反例在高中数学教学中的作用.pdf

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1、反例在高中数学教学中的作用 摘要 所谓反例，就是指用来说明某个命题不成立的例子。在数学中，要证明一个命题， 必 须严格地论证符合条件的所有可能情况下，结论都成立， 缺一不可，而要否定一个命题， 只要找出在符合题设条件的某个特殊情况下，结论不成立，也就是只要举出一个反例即 可。因此在解题和理解概念中、在高中数学中有“快”、“准”、“狠”的特点。在数 学研究与数学学习中有着重要的作用。 关键词：反例；判断；巩固；思维能力；构造反例 一、引言 美国数学家盖尔与奥斯特在分析中的反例一书中指出，“数学由两大类证明 和反例组成，而数学发展也朝着两个重要目标提出证明和构造反例进行”，所以对 一个错误认识的反

2、驳不仅是可能的，而且有一个十分有效的标准和方法反例在数 学推理中， 寻求反例与提出证明一样， 是一项积极思维活动， 二者具有同等重要的作用 在高中数学教学中，教师分析命题的条件，结论，应用范围等，往往是从正面阐述入 手的，可是如果我们能适当选择一些反例，加强辨析，正反对比，将收到更好的效果 适 当的反例不仅有利加深学生对数学中诸多概念和定理的理解，而且也有利于优化学生的 思维结构，提升学生的理解和解题能力。 二、反例在高中数学教学中的作用 1、 反例可以判断某个命题为假命题 在高中中学数学教学中， 要论证一个命题是否为假命题，或检验一道题的正确性， 我 们往往可以举出一个与原命题矛盾的例子，或

3、与要检验的问题的结论相反的例子，这就 是反例一个命题的反例有多个，我们在举反例时，只举其中一个就可以了 例 1判断命题“若 0, 0 ba ，且 1, 1 ba ，则 loglog2 ab ba ”是否正确？ 1 分析： 我们知道，1, 1 balog0 ab ，log0 ba logab（或logba）的取值情况可分为两类：（1）logab0；（2）logab0 显然，在后一类情况下，恒有loglog ab ba02，即logab0时命题不成立于是容 易举出反例：当2a， 1 2 b时，有 21 2 1 loglog21 12 2 2 所以通过举出的反例，我们就能轻易的知道所判断命题是否正确

4、 例 2 命题“若,ac bc则 2 abc”是否正确？ 分析： 我们知道，在0,0acbc的前提下，可以推出 2 abc但现在我们缺少 0,0ab这个条件，所以我们的反例可以在0,0ab这个范围内构造 解：所求问题不正确若我们取2,1abc，则有,ac bc，但 2 4abc 一般地说，数学中的反例，它是相对于数学命题而言的，它必须是一个具体的例子， 还有它是反驳与纠正错误数学命题的一种方法，所以必须是建立在数学上的已证明的理论 与逻辑推理的基础上的， 并且具有一定作用的反面例子 所以反例它是论证命题是否正确 的一种有效方法 2、反例可使学生巩固概念、强化概念教学理解 数学概念是用确切、 简

5、洁的语言来叙述的 有时一个数学概念有很多种本质属性，学 生容易对这些应用较少或较隐含的属性不予重视，或对关键字眼、 符号不重视， 以致在解 题中发生错误 为了正确地理解它此时可通过一些简单明了的反例来加以引导，说明从反 面消除容易出现的一些模糊认识，来加深对概念的理解。 在教学中利用反例， 从心理学的 观点来看，这是一种比较 . “有比较才有鉴别”，通过比较，学生才能容易把握住所研究 对象的本质特征 . 典型的反例会给学生以深刻的印象，这对学生理解数学概念，掌握数学 方法，培养学生的学习兴趣都起很大的作用例如： 椭圆定义：平面内与两个定点 1 F, 2 F的距离的和等于常数（大于 12 F F

6、 ）的点的轨迹 叫做椭圆。其实概念中， 学生很容易粗略的理解 “到两个定点的距离和等于常数的点的轨 迹叫做椭圆”，其实还忽视了“平面内”和“常数（大于 12 F F ）”，学生可能不太理解， 于是在讲解时，为了让学生巩固概念，在这就要要举出反例：1、假设不在平面内，在空 间上的话，就不是不平面图形，就不是椭圆了。2、假设到两个定点的距离的和的常数恰 2 好等于 12 F F 呢？小于呢？让学生讨论很容易知道常数等于 12 F F 的点的轨迹是线段， 小于 12 F F 时，是不存在的。这样的话，有利于学生对概念的掌握和强化。在讲解抛物线定义 时，用同样的方法，举出反例可以让学生更容易理解“l

