圆锥曲线-高考文科数学专题复习.pdf

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1、圆锥曲线 一、选择题 1【2018 广东佛山高三二模】 已知双曲线的左焦点为， 右顶点为， 虚轴的一个端点为， 若 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意得不妨设，则， 因为为等腰三角形，所以只能是 即， （舍去负值） ，选 A. 点睛： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据 的关系消掉得到的关系式， 而建立关于的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等. 2 【 2018湖 南 株 洲 高 三 二 模 】 已 知 双 曲 线的 右 焦 点 为， 其 中 一 条

2、渐 近 线 与 圆 交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 详解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为， 圆的圆心，半径为， 渐近线与圆交于两点，为锐角三角形， 可得：可得又 可得可得：，由可得 所以双曲线的离心率的取值范围是 故选 D 点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力 3 【 2018 延安高三模拟】已知，为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆 相切于点，且，则双曲线的离心率为（） A. B. 2C. 3D. 【答案】 D 即有 |MF2|=3|MF1|=3a， 由 OM 为三角形MF1F

3、2的中线，可得 （2|OM|） 2+（|F 1F2|） 2=2（|MF 1| 2+|MF 2| 2） ， 即为 4b 2+4c2=2（a2 +9a 2） ， 即有 c2+b2=5 ,再根据得到双曲线的离心率为. 故选： D 点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何 条件构造的关系 ,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同求双曲线离 心率的值或离心率取值范围的两种方法：（ 1）直接求出的值 ,可得 ； （2）建立的齐次关系式 ,将 用 表示 ,令两边同除以或化为 的关系式 ,解方程或者不等式求值或取值范围 4 【2018 安徽淮

4、北高三二模】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线， 垂足分别为两点，以为直径的圆过点，则圆的方程为（） A. B. C. D. 【答案】 C 5 【 2018 衡水金卷高三二模】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直， 且焦点在圆上，则该双曲线的标准方程为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，又双 曲线的焦点在圆上，故令，解得，所以，又，联立 解得，所以双曲线的标准方程为，故选 B. 6 【 2018 安徽安庆高三二模】过双曲线的左焦点F 作圆的切线，切点为 M，又直线FM 与直线相交于第一象限内一点P，若 M 为线段 FP的中点，

5、则该双曲线的离心率为 A. B. 2C. D. 3 【答案】 B 【解析】因为 选 B. 点睛： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据 的关系消掉得到的关系式， 而建立关于的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等. 7 【2018 东莞高三二模】 已知双曲线的离心率为2，过右焦点的直线 交双曲线的 两条渐近线于两点，且，则直线的斜率的值等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 8 【 2018 广东惠州高三4 月模拟】已知F是抛物线 2 x4y的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标 为0, 1，则 PF

6、PA 的最小值是（） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 【答案】 C 【解析】由题意可得，抛物线 2 4xy的焦点0,1F，准线方程为 1y 过 点P作PM垂 直 于 准 线 ，M为 垂 足 ， 则 由 抛 物 线 的 定 义 可 得P FP M， 则 s i n P FP M PAM PAPA ，PAM为锐角 当PAM最小时， PF PA 最小，则当PA和抛物线相切时， PF PA 最小 设切点 2,Pa a，由 21 4 yx的导数为 1 2 yx，则PA的斜率为 11 2 22 a aa a . 1a，则2,1P. 2PM，2 2PA 2 sin 2 PM PAM

7、PA 故选 C 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有 关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的 最值等问题 . 9 【 2018 河南郑州高三二模】如图，已知抛物线 1 C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点2 4，圆 22 2 :430Cxyx, 过圆心 2 C的直线l与抛物线和圆分别交于,P Q M N, 则4PNQM的最小 值为 ( ) A. 23B. 42C. 12D. 52 【答案】 A 【点睛】当抛物线方程为

