函数中的存在性与恒成立问题-高三数学备考练习.pdf

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1、问题 04 函数中的存在性与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心, 也是历年高考的一个热点. 在新课标下的高考越来越注重对学生的 综合素质的考察, 恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径, 它主要涉及到一次函数、二 次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识, 渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法, 在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用, 故备受高考命题 者的青睐 ,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()( 2 acbxaxxf, （ 1 ）Rxxf在0)(上 恒 成 立00且a

2、；（ 2 ） Rxxf在0)(上恒成立00且a. (2) 对于一次函数,)(nmxbkxxf有： 0)( 0)( 0)(, 0)( 0)( 0)( nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 (3) 根据方程有解求参数范围, 若参数能够分离出来, 可把求参数范围转化为求函数值域 (4) 利用分离参数法来确定不等式,0fx, （ Dx ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基 本步骤 : 将参数与变量分离, 即化为gfx（或gfx）恒成立的形式； 求 fx 在x D上的最大（或最小）值； 解不等式 max ( )gf x( 或 min gfx) , 得的取值范围 . (5) 对于参数不能单独放

3、在一侧的, 可以利用函数图象来解. 利用数形结合解决恒成立问题, 应先构造函 数, 作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件, 求 出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题, 在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数 的最值却难以求出时, 可考虑变换思维角度. 即把主元与参数换个位置, 再结合其它知识, 往往会取得出奇制 胜的效果 . 三、知识拓展 (1) 恒成立问题 . ?xD, 均有f(x)A恒成立 , 则f(x)minA； . ?xD, 均有f(x) A恒成立 , 则 f(x)maxg(x) 恒成立 , 则F(

4、x)= f(x)- g(x) 0, F(x)min 0 ； . ?xD, 均有f(x) g(x) 恒成立 , 则F(x)= f(x)- g(x) g(x2) 恒成立 , 则f(x)min g(x)max； . ?x1D, ?x2E,均有f(x1) A成立 , 则f(x) max A； . ?x0D, 使得f(x0) A成立 , 则 f(x) min g(x0) 成立 , 设F(x)= f(x)- g(x), F(x) max 0 ； . ?x0D, 使得f(x0) g(x2) 成立 , 则f(x) max g(x) min； . ?x1D, ?x2E, 均使得f(x1) g(x2) 成立 ,则

5、f(x)min g(x)min； ?x1D, ?x2 E, 使得f(x1) x310 中 x 21,4, 所以可以进行参数分离, 而无需要分类讨论 【牛刀小试】 【2017 山西大学附中第二次模拟】设函数21 x fxexaxa,其中1a, 若存在唯一 的整数t, 使得0f t, 则a的取值范围是（） A 3 ,1 2e B 33 , 24e C 33 , 24e D 3 ,1 2e 【答案】 D 【解析】令21 , x g xexh xaxa. 由题意知存在唯一整数t, 使得g t在直线h x的下 方. 21 x gxex, 当 1 2 x时, 函数单调递减 , 当 1 2 x, 函数单调递

6、增, 当 1 2 x时, 函数取得最 小值为 1 2 2e. 当0x时,(0)1g, 当1x时,(1)0ge, 直线h xaxa过定点1,0, 斜率为a, 故0ag且 1 13geaa, 解得 3 ,1 2 m e . ( 二) 分离参数法 【例 2】已知函数( )lnf xaxxx的图象在点ex（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3 (1) 求实数a的值； (2) 若 2 ( )f xkx对任意0x成立 , 求实数k的取值范围 . 【分析】 （1）由( )ln1fxax结合条件函数( )lnf xaxxx的图象在点ex处的切线的斜率为3, 可知(e)3f, 可建立关于 a的方程：lne13

7、a , 从而解得1a； （2）要使 2 ( )f xkx对任意0x恒 成立 , 只需 max 2 ( ) fx k x 即可 , 而由（1）可知 ( )lnf xxxx, 问题即等价于求函数 1ln ( ) x g x x 的最 大值 , 可以通过导数研究函数( )g x的单调性, 从而求得其最值： 22 1 (1 ln ) ln ( ) xx x x g x xx , 令 ( )0g x, 解得1x, 当01x时 ,( )0gx, ( )g x在(0,1)上是增函数；当1x时,( )0gx, ( )g x在(1,)上是减函数 , 因此( )g x在1x处取得最大值(1)1g, 1k即为所求

