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1、函数的图象与性质 1. 单调性的判断 例：（ 1）函数 2 1 2 log (4)fxx的单调递增区间是（） A (0,) B (0), C (2,) D (), 2 （2） 2 23yxx的单调递增区间为_ 【答案】 （1）D；（ 2） (, 1 ， 0,1 【解析】 （1）因为 1 2 logyt，0t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间， 即求函数 2 4tx的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(), 2 （2）由题意知，当0x时， 22 2314()yxxx；当 0x 时， 22 2314()yxxx，二次函数的图象如图 由图象可知，函数 2 23yxx 在 (
2、, 1 ， 0,1 上是增函数 2利用单调性求最值 例 2：函数1yxx的最小值为 _ 【答案】 1 【解析】 易知函数1yxx在 1,) 上为增函数，1x时， min1y 3利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例 3：（ 1）已知函数fx 的图象向左平移1 个单位后关于y轴对称，当 211xx时， 2121 ()0fxfxxx恒成立，设 1 2 af，2bf，3cf，则 a， b ， c 的大小关系为 （） A cab B cba C acb D bac （2） 定义在 R上的奇函数yfx 在 (0,) 上递增，且 1 0 2 f，则满足 1 9 log0fx的 x的集合为 _ 【答案】
3、（1）D；（ 2） 1 |013 3 xxx 或 【解析】 （1）根据已知可得函数fx 的图象关于直线=1x对称，且在(1,) 上是减函数， 因为 15 22 aff，且 5 23 2 ，所以 ba c （2）由题意知 1 0 2 f， 1 0 2 f，由 1 9 log0fx得 1 9 1 log 2 x或 1 9 1 log0 2 x 解得 1 0 3 x或1 3x 奇偶性 例：已知偶函数fx 在区间 0,) 上单调递增，则满足 1 (21) 3 fxf的 x的取值范 围是（） A 1 2 , 3 3 B 1 2 , 3 3 C 1 2 , 2 3 D 1 2 , 2 3 【答案】 A 【
4、解析】 因为 fx 是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又fx 在 0,) 上单调递增， 1 (21) 3 fxf，所以 1 |21| 3 x，所以 12 33 x 轴对称 例：已知定义域为R的函数 yfx 在 0,7上只有 1 和 3 两个零点，且2yfx与 7yfx都是偶函数，则函数yfx 在 0,2013 上的零点个数为（） A404 B 804 C806 D402 【答案】 C 【解析】2fx，7fx为偶函数22fxfx，77fxfx， fx 关于 2x ， 7x 轴对称，fx 为周期函数，且27210T， 将 0,2013划分为0,10 10,202000,20102010,2013
5、fx 关于2x，7x轴对称4fxfx ，14fxfx 160ff，814860fff，34310fff 在 0,10 中只含有四个零点，而0,1010,202000,2010共 201 组 所以2014804N； 在 2 0 1 0 , 2 0 1 3中，含有零点201110ff，201330ff 共两个， 所以一共有806 个零点 中心对称 例：函数fx 的定义域为R，若1fx与1fx都是奇函数，则（） A fx 是偶函数B fx 是奇函数 C2fxfxD3fx是奇函数 【答案】 D 【解析】 从已知条件入手可先看fx 的性质，由1fx，1fx为奇函数分别可得到： 11fxfx，11fxfx
6、，所以 fx 关于 1,0 ，1,0 中心对称，双 对称出周期可求得2114T，所以 C不正确，且由已知条件无法推出一定符合A， B 对于 D选项，因为4T，所以511fxfxfx，进而可推出fx 关于3,0 中心对称， 所以3fx为 fx 图像向左平移3 个单位，即关于0,0 对称，所以3fx为奇函数， D正确 周期性的应用 例：已知fx 是定义在R上的偶函数，g x 是定义在R上的奇函数，且 () 1g xf x， 则20172019ff的值为（） A1B 1 C0 D无法计算 【答案】 C 【解析】 由题意，得()1)gxfx， fx 是定义在R上的偶函数，g x 是定义在R 上的奇函数
