如何在三角函数的教学中培养数学思维能力.pdf

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1、如何在三角函数的教学中培养数学思维能力 摘要：数学是思维的体操，思维是智力的核心。在新课程改革的背景下，培养 学生的思维能力是高中数学教学的重要任务之一。本文通过自身在数学教学上遇 到的问题，对如何在三角函数教学中培养学生的思维能力进行了反思与总结，着 重探讨如何培养学生思维的深刻性、批判性、广阔性、敏捷性、灵活性和创造性。 关键词：高效教学；三角函数；思维品质；培养 在新课程改革的背景下， 数学课堂教学要做到具有较好的课堂质量、较高的 课堂效率、融洽的课堂氛围，这是师生所共同的追求，因此，我们要打造高效课 堂。 但是，在多年的高中数学教学中，常有这样的现象：教师长年辛苦教学，投 入的时间和付

2、出的精力不少， 而实际教学效果却不能令人满意；学生做了大量习 题， 还是缺乏举一反三和独立思考的能力。 这一现象在三角函数教学中尤为明显。 三角函数是近年来广东高考数学试卷解答题的第一题，重点考察三角函数的 性质和公式计算，难度不大，学生必须得分。但是，三角函数又是高中学生感到 最难学的课程之一，在高考中学生得分率不高。难之所在，三角函数公式最多， 关系也杂，变化无穷，有些问题乍看还挺“怪”，知识和思维都令人眼花缭乱。 这些困难的产生在于学生学习时存在着如下思维问题： （1） 学生数学思维呈现表象性 学生在学习过程中，对于知识发生的过程不会主动地进行深入的理解和思 考，对三角函数知识的理解仅仅

3、停留表象层面上。在解决三角函数问题时， 不注 意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。 （2）学生因“思维定势”而产生思维障碍 很多学生在解题中不爱独立思考，往往从以往的解题经验中出发， 套用原有 的思路，学生自主发现问题、分析问题、总结问题的能力较差，难以适应高考选 拔性考试的要求 （3）思考问题角度单一，数学思想方法缺乏 很多学生在解题时，通常一拿到题目便急于罗列三角函数公式、代入演算， 不善于对问题进行整体系统地思考，不善于多维度地思考不同知识点之间的联 系，挖掘试题意图， 这种单一的思考方式常导致学生在解题中思维中断，难以顺 利进行。 （4）没有良好的回顾

4、与反思的习惯 多数学生在做完题目之后从不回顾与思考，没有良好的反思习惯，对于数 学问题不能进行多方面的思考， 找出解决问题的多种方法， 并将之推广应用于类 似的问题中。 对于试题中出现的错误， 不善于总结， 在以后类似的题目中仍会犯 同样的错误，学习效率低下，这样很不利于数学思维能力的提高。 执果索因，往往在于教师在教学过程中，只重视知识的教学， 而忽视了对学 生思维品质的培养。数学思维能力主要是指学生具有观察、比较、分析、猜想、 抽象和概括的能力， 具有合理表达自己观点的能力，具有归纳、 演绎等进行推理 的能力，应能够将数学概念和数学思想结合，形成优秀的数学思维品质。 心理学家认为，培养学生

5、的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。 思维品质包括思维的深刻性、批判性、广阔性、敏捷性、灵活性和创造性，它们 反映了思维的不同方面的特征。 而数学家 G . 波利亚在怎样解题中说过： “数学教学的目的在于培养学 生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的解题训练。”因此可以 利用三角函数题目的多变与灵活性来有效的培养学生的数学思维能力。 以下是我在三角函数的教学中如何培养学生数学思维能力的一些见解。 1、 挖掘隐含条件，培养思维的深刻性 思维的深刻性就是分析问题和解决问题过程中善于深入地思考问题，善于抓 住事物的规律和本质。 有些学生在解题时， 往往抓不住问题的实质， 对问题中

6、的 某些隐含条件挖掘不出， 思维仅处于较浅层次。 因此在引导学生思考时， 应注重 问题本质的分析，通过逐层分析，挖掘隐含条件，培养思维的深刻性。 例 1 已知 mtan)0(m ，且 2 1 sin m m ，那么角所在的象限是（） A、第一、二象限 B 、第一、三象限 C 、第一、四象限 D 、第二、四象限 【分析】 引导学生抓住问题的本质：判断角所在的象限，就是判断tan、 sin正负情况。如何判断？这里隐含着什么条件呢？逐层分析，让学生逐步深 入思考：tan与 m同号，sin与 m 也同号 （因为01 2 m） ， 也就是tan与sin 同号，故应选（ C ） 。 例 2 求方程xxsi