8、. (2) 由（ 1）知 ,( )lnf xxxx, 2 ( )f xkx对任意0x成立 1ln x k x 对任意0x成立 , 令 1ln ( ) x g x x , 则问题转化为求( )g x的最大值 , 22 1 (1 ln ) ln ( ) xx x x g x xx , 令( )0gx, 解得1x, 当01x时,( )0gx, ( )g x在(0,1)上是增函数； 当1x时,( )0gx, ( )g x在(1,)上是减函数 故( )g x在1x处取得最大值(1)1g, 1k即为所求 . 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中, 当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与

9、其它变量完全分离出来并, 且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时, 常用分离参 数法 . 此类问题可把要求的参变量分离出来, 单独放在不等式的一侧, 将另一侧看成新函数, 于是将问题转化 成新函数的最值问题. 利用分离参数法来确定不等式,0fx,（,xD为实参数） 恒成立中参数的取值范围的基本步骤: (1) 将参数与变量分离, 即化为 gfx （或g fx ）恒成立的形式； (2) 求fx在xD上的最大（或最小）值； (3) 解不等式 max gfx ( 或 min gfx) ,得的取值范围 . 【牛刀小试】 【2017 湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数 (

10、)log a f xx,( )2log (22) a g xxt, 其中0a且1a,tR (1) 若4t, 且 1 ,2 4 x时,( )( )( )F xg xf x的最小值是 2, 求实数a的值； (2) 若0 1a , 且 1 ,2 4 x时 , 有( )( )f xg x恒成立 , 求实数t的取值范围 . 【答案】 (1) 1 5 ；(2)2,). (2) ( )( )f xg x恒成立 , 即log2log (22) aa xxt恒成立 , 1 loglog (22) 2 aa xxt. 又0 1a , 1 ,2 4 x, 22xxt, 22txx恒成立 , max ( 22)txx

11、. 令 2 1171 222()(,2) 484 yxxxx, max 2y. 故实数t的取值范围为2,). ( 三) 主参换位法 【例 3】 已知函数 ( )ln()( x f xea a为常数）是实数集R上的奇函数 , 函数( )sing xf xx是区间 1,1 上的减函 数,(1)求a的值； (2) 若 2 ( )11,1g xttx在 上恒成立 , 求t的取值范围 . 【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及t, 那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看 成是一个变量, 另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量 , 则上述问题即可转化为在 , 1内关于的一次函

12、数大于等于0 恒成立的问题 , 问题即可求解. 【解析】 (1) 1a (2) 由(1) 知：( )f xx,( )sing xxx, ( )g x在 11， 上单调递减 , ( )cos0gxx cosx在 1 1， 上恒成立 , 1， max ( )( 1)sin1g xg , 只需 2 sin11tt , 2 (1)sin110tt （其中1）恒成立 , 由上述结论：可令 2 (1)sin110(1ftt）, 则 2 t10 1sin110tt , 2 1 sin10 t tt , 而 2 sin10tt恒成立 ,1t. 【点评】某些函数存在性与恒成立问题中, 当分离参数会遇到讨论的麻烦

13、或者即使能容易分离出参数与变量, 但函数的最值却难以求出时, 可考虑变换思维角度. 即把主元与参数换个位置, 再结合其它知识, 往往会取得 出奇制胜的效果. 此类问题的难点常常因为学生的思维定势, 易把它看成关于的不等式讨论, 从而因计算繁 琐出错或者中途夭折；若转换一下思路, 把待求的x 为参数 , 以为变量 , 构造新的关于参数的函数, 再来求 解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了. 【牛刀小试】若不等式 2 211xm x对任意1,1m恒成立 , 求实数 x的取值范围 . 【答案】312x 【解析】 2 211xm x可转化为 2 1210m xx, 设 2 1210f mm

14、 xx, 则f m 是关于m的一次型函数 , 要使0fm恒成立 , 只需 2 2 120 1220 fxx fxx , 解得312x. ( 四) 数形结合法 【例 4】已知函数 2 22fxxkx , 在 1x 恒有 fxk, 求实数k的取值范围 . 【分析】 为了使题中的条件 fxk在 1,x 恒成立 , 应能想到构造出一个新的函数 F xfxk,则可 把原题转化成所构造新的函数在区间 1, 时恒大于等于 0的问题 , 再利用二次函数的图象性质进行分类讨 论, 即可使问题得到圆满解决. 【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时, 往往可通过图象、图形的位置关系建立不等 式从而求

