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1、（五十五）古典概型与几何概型 小题对点练 点点落实 对点练 (一 )古典概型 1已知袋子中装有大小相同的6 个小球，其中有2 个红球、 4 个白球现从中随机摸 出 3 个小球，则至少有2 个白球的概率为() A. 3 4 B.3 5 C. 4 5 D. 7 10 解析： 选 C所求问题有两种情况：1 红 2 白或 3 白，则所求概率P C 1 2C 2 4C 3 4 C 3 6 4 5. 2(2018 陕西模拟 )现有 2 名女教师和1 名男教师参加说题比赛，共有2 道备选题目， 若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概 率为 () A. 1 3 B.2
2、3 C. 1 2 D.3 4 解析： 选 C记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB， BAA，BAB，BBA，BBB(其中第 1 个，第 2 个分别表示两个女教师抽取的题目，第3 个表 示男教师抽取的题目)，共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA， ABB，BAA，BAB，共 4 种故所求事件的概率为 1 2.故选 C. 3在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6 个程序 A，B，C，D，E，F，则程 序 A 在第一或最后一步，且程序B 和 C 相邻的概率为() A. 1 5 B. 1 15 C. 4 15 D. 2 15 解析： 选 D
3、程序 A 在第一或最后一步，且程序 B 和 C 相邻的概率为P A 1 2A 2 2A 4 4 A 6 6 2 15. 4已知集合M 1， 2，3，4 ，N a，b |aM ，bM ，A 是集合 N 中任意一点， O 为坐标原点，则直线OA 与 yx 21 有交点的概率是 () A. 1 2 B.1 3 C. 1 4 D.1 8 解析： 选 C易知过点 (0,0)与 yx21 相切的直线为y2x(斜率小于0 的无需考虑 )， 集合 N 中共有 16 个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2 的有 (1,2)， (1,3)，(1,4)，(2,4)， 共 4 个，故所求的概率为 4 16 1 4.
4、5(2018 重庆适应性测试)从 2,3,4,5,6 这 5 个数字中任取3 个，则所取3 个数之和为偶 数的概率为 _ 解析： 依题意，从2,3,4,5,6 这 5 个数字中任取3 个，共有10 种不同的取法，其中所取 3 个数之和为偶数的取法共有134 种(包含两种情形：一种情形是所取的3 个数均为偶 数，有 1 种取法；另一种情形是所取的3 个数中 2 个是奇数，另一个是偶数，有3 种取法 )， 因此所求的概率为 4 10 2 5. 答案： 2 5 6(2016 江苏高考 )将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正 方体玩具 )先后抛掷2 次，则出现向上
5、的点数之和小于10 的概率是 _ 解析： 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2 次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)， (1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,6)，共 36 种情况设事件A“ 出现向上的点数 之和小于10”，其对立事件A “出现向上的点数之和大于或等于10”， A 包含的可能 结果有 (4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 6 种情况所以由古典概型的概率公式， 得 P( A ) 6 36 1 6，所以 P(A) 1 1 6 5 6. 答案： 5 6 对点练 (二 )几何概型 1(2018 武汉调研 )
6、在区间 0,1上随机取一个数x，则事件“ log0.5(4x3)0”发生的 概率为 () A. 3 4 B.2 3 C. 1 3 D.1 4 解析： 选 D由 log0.5(4x3)0，得 04x31， 解得 3 4 x1，所以所求概率 P 1 3 4 10 1 4. 2设不等式组 x2y20， x4， y 2 表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则 此点到直线y20 的距离大于2 的概率是 () A. 4 13 B. 5 13 C. 8 25 D. 9 25 解析：选 D如图，各点的坐标为B(2,0)， C(4,0)，D( 6， 2)，E(4， 2)， F(4， 3)，所以DE 1
7、0，EF5，BC 6，CF3.不等式对应的区域为三角形DEF ，当点在线段 BC 上时，此点到直线y20 的距离等于2，所以要使此点 到直线 y2 0 的距离大于2，则此点应在三角形BCF 中根据几何概型可知所求概率P S BCF SDEF 1 263 1 2105 9 25，故选 D. 3已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为 3，在正棱锥内任取一点P，使得 VP-ABC 1 2V S-ABC的概率是 ( ) A. 3 4 B.7 8 C.1 2 D.1 4 解析： 选 B由题意知，当点P 在三棱锥的中截面以下时，满足 VP-ABC 1 2V S-ABC， 故使得 VP-ABC1 2V
8、S-ABC的概率： P 大三棱锥的体积小三棱锥的体积 大三棱锥的体积 1 1 2 37 8. 4.如图，长方形的四个顶点为O(0,0) ，A(4,0) ，B(4,2)，C(0,2) ，曲 线 yx经过点 B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中， 则该电子元件落在图中阴影区域的概率是() A. 5 12 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析： 选 C由题意可知S阴 0 4 xdx 2 3x 3 2 | 4 0 16 3 ，S长方形428，则所求概率P S阴 S长方形 16 3 8 2 3. 5已知椭圆 x 2 4 y21 的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取
9、一点M，过 M 作垂直于 A1A2的直线交椭圆于点 P，则使得PF1 PF20 的概率为 _ 解析： 设 P(x，y)，则 PF1 PF20 即为 (3x， y) (3x， y)0，即为 x 23y20，即为 x23 1x 2 4 0，解得 26 3 x2 6 3 ，故所求的概率为 46 3 4 6 3 . 答案： 6 3 6.如图，正四棱锥 S-ABCD 的顶点都在球面上， 球心 O 在平面 ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_ 解析：设球的半径为R， 则所求的概率为P V锥 V球 1 3 1 22R2R R 4 3 R 3 1 2 . 答案： 1 2 对点练 (