7、n2 3 1 的解个数是（） A、4 B、5 C、6 D、7 【分析】这是一个超越方程，若按常规方法，根本无法入手，这就要引导学 生换一种思维方式， 挖掘出题目所隐含条件： 求函数 3 1 xy和函数xysin2的 交点个数。 如何求？显然这两个函数均是奇函数，关于原点对称， 只要求出在第 一象限的交点个数乘2，再加上原点一个即可。又如何求第一象限的交点个数 呢？又再挖掘题目另一个隐含条件：2sin20xy； 3 1 xy在80x时， 20y，通过画草图，加以推理判断可知在第一象限有3 个交点，故应选（D ） 。 像这种利用隐含条件解题的数学问题非常多，要较好的解决这种题目， 学生 必须具有较

8、好的基础和比较敏锐、缜密的数学思维， 而培养这些能力的主要形式 是课堂基本知识的学习。 2、加强观察与联想，培养思维的广阔性 思维的广阔性表现为一种不依常规，寻求变异，从多角度、多方向去思考问 题，寻找答案的思维方式。 在解题时教师要培养学生的观察能力，结合教材内容， 从新知与旧知、纵向与横向等多方面引导学生展开联想，弄清知识之间的联系， 互相渗透，就能开阔学生的视野，拓广思路。 例 3 已知1 sin sin cos cos 2 4 2 4 B A B A ，求证：1 sin sin cos cos 2 4 2 4 A B A B 【证法 1】此题是属条件等式的证明，按定势思维，学生马上就会

9、寻求角、 种类及结构上的差异，套用三角函数公式寻找证明途径。解法如下： 将已知条件变形为： BBBABA 222424 sincoscossinsincos BBBAABAA 22222222 sincoscos)cos1 (sinsin)sin1 (cos BBBAABABAABA 222222222222 sincoscoscossincossinsinsincossincos 0sincoscossinsincossincos 22222222 BBBAAABA 0)cos)(cossin(sin 2222 BAAB 所以有：AB 22 sinsin或BA 22 coscos 事实上AB

10、 22 sinsinBA 22 coscos 所以1sincos sin sin cos cos sin sin cos cos 22 2 4 2 4 2 4 2 4 AA A A A A A B A B 显然，而此题如此证明非常繁琐， 不是对公式熟练和计算能力强的学生很难 做到。但是，如果仔细观察所给条件的结构及“1” ，其能联想到同角公式： “1cossin 22 ”就能寻求出较简捷的证明方法。其证明如下： 【证法 2】把条件化为：1) sin sin () cos cos ( 2 2 2 2 B A B A 设 B A cos cos sin 2 ， B A sin sin cos 2

11、则1)sin(sincoscossincossin 22 BBBAA 得：Bk 2 2，则 B A B cos cos cossin 2 ， B A B sin sin sincos 2 所以有BA 22 coscos，AB 22 sinsin 所以1sincos sin sin cos cos sin sin cos cos 22 2 4 2 4 2 4 2 4 AA A A A A A B A B 显然这样解题计算就比 【证法 1】简单多了，讲解时学生容易接受，而且对 知识点“三角函数的同角关系与诱导公式”也是一个复习与考查。 同时通过这道题我们也可以发现， 培养学生思维的广阔性要求我们在

12、课堂教 学中首先要重视数学基础， 其次要对题目的具体特征进行深入的、细致的、透彻 的观察，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入寻求转化关系，把复杂问 题转化成简单问题。 3、 敢于质疑辨析，培养思维的批判性 思维的批判性反映了思维活动中独立分析和批判的程度，它主要表现为不盲 从，有自己的独特见解， 敢于怀疑，有较强的判别能力， 能精细地检查思维过程。 培养学生思维的批判性，就是培养学生有能力评价解决问题的思路选择是否正 确，使他们善于发现问题， 检验解题的合理性， 修正解题方案甚至获得独特的解 决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关 例 4 判断函数 xx xx xf cossin1