15、得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象, 选择适当的两个函数, 利用函数图像的上、下 位置关系来确定参数的范围. 利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数, 准确做出函数的图象. 常见的 有两类函数： 若二次函数 2 0yaxbxc a 大于 0 恒成立 , 则有 0 0 a , 同理 ,若二次函数 2 0yaxbxc a 小于 0 恒成立 , 则有 0 0 a .若是二次函数在指定区间上的恒成立问题, 还可以利用韦达定理以及根与系数的 分布知识求解. 【牛刀小试】 【2017 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在 R上的奇函数fx 满足 : 当 0x 时, 3 fxx, 若不等

16、式 2 42ftfmmt对任意实数t恒成立 , 则实数m的取值范围是（） A ,2 B2,0 C. ,02, D,22, 【答案】 A ( 五) 存在性之常用模型及方法 【例 5】 设函数 2 1 ln 2 a fxaxxbx,aR且1a. 曲线yfx在点1,1f处的切线的斜率 为0. （1）求b的值； （2）若存在1,x, 使得 1 a fx a , 求a的取值范围 . 【分析】 （1） 根据条件曲线yfx在点 1,1f处的切线的斜率为0, 可以将其转化为关于a,b的方程 , 进而求得b的值：1 a fxa xb x ,10f101aabb； （ 2）根据题意分析 可得若存在1,)x, 使得

17、不等式 1 a fx a 成立 , 只需 min ( ) 1 a f x a 即可 , 因此可通过探求( )f x的 单调性进而求得( )f x的最小值 , 进而得到关于a的不等式即可, 而由（1）可知 2 1 ln 2 a fxaxxx, 则 11xa xa fx x , 因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断( )f x的单调性 , 从而可以解 得a的取值范围是 21,211,. 【解析】（1）1 a fxa xb x , 由曲线yfx在点 1,1f处的切线的斜率为0, 得10f, 即10aab,1b； 4 分（ 2）由（ 1）可得 , 2 1 ln 2 a fxaxxx, 2 11 1

18、11 xa xa a xxa a fxa x xxx , 令0fx, 得 1 1x , 2 1 a x a , 而 21 1 11 aa aa , 当 1 2 a时,1 1 a a , 在1,上 ,0fx,fx为增函数 , min 11 11 22 aa fxf, 令 1 21 aa a , 即 2 210aa, 解得2121a. 当 1 1 2 a时,1 1 a a , x1,1 a a 1a a , 1 a a fx0 fx极小值 2 min ln 112 111 aaaaa fxfa aaaaa , 不合题意 ,无解 ,10 分 当1a时 , 显然有( )0f x,0 1 a a , 不

19、等式( ) 1 a f x a 恒成立 , 符合题意 , 综上 ,a的取值范围是21,211,. 【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法, 先求其否定 （ 恒 成 立 ） , 再 求 其 否 定 补 集 即 可 解 决 . 它 的 逻 辑 背 景 ： 原 命 题 为“,( )“xM P x的 否 定 为 “,( )“xMP x；原命题为“,( )“xM P x的否定为“,( )“xMP x. 处理的原则就是：不熟系问题 转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知)(xfxx 2 2 1 ,)(xgax)1ln(, (1)若存在2,0, 21 xx, 使得)(

20、)( 21 xgxf, 求实数a的取值范围； (2)若存在2,0, 21 xx, 使得)()( 21 xgxf, 求实数a的取值范围 . 五、迁移运用 1 【 2018 届江西省上高县高三上学期第四次月考】若不等式 2 30 x a xlog对任意 1 0, 3 x 恒成立 ,则实 数a的取值范围为（） A. 1 ,1 27 ） B. 1 ,1 27 C. 1 0, 27 D. 1 0, 27 【答案】 A 【解析】构造函数f（x）=3x 2,g （x）=-log ax, 1 0, 3 x 不等式3x 2-log ax0 对任意 1 0, 3 x 恒成立 , f （ 1 3 ）g（ 1 3 ）

