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1、专题十四极坐标与参数方程大题 （一）命题特点和预测： 分析近 8 年全国新课标1 坐标系与参数方程大题，发现 8年 8 考， 主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、 参数方程与普通方程互化，考查利用极坐标、直线的参数方程、椭圆的参数、圆的参数方程处理弦长或最值 等问题，难度为基础题.2019 年不等式选讲大题仍将主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、参数方程与 普通方程互化，考查利用极坐标、直线的参数方程、椭圆的参数、圆的参数方程处理弦长或最值等问题，难 度为基础题 . （二）历年试题比较： 年份题目 2018年 【2018 新课标 1,文 22】在直角坐标系 中，曲线的方程为以坐标原点为极
2、点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求的直角坐标方程； （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程 2017年 【2017 新课标 1，文 22】选修 4- 4：坐标系与参数方程（ 10 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 3cos , sin, x y （为参数 ），直线l 的参数方程为 . （1）若 a=- 1，求 C 与 l的交点坐标； （2）若 C 上的点到l 距离的最大值为 17，求 a. 2016年【2016 新课标 1，文 23】 （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（t 为参数， a0
3、） .在以坐标原点 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： =4cos . （I）说明 C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3的极坐标方程为= 0，其中 0满足 tan 0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上， 求 a. 2015年 【2015 高考新课标1，文 23】选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 C:x=2，圆 2 C：,以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （）求 1 C， 2 C的极坐标方程； （）若直线 3 C的极坐标方程为，设 2 C与 3 C的交点为 M,N,求2 C MN的面 积
4、. 2014年【2014 课标 ，文 23】 （本小题满分10 分）选修44，坐标系与参数方程 已知曲线，直线 l： 2, 22 , xt yt （t为参数） . （I）写出曲线 C的参数方程，直线l的普通方程； （II）过曲线 C上任意一点P作与l夹角为30 的直线，交 l于点A，PA的最大值与最小值 2013年 【2013 课标全国 ，文 23】(本小题满分10 分)选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t 为参数 )，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1与 C
5、2交点的极坐标 ( 0,0 2) 2012年 【2012全国，文 23】选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是 2cos 3sin x y ， ， (为参数 )，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是 2正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2， 3 ) (1)求点 A，B，C， D 的直角坐标； (2)设 P 为 C1上任意一点，求 |PA| 2|PB|2|PC|2|PD|2 的取值范围 2011年 【2011 全国新课标，文23】选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲
6、线C1的参数方程为(为参数 )M 是 C1上的动点， P 点 满足 2OPOM ，P 点的轨迹为曲线C2. (1)求 C2的方程； (2)在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1的异于极点的交点为 A， 与 C2的异于极点的交点为B，求|AB|. 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）由 ，得的直角坐标方程为 （2）由（ 1）知是圆心为，半径为的圆 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线记 轴右边的射线为， 轴左边的射线为由于在 圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只 有一个公共点且与有两个公共点 当与只有一个公共点
7、时，到所在直线的距离为，所以，故或 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点 综上，所求的方程为 （2017年）【解析】（1）曲线C的普通方程为 2 2 1 9 x y 当1a时，直线l的普通方程为 由解得 3, 0 x y 或 21 , 25 24 . 25 x y 从而C与l的交点坐标为(3,0)， 21 24 (,) 25 25 （2）直线l的普通方程为，故C上的点到l的距离为 当4a时，d的最大值为 9 17 a 由题设得 9 17 17 a ，所以8a； 当
8、 4a 时，d的最大值为 1 17 a 由题设得，所以 16a 综上，8a或16a 【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标 方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程 化为普通方程来解决. （2016年）【解析】（）消去参数 t得到 1 C的普通方程. 【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 【名师点睛】“ 互化思想 ” 是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方 程的互化公式及应用. （2015年）【解析】（）因为 ， 1 C的极坐标方程为
9、， 2 C的极坐标方程为. 5分 （）将= 4 代入，得，解得 1=2 2 ， 2=2 ， |MN|=12= 2 ， 因为 2 C的半径为1，则 2 C MN的面积= 1 2 . 【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 （2014年）【解析】 （ I） 曲线 C 的参数方程为（为参数） 直线l的普通方程为 （II）曲线 C 上任意一点到l的距离为则 其中为锐角，且 4 tan 3 当时，PA取到最大值，最大值为 22 5 5 当时，PA取到最小值，最小值为 2 5 5 （2013年）【解析】 (1)将 消去参数t，化为普通方程(x4) 2(y5)225， （2012年） 【