7、， ()gxg x ，()fxfx ，()()11f xf x， (2)fxf x，()4fxf x， fx 的周期为4， 20171ff （），20193( 1)fff， 又1100()ffg（），201720190ff 一、选择题 1若函数2|fxxa 的单调递增区间是3,) ，则 a的值为（） A2B 2 C 6 D6 【答案】 C 【解析】 由图象易知函数2|fxxa 的单调增区间是, 2 a ，令=3 2 a ， 6a 2已知函数 2( og1)lyax在 1,2 上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A0,1B 1,2C 1,)D 2,) 【答案】 C 【解析】 要使 2(og1
8、)lyax在 1,2 上是增函数，则0a且10a，即1a 3设函数()()ln 1ln 1fxxx ，则 fx 是（） A奇函数，且在(0,1) 内是增函数 B奇函数，且在(0,1) 内是减函数 C偶函数，且在(0,1) 内是增函数 D偶函数，且在(0,1) 内是减函数 【答案】 A 对点增分集训 【解析】 易知 fx 的定义域为()1,1 ，且()()ln 1l (n 1)fxxxfx-，则 yfx 为奇函数， 又ln 1ln 1()()yxyx与在 (0,1) 上是增函数，所以()()ln 1ln 1fxxx 在 (0,1) 上 是增函数 4已知函数yfx 的图象关于1x对称，且在(1,)
9、 上单调递增，设 1 2 af， 2bf， 3cf，则 a，b， c 的大小关系为（） A cbaB bacC bcaD abc 【答案】 B 【解析】 函数图象关于1x对称， 15 22 aff，又 yfx 在 (1,) 上单调递 增， 5 (2)(3) 2 fff，即 bac ，故选 B 5已知fx 是奇函数，g x 是偶函数，且2( 11)fg，)114(fg，则1g 等于（） A4 B 3 C2 D1 【答案】 B 【解析】由已知得()11ff，()11gg，则有 112 114 fg fg 解得13g，故选 B 6函数 1 ( )cos(0)f xxxxx x 且的图象可能为（） 【
10、答案】 D 【解析】 因为 11 ()cos()cos( )fxxxxxf x xx ，x且0x，所以 函数 fx 为奇函数，排除A， B 当 x 时， 1 ( )cos0f x，排除 C，故选 D 7奇函数fx 的定义域为R，若() 1f x为偶函数，且12f，则45ff的值 为（） A2 B 1 C1D2 【答案】 A 【解析】 ()1fx为偶函数，1()()1fxf x，则()2)fxf x， 又 yfx 为奇函数，则2()()fxfxf x，且00f 从而2()4)f xf xfx ， yfx 的周期为4 4501022ffff，故选 A 8函数fx 的图象向右平移1个单位，所得图象与
11、曲线exy 关于y轴对称，则fx 的 解析式为（） A 1 e x fxB 1 e x fxC 1 e x fxD 1 e x fx 【答案】 D 【解析】 与ex y的图象关于y轴对称的函数为e x y依题意，fx 的图象向右平移一 个单位， 得e x y的图象fx 的图象由e x y的图象向左平移一个单位得到 1)1( ee xx fx 9使 2)og (l1xx成立的 x的取值范围是（） A ()1,0 B )1,0C ()2,0 D )2,0 【答案】 A 【解析】 在同一坐标系内作出 2( log)yx ，1yx的图象，知满足条件的,0()1x，故 选 A 10已知偶函数fx 对于任
12、意Rx都有() 1f xfx ，且 fx 在区间0,1 上是单调 递增的， 则()65f ，1()f，0f的大小关系是（） A06.5()()1fffB6.5()()01fff C()( 60)1.5fffD10()( 6.5)fff 【答案】 A 【解析】 由()1fxfx ，得1()2)f xf xfx ，函数fx 的周期是2 函数fx 为偶函数，6.50.5()()(0. )5fff，() 11ff f x 在区间0,1 上是单调递增的， 00.5(1)fff，即 06.5()() 1fff 11对任意的实数x都有()221f xfxf，若(1)yf x的图象关于1x对称， 且02f，