21、3? 1 9 - 1 3 a log 00a1 且 a 1 27 实数 a 的取值范围为 1 1 27 ， ）, 故选 A 2 【 2018 届广西贵港市高三上学期12 月联考】若不等式 2 1313 ln1ln3 3 xx a x对任意的 ,1x恒成立 , 则a的取值范围是（） A. 10 , 3 B. 10 , 3 C. 2, D. ,2 【答案】 D 【解析】由题意结合对数的运算法则有： 2 13133 lnln 33 xx x a , 由对数函数的单调性有： 2 1313 3 33 xx x a , 整 理 可 得 ： 2 13 3 x x a, 由 恒 成 立 的 条 件 有 ： 2

22、 min 1 3 3 x x a , 其 中 2 131 32 33 x x x x y , 当且仅当0x时等号成立 . 即0x时, 函数 2 13 3 x x y取得最小值2. 综上可得：2a.本题选择D选项 . 3. 【 2018 届 福 建 省 闽 侯 高 三12 月 月 考 】 已 知 函 数 2 2 2 ,0 2 ,0 xx x fx xx x , 若 关 于的 不 等 式 2 0fxafx恰有个整数解 , 则实数的最大值是（） A. B. C. 5 D. 【答案】 D 4 【 2018 届甘肃省高台高三上学期第五次模拟】已知函数 1 x fxx e , 若对任意xR, fxax恒

23、成立 , 则实数a的取值范围是（） A. ,1e B. 1,1e C. 1,1e D. 1, e 【答案】 B 【解析】函数 1 x fxx e ，对任意xR, fxax恒成立 , 1 x xax e 恒成立 , 即 1 1 x ax e x 恒成立；设 1 ,1 x g xh xax e ,xR；在同一坐标系内画出两个函数的图象, 如图所示； 则满足不等式恒成立的是h(x) 的图象在g(x) 图象下方 , 求g x的导数 x gxe, 且过g x图象上点 00 ,xy的切线方程为 0 00 x yyexx, 且该切线方程过原点(0,0), 则 0 00 x yex, 即 00 0 xx ee

24、x, 解得 0 1x；切线斜率为 0 x kee, 应满足a- 1-e, 即a1-e；又a-1? 0, a? 1, 实数a的取值范围是 (1 -e,1.故选 B. 5 【 2018 届广东省五校高三12 月联考】已知函数ln224(0)fxxaxaa, 若有且只有两个 整数 1 x, 2 x使得 1 0fx, 且 2 0fx, 则a的取值范围是（） A. ln3,2 B. 2ln3,2 C. 0,2ln3 D. 0,2ln3 【答案】 C 【解析】 由 题 意 可 知 , 0fx, 即ln2240,0xaxaa, 22ln40axaxxa, 设 2ln4,2g xxxh xaxa, 由 121

25、 2 x gx xx , 可知2ln4g xxx, 在 1 0, 2 上为 减函数 , 在 1 , 2 上为增函数 , 2h xaxa的图象恒过点2,0, 在同一坐标系中作出,g xh x的 图象如下：若有且只有两个整数 12 ,x x, 使得 1 0fx, 且 2 0fx, 则 0 11 33 a hg hg , 即 0 2 23 a a aln ,解得02ln3a, 故选 C. 6 【2018 届陕西省西安高三上学期期中】已知函数 32 1 3 fxxa x, 若对于任意的12,0,1x x, 都有 12 1fxfx成立 , 则实数a的取值范围是（） A. 2 3 23 , 33 B. 2

26、 3 2 3 , 33 C. 2 32 3 ,00, 33 D. 2 32 3 ,00, 33 【答案】 A 7 【东北师范大学附属中学2018 届高三第五次模拟】已知函数，当时， 不等式恒成立，则实数的取值范围为 A B C D 【答案】 D 【解析】 不等式即， 结合可得恒成立，即恒成立， 构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增， 故恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则的最小值为， 据此可得实数的取值范围为. 本题选择D选项 . 8 【山东省实验中学2019 届高三第一次诊断】已知对任意的，总存在唯一的，使得 成立（为自然对数的底数） ，则实数的取值范围是