13、cossin1 )(的奇偶性 【错解】 ： xx xx xf cossin1 cossin1 )( 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 cos 2 sin2 2 2 xxx xxx 2 tan 2 cos 2 sin x x x 2 tan) 2 tan()( xx xf xx xx xf cossin1 cossin1 )(是奇函数 让学生判断这种解法正确与否。刚开始，大部分学生很肯定正确，原因是 xx xx xf cossin1 cossin1 )(与 2 tan)( x xf是同一函数， 2 tan)( x xf是奇函数，所 以原函数也是奇函数。首先，肯定学生的推理

14、没错，若 xx xx xf cossin1 cossin1 )(与 2 tan)( x xf是同一函数，则它们的奇偶性肯定相同；但我们说两个函数是同一 函数，必须满足什么条件？（让学生回忆“函数三要素”）有些学生很快发现实 际上这两个函数并不是同一函数，因为： 前者定义域是，Rxx且, 2 2,)12(Zkkxkx， 后者定义域是，Rxx且,) 12(Zkkx， 两者定义域并不相同， 故不是同一函数； 同时可发现前者的定义域不关于原点对 称，所以原函数是非奇非偶函数。 再问：若多加一个条件) 2 , 2 (x，那么原来解法是否正确？为什么？让 学生独立思考，独立判断，培养独立思考问题的能力。经

15、过思考分析，学生都能 指出在 ) 2 , 2 (x着条件下， xx xx xf cossin1 cossin1 )(与 2 tan)( x xf是同一函 数，故此时原函数是奇函数。 经过这样辨析对比，既有利于增强学生辨别是非能力，又有利于培养学生思 维的批判性。 4、加强思维发散，注重一题多变，培养思维的创造性 思维的创造性是指主动、独创地发现新事物，提出新见解，解决新问题的一 种思维品质。在教学中，应有意识通过一题多变等具有发散性的题型进行训练， 引导学生去探索，从而培养学生思维的创造性。 例 5 已知 3 sin4sin33sin，求 000 70sin50sin10sin的值 【分析】

16、这是一道常规三角函数计算题，它的基本思想是：遇到两个“弦函 数”的积，在能够创造出特殊角的情况下，便可想到化和差。其解题过程如下： 原式=)1060sin()1060sin(10sin 00000 =)10sin60cos10cos60)(sin10sin60cos10cos60(sin10sin 000000000 =)10sin60cos10cos60(sin10sin 020202020 = )10sin 4 1 10cos 4 3 (10sin 02020 =10sin)10sin1(310sin 4 1 02020 由 3 sin4sin33sin） 上式=)10sin410sin3

17、( 4 1030 = 0 30sin 4 1 = 8 1 题目虽然解决完了，但总感到“意犹未尽” 。实际上，按照上面的解题思想， 我们可以从 000000 30sin 4 1 )1060sin()1060sin(10sin归纳出三倍角公式的另 一种表达形式：3sin 4 1 )60sin()60sin(sin 000 ，利用这个公式，我们可 以十分简捷地解决很多问题。 【变式训练】（1）计算： 000 80sin40sin20sin （2）计算： 0000 78sin66sin42sin6sin 【解析】 （1）直接利用上面的结论，有： 原式= 8 3 60sin 4 1 )2060sin()

18、2060sin(20sin 000000 （2）本题显然比上一题要求更高，需要自己构造所需形式。 原式= 00 000000 18sin54sin )78sin42sin18)(sin66sin54sin6(sin = 00 0000000000 18sin54sin )1860sin()1860sin(18)(sin660sin()660sin(6sin = 00 00 18sin54sin 54sin 4 1 18sin 4 1 = 16 1 经过这样一题多变，使学生认真观察、多方联想、发现新的知识和解题规律，可 使学生的思维得到更高一个层次的提高。实际上，经一步研究， 我们还可以得到 其

19、它类似的结论： 3cos 4 1 )60cos()60cos(cos 000 3tan 4 1 )60tan()60tan(tan 000 从多年的教学经验中， 我们知道一堂课结束或一道题做完，学生往往认为达 到了目的， 不善于反思与引申， 这不利于学生数学思维能力的发展，也影响到学 生数学成绩的提高。 因此教师应在教学中对问题进行引申或变更，引导学生对所 学知识做进一步思考，开拓思路，进行思维训练提高学生思维的创造性。 5、重视多角度思维，提倡一题多解，培养思维的敏捷性与灵活性 思维的敏捷性，它是指智力活动，特别是思维的正确而迅速的特点。它的指 标有二个： 一是速度， 二是正确率。 具有这一