7、不经过点F”从而对抛物线概念 的更好把握。 这样在概念中通过应用反例，我们就可以加深学生对定义的理解 又如在函数周期的概念中，我们知道，如果T是)(xf的周期，则 kT 也是)(xf的周 期（ k为任意整数），那么)(xf的周期就有无穷多个，我们通常所说的周期就是指最小 正周期那么周期函数是否一定有最小正周期呢？ 回答是不一定例如常数函数)(xf=C ，它是以任意数为周期，是没有最小正周期 的所以说反例在概念教学中能起到巩固和强化概念的作用 3、反例有助于学生对定理、公式或法则使用的条件的理解和掌握。 有些学生在学习时， 往往对定理的内容掌握不全面，丢三拉四，对一些关键字眼不留 意，不在乎，在

8、考试解题格式中不体现，造成不不要的丢分，主要是没有对定理、公式、 法则理解到位， 理解透彻。这时教师可以通过举反例来强调对定理的条件及结论的全面理 解，这就有利于学生准确地理解和掌握数学基础知识，并运用到实际中如： 线面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此 平面垂直学生掌握定理不到位，忽视了条件中的关键字眼“相交”，为了让学生充分掌 握次定理，在解答时格式中体现它，所以要举反例，让学生体会，不相交是否一定成立， 如图 1111 ABB CABBC且, 但很显然1AB不垂直平面11BCC B，因为11BCC B与不相交，这样让 学生更能体会到“相交”的重要性，

9、从而在解答或证明中能体现，体现思维的严密。 例 3 已知 33 2ab，求证：2ab 3 分析： 有学生这样证明：由 3 1 13aa，可知 3 113bb，两式相加，可得 33 43()abab，再由 33 2ab，得 33 11 (4)62 33 abab 其 实 这 样 证明 是有 误的 ，其 原因 是 不 等 式 应 用 有 误 ，该 证 法 忽 视 了 基 本 不等 式 333 3abcabc适用的前提条件是, ,a b cR 正确的证法如下： 证明： 欲证原不等式成立，只须证2ab，可证 33 (2)ab 即证 323 8126abbb，只须证 332 8126abbb，故可证 2

10、 61260bb，即 2 6(12)0bb又因为 2 (1)0b所以原不等式成立故得证 4、反例让学生在误解中知道错在何处 引入反例，可以增强学生发现问题，纠正错误的意识，提高学生否定错误命题的能 力数学中有些问题，若从正面角度来讲，有时候学生会感到模糊，难理解，甚至会产生 错误的判断 若运用反例就可以检验答案是否正确，如果发现有误， 也可以通过反例来引 导学生寻求错误的原因并纠正错误如我们都知道的分配律：()m abmamb，而有的 学 生 就 会 把一 些差 不多 的公 式都 套 用 这 个 分 配 律 ， 就引 起 了 很 多 错 误 的 类比 ： 222 ()abab， 333 ()a

11、bab；sin(60 )sinsin60， 222 cos ()coscosABAB等等 例 4 2 (3)01xkxkk例题：已知方程有两个大于的根，求满足下列条件的的范围 很多同学做出的解答是 1 2 0 a b 1 2 3 04)3( 2 k kk 显然是错的， 已产生了增根， 但学生 不能理解为什么错，所以在这举出反例，如图也是满足 1 2 0 a b 条件，但解不一定都大 于 1，所以这个条件是错的，不是题目的充要条件。如图： 4 这样举反例会让学生更能体会到自己解法的错误。正确的解法如下： ，则设kxkxxf)3( 2 0) 1 ( 1 2 0 f a b 031 1 2 3 04

12、)3( 2 kk k kk 例 5如下图 4-1 所示，有一长方体 1111 ABCDA B C D，其长5ABcm，宽4ADcm ，高 13AAcm，求由顶点 A沿着表面到对角顶点1 C的最短路线的长 D C D C C 1 A B 4 C 5 D 4 A 3 B1 3 5 B D 1 C1 C1 D1 A1 B1 A1 B1 4 D1 C1 图 4-1 图 4-2 分析： 这是一题关于立体几何的应用计算题开始时，有很多学生误认为长、宽、高之 和 1 54312ABBCCC为所求路线之长 但其实自 A沿棱 AB和右侧面对角线 1 BC 0 1 x y 0 1 x y 5 至 1 C所得路线长

13、为 22 1 5341012ABBC，类似的也有 111 3419.812AAAC所以由上面的分析，我们就可以知道其实最短路线并不是 长、宽、高之和，因为还有比它们之和更短的路线，这样学生就能受我们举出的反例的启 示，把思路引向了展开侧面这个问题上思考了我们再由图 4-2 可知，A沿着表面至 1 C的 最短路线之长为 22 (34)5748.6()cm 这就得到了我们最终要求解的答案 5、适当的反例让学生提高解题效率 在教学中，我们要善于引导学生去寻找反例，构造反例当然，反例的构造并不是随 便就能找到的，它首先要求人们对命题的条件、结论熟悉，能了解其中的本质，这样才能 构造出正确的反例来 有些