27、( ) A B C D 【答案】 D 【解析】 9 【贵州省铜仁市第一中学2019 届高三上学期第二次月考】设函数，其中， 若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（） A B C D 【答案】 B 【解析】令，则， 当时，所以在上是单调减函数； 当时，所以在上是单调增函数； 所以的图像如图所示： 直线恒过点， 设过的直线与曲线相切于点且切线方程为： ，代入，故， 解得或者， 当时，所以当时，直线可与在 轴下方的图像相交 因为有且只有一个整数解，故曲线上的点在直线下方，在直线上方或 在直线上，故即，故选 B 10 【山东省安丘市、诸城市、 五莲县、 兰山区 2019 届高三 10 月联考】 已知

28、函数 f(x)=x+1；f(x)=-2 ； f(x)=； f(x)=lnx； f(x)=cosx。 其中对于f(x)定义域内的任意，都存在，使得 f()f()=成立的函数是 A B C D 【答案】 B 【解析】由知，对函数f(x) 图象上任意一点，都存在一点，使 OAOB，若斜率都存在，则 对于，由于f(x)=x+1，所以无论两个点如何取，OA和OB的斜率均等于1，故不成立； 对于，由于，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f(x) 图象上任 意一点，都存在一点，使OAOB，故成立； 对于，由于，若，则，显然不成立，故不成立； 对于，由于f(x)=lnx，则当时，故，直线

29、OA为 x 轴，此时与直线OA垂直的直线为y 轴，而 y 轴与函数f(x) 的图象无交点，故不成立； 对于，由于f(x)=cosx，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f(x) 图象上任 意一点，都存在一点，使OAOB，故成立 综上可得符合条件的是 故选 B 11 【福建省莆田市第一中学2019 届高三上学期第一次月考】已知函数，若存在 ，使得，则实数的取值范围是（） A B C D 【答案】 C 12 【福建省厦门外国语学校2019 届高三上学期第一次月考】已知函数， 若对任意的，都有成立，则的取值范围是( ) A B C D 【答案】 B 【解析】由于，则，函数在上单调

30、递减，在上单 调递增， 由于任意，恒成立，所以， 即时，恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 而，当时， 所以在单调递减， 由于，所以时，时，所以，即 13 【2018 届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式2150 x enx在实数集R上恒成立 , 则正整数n 的最大值是 _ 参考数据： 215 7 2 e 【答案】14n 【解析】 14 【 2018 届 河 南 省 漯 河 高 三 上 学 期 第 四 次 模 拟 】 已 知 21 2 b fxxc x （b, c为 常 数 ） 和 11 4 g xx x 是 定 义 在=| 14Mxx上 的 函 数 , 对 于 任 意 的

31、xM, 存 在 0 xM使 得 0 fxfx, 0 g xg x, 且 00 =fxg x, 则fx在M上的最大值为_. 【答案】 5 【解析】 1111 21 44 g xxx xx ,( 当且仅当x=2 时, 等号成立 ), 2221 2 b fcg, 1 2 b c, 22 11 1 222 bbb fxxcx xx , 3 22 bxb fxx xx , f(x) 在 x=2 处有最小值 , 20f, 即 b=8, 故 c=- 5, 故 3 2 2 188 5, 2 x fxxfx xx , 故 f(x)在 1,2 上是减函数 , 在2,4上是增函数 , 而 17 185,48255

32、22 ff, 故 f(x)的最大值为5. 15. 设函数f(x) axsinxcosx若函数f(x) 的图象上存在不同的两点A,B, 使得曲线yf(x) 在点A,B 处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为 【答案】1 ,1 16. 【2017 山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数 2 ( )lnf xaxax, 1 ( ) x e g x xe , 其中 aR,e2.718为自然对数的底数. （1）讨论( )f x的单调性； （2）证明：当1x时,( )0g x； （3）确定a的所有可能取值, 使得( )( )f xg x在(1,)区间内恒成立 . 【解析】（1）由 2 ( )lnf xax

33、ax, 得 2 121 ( )2(0) ax fxaxx xx . 当0a时,( )0fx在(0,)成立 , 则( )f x为(0,)上的减函数； 当0a时, 由( )0fx, 得 12 22 a x aa , 当 2 (0,) 2 a x a 时 ,( )0fx, 当 2 (,) 2 a x a 时,( )0fx. 则( )f x在 2 (0,) 2 a a 上为减函数 , 在 2 (,) 2 a a 上为增函数 . 综上 , 当 0a 时 ,( )f x为(0,)上的减函数； 当 0a 时,( )f x在 2 (0,) 2 a a 上为减函数 ,在 2 (,) 2 a a 上 为增函数 .