10、三 )概率与统计的综合问题 1如图是样本容量为200 的频率分布直方图 根据样本的频率分布直方图估计数据落在2,10)内的概率约为_ 解析： 由题图可得 (0.020.08)4 0.4. 答案： 0.4 2 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4 名同学在某次考试中的数学成绩， 乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，在图中用m 表示，假设数字具有随机性，则乙组 平均成绩超过甲组平均成绩的概率为_. 解析： 由1 4(87899193) 1 4(859091 90m)，得 m4，即 m4 时，甲、乙 两个小组的平均成绩相等设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A， m 的取值有 0,1,2
11、，9，共 10 种可能，其中，当m 5,6，9 时，乙组平均成绩超过甲组平均成 绩，故所求概率为 5 10 1 2. 答案： 1 2 3某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试 销，得到如下数据： 单位 x(元 ) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y(件 ) 90 84 83 80 75 68 由表中数据求得线性回归方程为y 20xa.若在这些样本点中任取一点，则它在回 归直线左下方的概率为_ 解析： 由表中数据求出样本平均数x 8.5， y 80，代入线性回归方程，得a 250， 所以线性回归直线方程为y 20x250.经验证，样本点在回归直线左
12、下方的有 (8.2,84)， (9,68)两个，由古典概型的概率公式，得P 2 6 1 3. 答案： 1 3 大题综合练 迁移贯通 1.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需 转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指 区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： 若 xy3，则奖励玩具一个； 若 xy8，则奖励水杯一个； 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动 (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 解： 用数对 (x，y)表示儿童参加活动先后记录的数
13、，则基本事件空间与点集 S (x， y)|xN，yN,1 x4,1y 4一一对应 因为 S中元素的个数是4416， 所以基本事件总数n16. (1)记“xy3”为事件 A，则事件A 包含的基本事件数共5 个，即 (1,1)，(1,2)，(1,3)， (2,1)，(3,1) 所以 P(A) 5 16，即小亮获得玩具的概率为 5 16. (2)记“xy8”为事件 B，“3xy8”为事件 C. 则事件B 包含的基本事件数共6 个，即 (2,4)， (3,3)，(3,4)，(4,2)， (4,3)，(4,4)所以 P(B) 6 16 3 8. 事件 C 包含的基本事件数共5 个， 即(1,4)，(2,
14、2)，(2,3)，(3,2)，(4,1) 所以 P(C) 5 16.因为 3 8 5 16， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 2如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40 名，将其成绩 (均为整数 )整理后画 出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题 (1)8090 这一组的频数、频率分别是多少？ (2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数(不要求写过程) (3)从成绩是80 分以上 (包括 80 分)的学生中选2 人，求他们在同一分数段的概率 解： (1)根据题意， 5060 这一组的频率为0.01510 0.15，6070 这一组的频率为 0.02510 0.2
15、5,70 80 这 一 组 的 频 率 为0.03510 0.35,90 100 这 一 组 的 频 率 为 0.00510 0.05，则8090 这一组的频率为 1 21(0.15 0.250.350.05)0.1，其频 数为 400.14. (2)这次竞赛成绩的平均数为450.1 550.15 65 0.25 750.35 850.1 95 0.0568.5； 7080 这一组的频率最大，人数最多，则众数为75； 70 分左右两侧的频率为0.5，则中位数为70. (3)记“选出的 2 人在同一分数段”为事件 E,8090 之间有 40 0.14 人，设为a，b， c，d；90100 之间有
16、 400.052 人，设为 A，B.从这 6 人中选出2 人，有 (a，b)，(a，c)， (a，d)， (a， A)，(a，B)，(b， c)， (b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)， (d， A)， (d，B)，(A，B)，共 15 个基本事件，其中事件E 包括 (a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)， (b，d)，(c， d)，(A，B)，共 7 个基本事件，则P(E) 7 15. 3已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0 的小球 1 个，标号为1 的小球 1 个，标号为2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取1 个小球，取到标号为2
17、的小球 的概率是 1 2. (1)求 n 的值 (2)从袋子中不放回地随机抽取2 个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出 的小球标号为b. 记“ 2a b3”为事件A，求事件A 的概率； 在区间 0,2内任取 2 个实数 x，y，求事件“ x2y 2(ab)2 恒成立”的概率 解： (1)依题意共有小球n2 个，标号为2 的小球 n 个，从袋子中随机抽取1 个小球， 取到标号为2 的小球概率为 n n2 1 2 ，得 n 2. (2)从袋子中不放回地随机抽取2 个小球， (a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)， (1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0) ，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有 12 种，而满足2ab3 的结果有8 种，故 P(A) 8 12 2 3. 由可知，(a b)24，故 x2y24，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结 果所构成的区域为 x，y |0x2， 0y2，x，yR ， 由几何概型得概率P 2 21 42 2 2 2 1 4.