13、则20152016ff（） A0 B 2 C3 D4 【答案】 B 【解析】(1)yf x的图象关于1x对称，则函数yfx 的图象关于0x对称， 即函数fx 是偶函数，令1x，则121(12)()fff， 11210fff，即10f ，则2(210)f xfxf， 即2()f xfx ，则函数的周期是2，又02f， 则2015201610022ffff 12已知函数e1 x f x， 2 43g xxx，若存在fag b ，则实数 b 的取值 范围为（） A 0,3B (1,3) C22,22D 22,22 【答案】 D 【解析】 由题可知e11 x fx， 22 4321 1()g xxxx
14、， 若 fag b ，则,1(1g b，即 2 431bb，即 2 420bb， 解得 2222b所以实数b 的取值范围为(22,22)，故选 D 二、填空题 13设函数 10 00 10 x x x fx， 2 1()g xx f x，则函数 g x 的递减区间是_ 【答案】 0,1) 【解析】 由题意知 2 2 1 01 1 g x xx x xx ，函数的图象如图所示的实线部分， 根据图象， g x 的减区间是0,1) 14若函数R()fxx是周期为4 的奇函数，且在0,2 上的解析式为 101 sin12 xxx xx fx ， 则 2941 46 ff_ 【答案】 5 16 【解析】
15、 由于函数fx 是周期为4 的奇函数，所以 2941373737 2424 46464 35 si 64 n 161666 ffffffff 15设函数|fxxa ，1g xx，对于任意的Rx，不等式fxg x 恒成 立，则实数a 的取 值范围是 _ 【答案】 )1, 【解析】 如图作出函数|fxxa 与1g xx的图象，观察图象可知：当且仅当 1a ，即 1a 时，不等式fxg x 恒成立，因此a的取值范围是)1, 16设定义在R上的函数fx 同时满足以下条件：0()fxfx； ()2fxf x；当01x时，21 x fx，则 135 1(2) 222 fffff_ 【答案】2 【解析】 依
16、题意知：函数f(x) 为奇函数且周期为2， 135 1(2) 222 fffff 111 1(0) 222 fffff 111 1(0) 222 fffff 1 10 2 1 102121212 2 fff 三、解答题 17已知函数( )ln(2) a f xx x ，其中 a是大于 0 的常数 （1）求函数fx 的定义域； （2）当4()1,a时，求函数fx 在 2,) 上的最小值； （3）若对任意,)2x恒有0fx，试确定 a的取值范围 【答案】 （1）见解析；（2） ln 2 a ；（ 3） (2,) 【解析】 （1）由20 a x x ，得 2 2 0 xxa x ， 当1a时， 2
17、20xxa恒成立，定义域为(0, ) ， 当1a时，定义域为0| 1x xx且， 当 0 1a时，定义域为 |01111xxaxa或 （2）设( )2 a g xx x ，当4()1,a，,)2x时， 2 22 ( )10 axa g x xx 因此 g x 在 2,) 上是增函数，fx 在 2,) 上是增函数则 min ( )(2)ln 2 a f xf （3）对任意,)2x，恒有0fx即21 a x x 对,)2x恒成立 2 3axx 令 2 3h xxx，,)2x 由于 2 39 ( ) 24 h xx 在 2,) 上是减函数， max 22h xh 故2a时，恒有0fx因此实数a的取值范围为(2, ) 18设 fx 是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且()1()1fxfx ，当 10x 时， fx x （1）判定fx 的奇偶性； （2）试求出函数fx 在区间 1,2 上的表达式 【答案】 （1） fx 是偶函数；（ 2） 1,0 0,1 21,2 xx xx xx fx 【解析】 （1）()1()1fxfx ，()2)fxfx 又2()f xfx ，()fxfx 又 fx 的定义域为R， fx 是偶函数 （2）当10,x时，1,0x，则()fxfxx； 进而当 12x 时，120x，2()2()2fxf xxx 故 1,0 0,1 21,2 xx xx xx fx