14、反例比较容易构造， 但有些则需认真探求命题本身的性质或进 行大量的计算构造出一个对所求问题有用的反例，是解题的关键 例 6当0a时，判断函数 2 ( )1f xxxa的奇偶性 分析： 由于函数 2 1x为偶函数，当0a时，函数 xa 为非奇非偶函数，由此我们可以 推断( )f x应该为非奇非偶函数，先我们举出反例说明： 当 x 取特殊值a时， 22 ( )1,()21f aafaaa 0a()(),()( )fafafaf a故函数( )f x为非奇非偶函数 上面的例题就是应用了反例来解答的，它是利用特殊值来判断的 我们还可以利用特 殊图形、特殊函数或特殊数列等各种特殊的反例来解答；或从其涉及

15、到的定义上入手获得 反例；也可以根据所给命题的题型特点，考虑变化中的特殊情况来获得反例等 例 7 设ABC的三边分别为, ,a b c，且 111 abc abc ，那么ABC为等边三角形 解：这个结论是错误的因为我们若取 1 3,3, 3 abc，则, ,a b c满足命题中所给的条 件，但它却不是等边三角形 凡从正面肯定不易而从方面否定较易的，特别是在高考立体几何的选择题中，我们通 过构造反例来解决例如 例 8 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设 ,m n 是两条不同的直 6 线, , 是两个不同的平面 , 下列命题中正确的是（D ） A若, m , n , 则

16、mn B 若 / , m , n , 则 /mn C若 mn,m , n , 则 D 若 m , /mn, /n , 则 例 9 （2014 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）若空间中四条两两不同 的直线 1234 , ,l lll ，满足 122334 ,llllll ，则下列结论一定正确的是（D ） A. 14 ll B. 14 / /ll C. 14 ,l l 既不垂直也不平行 D. 14 ,l l 的位置关系不确定 （反例省略） 反例的构造方法是多种多样的， 构造反例可以考虑各种思维策略，根据命题组成的特 殊性和知识特点，可以采取不同的，行之有效的反例来解决问题 6、在高中

17、数学教学中培养学生创造思维能力和探究能力时渗透反例的 教学，能培养学生的思维的严密性，使得学生能够较牢固地掌握知识 反例是一种很好的教学方法，如果教师在日常教学中，可经常选择一些发散性强的 典型数学知识或问题， 通过创设问题情景， 引导学生构造反例； 另一方面也能培养学生的 逻辑思维能力通过反例的教学，让学生能够积极思索、探讨，使得学生思维的灵活性、 敏捷性和创造性都能得到进一步发展 例如：在研究到函数的单调性与导数 ，课本说到：设函数yf(x) 在某区间 (a，b)内可导 若 x(a，b)，f(x)0，则 f(x) 在区间 (a，b)内为增函数 若 x(a，b)，f(x)0，则 f(x) 在

18、区间 (a，b)内为减函数。 那我们引导学生，函数yf(x) 在某区间 (a，b)内可导， x(a，b)，f(x)0 是 f(x)在区间 (a，b)内为 增函数充要条件吗？即函数yf(x) 在某区间 (a，b)内可导， f(x) 在区间 (a，b)内为增函数，能推出x (a，b)，f(x) 0 吗？引发学生思考。大部分学生会认为是充要条件，这是可以举出反例 3 ( )f xx 在 R 上是增函数， 但 2 ( )2fxx 在 xR上， 2 ( )20fxx ，所以显然 yf(x) 在某区间 (a，b)内可导， x(a， b)， f(x) 0 不是 f(x) 在区间 (a， b)内为增函数充要条

19、件。是充分不必要条件，防止我们在解 题中错用成充要条件。 三、小结 由本文我们可以看出，构造反例和提出证明同样具有重要的作用它因其具有直观、 7 明显、强的说服力等特点，决定了它在数学教学中起着不可代替的作用，我们必须适时、 恰当的运用反例，注重反例教学在培养高中学生思维的严密性、灵活性及思维的发散性、 深刻性有很大的教学教学效果。适时、适当的运用反例才能收到好的教学效果，也能增强 学生的思维逻辑， 使学生加深理解， 因此，我们在中学数学教学中要充分发挥反例的作用 参考文献 1 蔡美虹浅谈数学中的反例广西师院学报，1997，9 第 14 卷（第 3 期） 2 吴振奎，吴 旻数学的创造上海教育出版社， 2003，6 3 王勇，吴天伟反例在立体几何教学中的作用高等函授学报，1997，第 4 期 4 李福兴反例在数学及数学教学中的作用梧州师专学报，1995，第 2 期 5 黄淑林浅谈数学反例广西民族学院学报，1999，11 第 5 卷（第 4 期） 6 周梅反例的作用与作法开封教育学院学报，2004，12 第 24卷（第 4 期） 7 崔小昊 . 反例在数学教学中的应用 . 百度. 8 张少凤 . 反例在数学教学中的应用 . 百度.