34、 （3）由( )( )f xg x, 得 211 ln0 x axaxe x . 设 21 1 ( )ln0 x t xaxaxe x , 由题意知 ,( )0t x在(1,)内恒成立 . (1)0t, 有 11 22 111 ( )220 xxx txaxeaxe xxx 在(1,)内恒成立 . 令 1 2 1 ( )2 xx xaxe x , 则 11 233 122 ( )22 xxx xaeae xxx , 当2x时,( )0x, 令 3 2 ( ) x h x x , 4 26 ( ) x h x x , 函数在1,2)上单调递增 . min ( )(1)1h xh. 又21a, 1

35、 0 x e, 12x,( )0x. 综上所述 ,1x,( )0x,( )x在区间(1,)单调递增 , ( )(1)0txt, 即( )t x在区间(1,)单调递增 , 1 2 a. 17. 【2017 四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数 ( )()ln b f xa xbx x ( 其中abR，). ( ) 当4b时, 若( )f x 在其定义域内为单调函数, 求a的取值范围； ( ) 当 1a 时, 是否存在实数 b,使得当 2 ee x，时, 不等式( )0f x恒成立 ,如果存在 , 求b的取值范 围 , 如果不存在 , 说明理由（其中e是自然对数的底数,e2.71828） .

36、 【解析】 ( ) 由题 0x , 4 ( )()4lnf xa xx x , 2 22 4444 ( )(1) axxa fxa xxx . 当 0a 时, 知( )0fx, 则( )f x 是单调递减函数； 当0a时, 只有对于0x, 不等式 2 440axxa恒成立 , 才能使fx为单调函数 , 只需 22 ( 4)160a , 解之得11aa或, 此时1a 综上所述 ,a的取值范围是(,01,) ( ) ( )ln b f xbxx x , 其中 0x, 2 22 ( )1 bbxbxb fx xxx ( ) 当 0b 时,( )0fx,于是( )f x 在(0)，上为减函数 , 则在

37、 2 ee ，上也为减函数 , 知 max 1 ( )(e)e(1)e0 ee b f xfbb恒成立 , 不合题意 , 舍去 ( ) 当0b时, 由( )0fx得 2 4 2 bbb x 列表得 x(0, 2 4 2 bbb ) 2 4 2 bbb ( 2 4 2 bbb ,) ( )fx0 ( )f x极大值 若 2 4 e 2 bbb , 即 2 e e1 b , 则( )fx 在 2 ee ，上单调递减 , 知 max 1 ( )(e)e(1)e ee b f xfbb, 而 2 11e2e (1)e(1)e0 ee e1e1 b , 于是 max ( )0f x 恒成立 , 不合题意

38、 , 舍去若 2 4 e 2 bbb , 即 2 e e1 b , 则( )f x 在( e, 2 4 2 bbb ) 上为增函数 , 在( 2 4 2 bbb ,) 上为减函数 , 要使在 2 ee ，恒有 ( )0f x恒成立 , 则必有 2 (e)0 (e )0 f f ， ， 则 2 2 e0 e 2e0 e b b b b ， ， 所以 24 32 4 2 ee e1ee e . 2e1 b b ， 由于 32232 ee(2e1)e3e1 0, 则 244 322 eee e1ee2e1 , 所以 2 e e1 b 18. 【2017 湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数

39、2 1 ( )(1) 2 x f xxeax()aR I当1a时, 求( )f x的单调区间； II当(0, +)x时,( )yfx的图象恒在 32 (1)yaxxax的图象上方 , 求a的取值范围 . (i) 当01a时,ln0a, 故： (,ln)xa时,( )0fx,( )f x单调递增 , (ln,0)xa时,( )0fx,( )f x单调递减 , (0,)x时,( )0fx,( )fx单调递增； (ii) 当1a时,ln0a, ( )(1) xx fxxeaxx e0恒成立 , ( )f x在(,)上单调递增 , 无减区间； 综上 , 当0a时 ,( )f x的单调增区间是(0,),