8、 2 2(p0)ypx，过焦点的直线l与抛物线交于,P Q，则有 112 FPFQP ，抛 物线的极坐标方程为 1cos p ，所以 1 PF 1cos p ， 2 1cos1cos pp QF ，所以 112 FPFQP ，即证。 10 【2018 内蒙古呼和浩特高三一调】已知 21 ,FF是双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的上、下两个焦点，过 1 F的直线与双曲线的上下两支分别交于点,B A，若 2 ABF为等 边三角形，则双曲线的渐近线方程为（） A. 2yxB. 2 2 yxC. 6yxD. 6 6 yx 【答案】 D 【点睛】 本题主要考查双曲线的定义和简单几何性

9、质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键 11 【2018 四川德阳高三二诊】如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线 ， 与抛物线及其准线从 上到下依次交于、 点，令，则当时，的值为（） A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】 C 分 别 过 点A ， B作 准 线 的 垂 线 ， 分 别 交 准 线 于 点E ， D ， 则 同理可得， 故选 B. 12 【 2018重 庆 高 三4月 二 诊 】 设 集 合 22 ,|3sin3cos1,Ax yxyR， ,|34100Bx yxy，记PAB，则点集P所表示的轨迹长度为（） A. 2 5B. 2 7C. 4 2D. 4 3 【答

10、案】 D 【解析】由题意得圆 22 3sin3cos1xy的圆心3sin , 3cos在圆 22 9xy上，当变 化时，该圆绕着原点转动，集合A 表示的区域是如图所示的环形区域 由于原点0,0到直线34100xy的距离为 22 10 2 34 d ，所以直线34100xy恰好与圆环 的小圆相切 所以PAB表示的是直线34100xy截圆环的大圆 22 16xy所得的弦长 故点集 P所表示的轨迹长度为 22 2 424 3选 D 点睛： 解答本题的关键是正确理解题意，弄懂集合A和PAB的含义，然后将问题转化为求圆的弦长的问题 处理，在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形，然后利

11、用勾股定理求解。 13 【2018 湖南衡阳高三二模】设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点为A，右焦点为F,0c, 弦PQ 的过F且垂直于x轴，过点PQ，分别作直线,AP AQ的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小 于2 ac，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A. 1,5B. 1, 3C. 3, 2D. 5, 【答案】 B 点睛：圆锥曲线里求离心率的取值范围，一般是找到关于离心率的不等式，再解不等式 .本题就是根据B到 直线PQ的距离小于2 ac得到 4 2 2 b ac aca ，再解这个不等式得到离心率的范围的. 14 【2018 广东茂名高三二模】过

12、抛物线 2 :20E xpy p的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E交于 ,A B两点，若E在,A B两点处的切线与E的对称轴交于点C，则ABC外接圆的半径是（） A. 21 pB. pC. 2pD. 2p 【答案】 B 15 【2018 河北石家庄高三一模】抛物线C： 2 1 4 yx的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在 抛物线C上，当2 MA MF 时，AMF的面积为（） A. 1B. 2C. 2 2D. 4 【答案】 B 【 解 析 】0 1 ,01FA（ ， ）（ ， ）过M作,MNl垂 足 为N ，则MNMF 2 MA MF AMF的高等于 AN ，设 21 0 4 M mmm（

13、，）（ ） 则AMF的面积 1 2. 2 mm 又由2 MA MF ，三角形AMN为等腰直角三角形， 2 1 1, 4 mm所以2,m， AMF的面积 2 故选 B. 二、填空题 16 【2018 新疆乌鲁木齐高三质监二】已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延 长线交椭圆C于点D，且20BFDF，椭圆C的离心率为 _ 【答案】 3 3 点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的离心率。解决的关键是根据向量的关系，即题目中给的条件， 20BFDF ，结合相似比得到点 31 22 Dcb ，进而代入到方程中，求解得到结论，属于基础题。 17 【2018 陕西榆林高三二模】已知抛物线 2