10、解析 】(1)由已知可得A( 2cos 3 ， 2sin 3 )， B(，)， C(2cos( 3 )，2sin ( 3 )， D(， )， 即 A(1，3)，B( 3，1)，C(1，3)，D(3， 1) (2)设 P(2cos ，3sin )，令 S|PA| 2|PB|2|PC|2|PD|2， 则 S 16cos2 36sin 2 163220sin2 . 因为 0sin 2 1 ，所以 S的取值范围是 32,52 （三）命题专家押题 题号试题 1. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（ 为参数），以原点为极点，轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）过点
11、倾斜角为的直线 与曲线交于两点，求的值 . 2. 已知平面直角坐标系，直线 过点，且倾斜角为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系，圆的极坐标方程为. （1）求直线的参数方程和圆的标准方程； （2）设直线与圆交于、两点，若，求直线的倾斜角的值. 3. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 ，过点的直线 的参数方程 ，直线与曲线分别相交于两点 （1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）是否存在实数，使得成等比数列，并对你的结论说明理由 4. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 . （1）求曲线的直角坐
12、标方程； （2）过点的直线 与曲线交于两点，若，求直线的参数方程 . 5. 在平面直角坐标中，直线 的参数方程为（ 为参数，为常数）以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，若，求的值 6 设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合.直线（t 为参数 )，曲线 (1)求曲线的直角坐标方程； (2)直线与曲线交相交于A， B 两点，求 AB 中点 M 的轨迹的普通方程. 7 在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的参数方程为（为参数） . 以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标
13、系，圆的极坐标方程为. （1）求的极坐标方程； （2）设 与，异于原点的交点分别是，求的面积 . 8 在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为 极轴建立坐标系， 曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于 直线对称 . （）求曲线的极坐标方程； （）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交 于，两点，当变化时，求面积的最大值. 9 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上的点，垂足为，若的
14、最小值为，求的值 10 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同 的长度单位，已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为 求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程； 若把曲线上给点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，设点是 曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值. 【详细解析】 1.【解析】（ 1）依题意，曲线的普通方程为， 即，故，故， 故所求极坐标方程为； （2）设直线的参数方程为（ 为参数）， 将此参数方程代入中， 化简可得， 显然 .设 所对应的参数分别为，则. . 2.【解析】（ 1）因为直线过点，且倾斜角为， 所以直线的参
15、数方程为（ 为参数）， 因为圆的极坐标方程为， 所以， 所以圆的普通方程为：， 圆的标准方程为：. （2）直线 的参数方程为，代入圆的标准方程得， 整理得， 设、两点对应的参数分别为、，则恒成立， =-40 所以，. 因为，所以或. 3.【解析】（ 1）,， （2）将代入， 得， 设两点对应的参数分别为，由韦达定理，得， 所以得， 得从而， 化简得，而此方程无解，故不存在实数 4.【解析】（ 1）由得即, 即 即 即 即 （2）设直线l 的参数方程为（t 为参数，0， ） ） 将直线 l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得： 设点 A，B 对应的参数分别为t1 和 t 2，则 因为，所以 由解
16、得 ，因为0， ） ，所以或 所以直线的参数方程为： （t 为参数） 5.【解析】（ 1）直线的参数方程为（ 为参数，为常数）， 消去参数得 的普通方程为：即 ，即，即 故曲线的直角坐标方程为 （2）法一：将直线的参数方程代入曲线中得， 法二：将代入曲线 化简得：, 6.【解析】（ 1）由，代入曲线 得，即 （2）将代入得， 设直线上的点对应的参数分别为， 则， 所以中点 M 的轨迹方程为（ 为参数）， 消去参数，得 M 点的轨迹的普通方程为 7.【解析】（ 1）由 得， 化为. 即. 因为， 所以的极坐标方程为. （2）因为直线的斜率为，即倾斜角为， 所以其极坐标方程为. 设，. 由， 得，
17、 即， 由， 得， 即. 由的极坐标方程得， 所以， . 因为， 所以的面积为. 8.【解析】 ()法一：由题可知，的直角坐标方程为：， 设曲线上任意一点关于直线对称点为， 所以 又因为，即， 所以曲线的极坐标方程为： 法二：由题可知，的极坐标方程为：， 设曲线上一点关于的对称点为， 所以 又因为，即， 所以曲线的极坐标方程为： ()直线的极坐标方程为： ，直线的极坐标方程为： 设， 所以解得，解得 因为：，所以 当即时，取得最大值为： 9.【解析】（ 1）因为曲线的极坐标方程为，即， 将，代入上式并化简得， 所以曲线的直角坐标方程为， 消去参数可得直线的普通方程为 （2）设，由点到直线的距离公式得 ， 由题意知， 当时，得， 当时， |，得； 所以或 10.【解析】 （ 1）由（t 为参数），得，即.故直线 的普通方程是. 由，得，即. 代入得.故曲线的直角坐标方程是. （2）曲线的直角坐标方程化为参数方程是（ 为参数），若把曲线上各点的横坐标伸长为 原来的倍， 纵坐标伸长为原来的倍，得到的曲线的参数方程（ 为参数） . 由点到直线的距离公式得，点到直线 的距离是 ， 其中. 当时，取得最大值，且最大值为.