40、 单调减区间是(,0)； 当01a时 ,( )f x的单调增区间是(,ln)a(0,)和, 单调减区间是(ln,0)a； 当1a时 ,( )f x的单调增区间是(,), 无减区间 . II由I知( ) x fxxeax 当(0,+)x时,( )yfx的图象恒在 32 (1)yaxxax的图象上方 , 即 32 (1) x xeaxaxxax对(0, +)x恒成立 即 2 10 x eaxx对(0,+)x恒成立 记 2 ( )1 x g xeaxx(0)x , ( )21 x g xeaxh x 2 x hxea (i) 当 1 2 a时,20 x hxea恒成立 ,( )gx在(0,)上单调递

41、增 , ( )(0)0g xg, ( )g x在(0,)上单调递增 ( )(0)0g xg, 符合题意； (ii) 当 1 2 a时, 令0hx得ln(2)xa (0,ln(2)xa时,0hx,( )gx在(0,ln(2)a上单调递减 (0,ln(2)xa时,( )(0)0g xg( )g x在(0,ln(2)a上单调递减 , (0,ln(2)xa时,( )(0)0g xg , 不符合题意 综上可得a的取值范围是 1 (, 2 . 19. 【2017 广东省惠州市第二次调研】已知函数( )lnf xx,( )()h xa x aR. （）函数( )f x的图象与( )h x的图象无公共点, 求

42、实数 a的取值范围； （）是否存在实数m, 使得对任意的 1 (,) 2 x, 都有函数( ) m yf x x 的图象在( ) x e g x x 的图象的下 方？若存在 , 请求出整数m的最大值；若不存在, 请说理由 . （参考数据：ln 20.6931,ln31.0986, 3 1.6487,1.3956ee）. 【解析】（）函数( )f x与( )h x无公共点 ,等价于方程 ln x a x 在(0,)无解 令 ln ( ) x t x x , 则 2 1ln ( ), x tx x 令( )0,tx得xe x(0, )e e ( ,)e ( )tx 0 ( )t x 增极大值减 因

43、为xe是唯一的极大值点,故 max 1 ( )tt e e 4分 故要使方程 ln x a x 在(0,)无解 , 当且仅当 1 a e , 故实数a的取值范围为 1 (,) e 20. 【2017 河南省天一大联考】已知函数( )lnf xbx （1）当 1b 时, 求函数 2 ( )( )G xxxf x在区间 1 , 2 e 上的最大值与最小值； （2）若在1,e上存在 0 x, 使得 00 0 1 () b xf x x 成立 , 求b的取值范围 【解析】（1）当1b时, 2 ( )( )G xxxf x 2 ln(0)xxx x, (21)(1) ( ) xx G x x , 令(

44、)0Gx, 得1x, 当x变化时 ,( )G x,( )Gx的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,) ( )gx 0 ( )G x 极小值 因为 1111 ( )lnln 21 2424 G,(1)0G, 2 ( )1(1)11G eeee e, 所以 2 ( )( )G xxxf x在区间 1 , 2 e 上的最大值与最小值分别为： 2 max ( )( )1G xG eee , min ( )(1)0G xG （2）设 1 ( )ln b h xxbx x 若在1,e上存在 0 x, 使得 00 0 1 () b xf x x , 即 00 0 1 ln0 b xbx x 成立 ,

45、 则只需要函数 1 ( )ln b h xxbx x 在1,e上的最小值小于零 又 2 22 1(1) ( )1 bbxbxb h x xxx 2 (1)(1)xxb x , 令( )0h x, 得1x（舍去）或1xb 当1 b e, 即1be 时,( )h x在1,e上单调递减 , 故( )h x在1,e上的最小值为( )h e, 由 1 ( )0 b h eeb e , 可得 2 1 1 e b e 因为 2 1 1 1 e e e , 所以 2 1 1 e b e 当1 1b , 即 0b 时,( )h x在1,e上单调递增 , 故( )h x在1,e上的最小值为(1)h, 由(1)110hb, 可得2b（满足0b） 当1 1be, 即01be时,( )h x在(1,1)b上单调递减 ,在(1, )b e上单调递增 , 故( )h x在1,e 上的最小值为(1)2ln(1)hbbbb 因为0ln(1)1b, 所以0ln(1)bbb, 所以2ln(1)2bbb, 即(1)2hb, 不满足题意 , 舍去 综上可得 2b 或 2 1 1 e b e , 所以实数b的取值范围为 2 1 (, 2)(,) 1 e e