20、品质的学生能缩短运算环节和推理 过程 而思维的灵活性，它是指随机应变地转化解题方法的能力，即从一种解题途 径转向另一种解题途径的灵活性。 思维灵活性对于思维速度和准确率的提高起着 决定性作用。 在教学中，教师应注重多角度思维，一题多解，可以培养学生思维的灵活性 和创造性，从而达到解题的敏捷性。 【例 6】求 000202 80cos20sin380cos20sin的值。 【解析 1】 000202 80cos20sin380cos20sin = 000202 10sin20sin310sin20sin = 00 00 10sin20sin3 2 20cos1 2 40cos1 = 000 00

21、00 10sin)1030sin(3 2 )1030cos()1030cos( 1 = 0000000 10sin)10sin30cos10cos30(sin310cos30cos1 = 02000 10sin 2 3 10sin10cos 2 3 10cos 2 3 1 =)20sin1( 4 3 20sin 4 3 10cos 2 3 1 000 =)20sin 2 3 20sin 2 1 ( 2 3 10cos 2 3 4 1000 = 00 80sin 2 3 10cos 2 3 4 1 = 4 1 显然，本题如果直接利用三角函数公式，其解题过程非常繁琐，那么有没有 更简便快捷得方法呢

22、？通过仔细观察和思考，用代数知识和几何知识可推出以下 两种解法 【解析 2】构造对偶式，建立方程组。 因 为 000202 80cos20sin380cos20sin= 000202 10sin20sin310sin20sin 所以设 000202 000202 10cos20cos310cos20cos 10sin20sin310sin20sin B A 则 00000 10cos32)10sin20sin10cos20(cos32BA,（1） )10sin20sin10cos20(cos320cos40cos 000000 AB 00000 30cos3)1030cos()1030cos(

23、 000 30cos310cos30cos2 2 3 10cos3 0 ,（2） 由（1）（ 2）得： 2 1 2A，所以 4 1 A 即 000202 80cos20sin380cos20sin= 4 1 【解析 3】将所求式统一为正弦函数得表达式 A B C 0 150 0 10 0 20 000202 80cos20sin380cos20sin= 000202 10sin20sin310sin20sin 这个结构酷似余弦定理，因而启发我们构造一个内角分别为 000 1502010、且 外接圆直径为 1 得三角形，如下图， 则由余弦定理有： 0222 150cos2ACABACABBC 再

24、由正弦定理有：2 20sin10sin150sin 000 ABACBC 可得 000020202 150cos10sin20sin210sin20sin150sin = 000202 10sin20sin310sin20sin 即 4 1 80cos20sin380cos20sin 000202 通过对比，解法 2 尤其是解法 3 明显计算简便的多， 这两种方法充分体现了 思维灵活性，以简驭繁，用特殊思想求解，解题迅速、正确。 实际上“数学是一个有机的整体， 它的各个部分之间存在概念的亲缘关系” ， 通过用不同的方法解决同一道数学题，可以把亲缘关系结成一张网， 就可覆盖全 部内容。所以提倡一

25、题多解首先可以开拓解题思路，巩固所学知识； 其次可激发 学习数学的兴趣和积极性， 达到开发潜能， 发展智力的目的； 最后能培养学生的 创造性思维，提高解题的灵活性和敏捷性，最终提高学生高考的数学成绩。 应当指出，思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体 中。上述五个途径各有侧重，它们互为补充，相互促进。所以我们在平时的教学 中，不能以偏盖全，应当全面促进学生数学思维品质的发展。 培养学生的数学思维能力是当前素质教育实现“高效课堂”的核心问题， 几乎人人在提，但是它在我们学校教育主阵地的课堂当中如何真正落实呢？这个 问题似乎太大，一时间是难以解决的，正所谓“冰冻三尺非一日之寒“。但是， 只要我们教师重视这个问题，在数学教学过程中，从教学实际出发，有目的、有 计划地培养， 全面渗透和多角度训练， 来优化学生思维品质， 就能取得了较好的 教学效果，为今后学生的数学学习和成绩的提高打下良好基础。 参考文献： 1 涂荣豹新编数学教学论 M 上海：华东师范大学出版社 2 王家燕 . 中学数学思维训练 . 杭州: 杭州大学出版社 3 李裕达 . 数学思维能力及其培养之我见. 数学教学论文专辑 4 薛金星 . 高中数学解题方法与技巧 5 波利亚 . 怎样解题