14、 :4Cyx的焦点为 1122 ,F MxyN xy是抛物线C上的 两个动点，若 12 22xxMN，则MFN的最大值为 _ 【答案】 3 （或 60） 【解析】由已知 12 22xxMN，得MFNF2 MN， 22 222 31 MFNFMF NF MFNF 1 42 cosMFN 2 MF NF2 MF NF2 MN ， 所以 MFN的最大值为 3 故答案为： 3 点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一 是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d，则|MF |d，可解决有关距离、 最值、弦长等问题；二是利用动点

15、满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线 18 【2018 重庆高三4 月二诊】已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0)b）的左右焦点分别为 1 F， 2 F， 点P在双曲线的左支上， 2 PF与双曲线右支交于点Q，若 1 PF Q为等边三角形，则该双曲线的离心率是 _ 【答案】7 点睛： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量, ,a b c的方程或不等式，利用 222 bca和e= c a 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 19 【2018 广东茂名高三二模】设椭圆 22 22 10 xy a

16、b ab 的上顶点为B，右顶点为A，右焦点为F， E为椭圆下半部分上一点，若椭圆在E处的切线平行于AB，且椭圆的离心率为 2 2 ，则直线EF的斜率 是_ 【答案】 2 4 20 【2018 宁夏银川高三4 月质检】设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂 线，垂足为，已知直线交轴于点且的面积为，则该抛物线的方程为_ 【答案】或 【解析】根据题意作出如图所示的图象： 其中，为双曲线的准线，且准线方程为，. 设，则，. 在中，为的中点，则为的中点，即，. 的面积为 ，即. ，即. 或 该抛物线的方程为或. 故答案为或. 点睛：解答本题的关键是借助题设条件，解答本题的关键是利用三角形中位线的

17、性质得点的纵坐标，再根 据三角形面积，数形结合求得，然后再依据已知条件建立方程求出，使得问题获解. 21 【2018 河南商丘高三二模】过圆的圆心的直线与抛物线相交于两点， 且，则点到圆上任意一点的距离的最小值为_ 【答案】 【解析】设由题得 不妨设 所以点到圆上任意一点的距离的最小值为故填. 点睛： 本题的难点在于探究解题的思路，根据数形结合可得点到圆上任意一点的距离的最小值为|MA|-r, 所以 要求点A的坐标，所以要找到关于点A ，B 的两个方程即可，从哪里找到方程，一个是，一 个是. 三、解答题 22 【2018 广东佛山高三质检二】已知直线过点，且与抛物线相交于两点，与轴交于点 ，其

18、中点在第四象限，为坐标原点 . ( ) 当是中点时，求直线的方程； ( ) 以为直径的圆交直线于点，求的值 . 【答案】（1）（2）4 试题解析： ( ) 因为是中点，点在 轴上， 所以的横坐标, 代入得， 又点在第四象限，所以的坐标为，所以直线即直线 的方程为. ( ) 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为, 又三点共线，则可设为且， 联立方程，化简得到, 由韦达定理得, 又在上，所以, 因为在以为直径的圆上, 所以，即, 又，所以, 即, 所以. 23 【2018 衡水金卷高三调研二模】已知点为抛物线的焦点， 过的直线 交抛物线于两 点. （1）若直线的斜率为1，求抛物线的方程； （2）若

19、抛物线的准线与轴交于点，求的值 . 【答案】（1）； （2）2. 试题解析：（ 1）由题意知，直线的方程为. 联立得. 设两点的坐标分别为， 则. 由抛物线的性质，可得， 解得，所以抛物线的方程为. （2）由题意，得，抛物线， 设直线 的方程为， 联立得. 所以 因为， 所以. 因为三点共线，且方向相同， 所以， 所以， 所以， 代入，得解得， 又因为，所以， 所以 . 点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系以及过焦点弦长问题，属于中档题；联立直线与抛物线的 方程将韦达定理和弦长公式相结合属常见方法，解决此题的难点是将面积关系转化为向量关系. 24 【2018 安徽安庆高三二模】在直角坐标

