 C 【解析】分析：函数与的图像有4 个不同的交点，即有 4 个 不同的实根，由可得，讨论其性质可得的取值范围 . 详解：函数 , 此时此时，函数 在上单调递减，在上单调递增，由图像可知，在上单调递减，在 上单调递增，且当时，函数函数与 的图像有4 个不同的交点，则实数的取值范围为. 故选 C. 点睛：本题考查利用导数眼函数零点问题，注意数形结合思想的应用，解题时注意函数的定义域，属难题 29 【辽宁省葫芦岛市2018 年二模理】已知函数，其中常数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，是否存在整数 使得关于的不等式在区间内有解？若存在，求出整 数 的最小值；若不存在，请

23、说明理由. 参考数据 :，. 【答案】 (1) f(x)在(0,1) ,(1,+ ) (2)-1 (2) 当时 ,设， 在 , 且 可知在 (0,) 内,唯一 x0(,), 使得 lnx0= x0- 2 并且 F(x) 在(0,x0) ,(x0,e) ,(e,+ ) 当x(0,e) 时 ,F(x)min =e 3( x -x0) 因(0,e),使 2m F(x) 成立 , 故需 2m F(x) min=e 3( x - x0) 由此可求m的最小整数值. 详解： (1) 求导，设明显 g(x) 在(0, +) , 且 g(1)=0 ，故 f(x) 在(0,1) ,(1,+ ) 当时, 设， 在

24、, 且 注意 F()= - 30 故在 (0,) 内,唯一 x0(,), 使得 lnx0= x0- 2 并且 F(x) 在(0,x0) ,(x0,e) ,(e,+ ) 当 x(0,e) 时 ,F(x) min =F(x0)=e 3(x 0lnx0-x +x0)=e 3( x - x0) 因(0,e),使 2m F(x) 成立 , 故需 2m F(x) min=e 3( x - x0) 当 x0(,) 时,F(x)min=e 3( x -x0) ( -,-e)(- 3.32, - 2.51) 因 2m为偶数 , 故需 2m - 2m - 1, 即 m的最小整数值为- 1 点睛：本题考查导数知识的

25、综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题 30 【湖南省益阳市理数5 月统考】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，是的两个零点，证明：. 【答案】（1）见解析（ 2）见解析 详解：（1）解：，当时，则在上单调递增 . 当时，得，则的单调递增区间为. 令，得，得的单调递减区间为. （2）证明：由得， 设，则，由得；由， 得. 故. 当时，；当时，. 不妨设，则，.等价于，且在上 单调递增，要证，只需证，即， 即证. 设， 则，令，则， 在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增， ，从而得证 . 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及函数零点个数的判断和函数性质的综合应用，考查 了分类讨论思想，综合性较强、难度较大，第二问构造函数，不妨设，由已知将问题转化 为只需证是关键。