20、系中，设点A（-3，0） ，B（3，0） ，直线 AM ，BM 相交于点 M， 且它们的斜率之积是 （1）试讨论点M 的轨迹形状； （2）当 0b3 时，若点M 的轨迹上存在点P（P在 x 轴的上方），使得 APB=120 ，求 b的取值范围 . 【答案】（1）见解析（ 2） 试题解析：（ （）设点，由题意得： 化简得，所以点的轨迹方程为 当时，点的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆（除去A,B 两点）； 当时，点的轨迹是圆（除去A,B 两点） ； 当时，点的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆（除去A,B 两点） （）方法一：当时，设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为， 因为点 P在点 M 的轨迹上，所以 ，

21、 因此的取值范围是 方法二：当时，设点 P的坐标为， 以下同方法一 25 【2018 东莞高三二模】已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率为1 的直线 交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为8 与 . ( ) 求椭圆的标准方程； ( ) 设直线交椭圆于两点，且，求证：到直线的距离为定值 . 【答案】 ( ).() 见解析 . 【解析】试题分析：()利用四边形的周长和椭圆的定义得到，再利用四边形的面积公式和点在椭圆 上求出椭圆的标准方程；( )设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根 与系数的关系、平面向量的数量积为0 进行求解 . 试题解析： ( ) 不妨设点是第一

22、象限的点，依题可得. . . 点在椭圆上，解得，或（舍） , 椭圆的标准方程为. ( ) 当直线斜率存在时，设直线的方程为, 由消去得, 设则, , 即,即, 到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为. 由椭圆的对称性易知到直线的距离为. 到直线的距离为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系. 在研究直线和圆锥曲线的位置关系时，往往要 先利用题意设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系进行求解，但要注意讨论 直线的斜率是否存在，如本题中，直线不存在斜率的直线符合题意. 26 【2018 黑龙江大庆高三质检二】已知椭圆 22 22 C :1

23、(0) xy ab ab 的焦距为2 3， 且C过点 1 3, 2 . ( ) 求椭圆C的方程； ( ) 设 12 BB、分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于 12 BB、的任意一点， 过点P作PMy 轴于,M N为线段 PM的中点，直线 2 B N与直线1y交于点,D E为线段 1 B D的中点，O为坐标原点， 求证：.ONEN 【答案】（） 2 2 1 4 x y. （）证明见解析. 【试题解析】 （）由题设知焦距为2 3，所以3c. 又因为椭圆过点 1 3, 2 ，所以代入椭圆方程得 22 1 3 4 1 ab 因为 222 abc，解得21ab， 故所求椭圆C的方程是 2 2

24、1 4 x y （）设 00 ,P xy， 0 0x，则 0 0,My， 0 0 , 2 x Ny 因为点P在椭圆C上，所以 2 2 0 0 1 4 x y即 22 00 44xy 又 2 0,1B，所以直线 2 B N的方程为 0 0 21 1 y yx x 令1y，得 0 0 1 x x y ，所以 0 0 , 1 1 x D y 又 1 0, 1B，E为线段 1 B D的中点，所以 0 0 ,1 2 1 x E y 所以 0 0 , 2 x ONy ， 00 0 0 ,1 22 1 xx ENy y 因 22 200000 0000 00 1 222 144 1 xxxxx ON ENy

25、yyy yy 2 0 000 0 44 1110 4 1 y yyy y ， 所以ONEN, 即ONEN 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和圆锥曲线的位置关系,考查利用向量的数量积证明 两条直线垂直的方法.要求椭圆的标准方程,即求得,a b的值 ,需要两个条件,题目给定椭圆的焦距和椭圆上一 点的坐标 ,由此可以建立方程,解 222 abc,联立方程组可求得,a b的值 . 27 【2018 江西新余高三二模】已知抛物线 2 :20C xpy p过点2,1，直线l过点0, 1P与抛物线 C交于A，B两点 . 点A关于y轴的对称点为A，连接A B. （1）求抛物线线C的标准方程；

26、 （2）问直线A B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】 (1) 2 4xy；(2) 答案见解析 . 解析： (1) 将点2,1代入抛物线 2 :2Cxpy的方程得， 2p. 所以，抛物线C的标准方程为 2 4xy. (2) 设 直 线l的 方 程 为1ykx， 又 设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 则 11 ,Ax y. 由 21 , 4 1, yx ykx 得 2 440xkx. 则 2 16160k，124xx，124xxk. 所以 22 21 2121 2112 44 4 A B xx yyxx k xxxx . 于是直线A B的方程为 2 221

27、 2 44 xxx yxx 所以 2 21221 2 1 444 xxxxx yxxx. 当0x时，1y， 所以直线A B过定点0,1. 点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和 计算能力 .求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推 理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易 于计算的方向. 28 【2018 广东惠州高三4 月模拟】 已知抛物线 2 20ypx p的焦点为F， 点,2P pp满足3PF. （1）求抛物线的方程； （2）过点1

28、,0的直线l交抛物线于AB、两点，当3FAFB时，求直线l的方程 . 【答案】 (1) 2 4yx;(2) 3 :1 2 lyx. 试题解析：（ 1）由条件易知 ,2Ppp在抛物线 2 2ypx上， 3 3 22 p pp PFx， 故2p，即抛物线的方程为 2 4yx； （2）易知直线l斜率必存在，设:1lyk x， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 12 3131FAFBxx， 联立 2 4 1 yx yk x 得 2 2 14kxx即 2222 240k xkxk， 由 2 16160k得 2 1k，且 2 12 2 24k xx k ， 12 1x x， 由得 23 1 4 k

29、，即直线 3 :1 2 lyx. 29 【2018 陕西咸阳高三二模】已知2,0A，2,0B，点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之 积为 3 4 . （1）求动点C的轨迹方程； （2）设直线l与（ 1）中轨迹相切于点P，与直线4x相交于点Q，且1,0F，求证：90PFQ. 【答案】（1） 22 10 43 xy y； （2）证明见解析. 试题解析： （1）设,C x y，则依题意得 3 4 ACBC kk，又2,0A，2,0B，所以有 3 0 224 yy y xx ，整理得 22 10 43 xy y，即为所求轨迹方程. （2）法 1：设直线l：ykxm，与 22 3412xy联立得 2

30、 2 3412xkxm，即 222 3484120kxkmxm， 依题意 2 22 84 344120kmkm， 即 22 34km， 122 8 34 km xx k ，得 122 4 34 km xx k ， 22 43 , 3434 kmm P kk ，而 22 34km，得 43 , k P mm ，又4,4Qkm， 又1,0F，则 43 1,3,40 k FP FQkm mm . 知FPFQ， 即90PFQ. 法 2：设 00 ,P xy，则曲线C在点P处切线PQ： 00 1 43 x xy y ，令4x，得 0 0 33 4, x Q y ，又1,0F， 0 00 0 33 1,3

31、,0 x FP FQxy y . 知FPFQ， 即90PFQ. 30 【 2018 河南商丘高三二模】已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上一点 满足，过点的直线 与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作 轴的垂线，交椭圆于，求证：存在实数，使得. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 试题解析： (1)依题意，故. 将代入椭圆中，解得， 故椭圆的方程为：. （2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为. 设点，则， 联立，得. 即， 则， 由题可得直线方程为， 又，. 直线方程为， 令，整理得 ， 即直线过点. 又椭圆的右焦点坐标为， 三点，在同一直线上. 存在实数，使得 . 点睛：存在实数，使得，就是证明G,三点共线，要就是证明直线NG过定点（ 1,0 ）.所以 解答本题的关键是读懂命题转化命题.