对数概念教学设计-2018年广东省新课程培训(数学).pdf

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1、基于数学史的对数概念教学设计 华南师范大学数学科学学院（510631）江灼豪张琳琳何小亚 编者按： 由中国教育部国际交流司与师范司，以及东芝公司共同举办的第六届 “东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”2015年 1 月 13 日在重庆落下帷幕。在参加数学模拟授课、教案评比、即席演讲三项决 赛的 40 所师范大学中，华南师范大学的张琳琳夺得冠军. 这是继林佳佳、黄泽 君夺得第一、二届冠军之后，华南师范大学夺得的第三个冠军. 本刊刊登获得第 一名的教案 , 以飨读者 . 教材人教 A版普通高中数学必修一2.2.1 【课时安排】第1 课时 教材分析本节包括对数概念、对数与指数的

2、互化和对数的运算性质，这 是学生学习对数函数的基础. 教材借助例题中的指数函数，由“已知底数和幂的 值，求指数”直接引出对数的概念. 这种引入方式虽然直截了当地指出指数和对 数的互逆关系，但是对于大部分学生而言太过于抽象，学生难以通过定义了解 对数是如何计算，和它最初是如何被发明的，也就很难体会到对数强大的简化 运算的功能，以及引入对数的必要性. 学情分析 1. 认知基础 ：学生已学习了指数的知识，以及加法和减法、乘法和除法、 乘方与开方之间的互逆关系，因此可以较容易地接受指数与对数的互逆关系， 并由此得到对数的概念 . 2认知障碍： 用对数符号来表示指数 x . 教学目标 1知识与技能 理解

3、对数的概念（即：对数log a N 是一个数，底 a 的logaN 次幂等于真数 N）以及指数与对数的互逆关系. 2. 过程与方法 （1）经历对数概念的提出过程，学习将乘法和除法转化为指数的加减以及 乘方和开方转化为指数的乘除运算的化归思想； （2）通过类比减法、除法、开方运算学习对数概念的过程，学习类比思想 和垂直数学化的思想 . 3. 情感态度与价值观 （1）感受引入对数十分必要；（2）领悟对数强大的简化运算的功能； （3）体会对数源于生活中数学运算的需要，它有较高的科学价值和应用价 值. 教学重点： 理解对数的概念以及指数与对数的互逆关系. 教学难点： 对数概念 ；底数和真数的限制条件

4、. 关键：把log a N当成一个数，底 a的次幂等于真数N. 教学方法： 问题驱动、引导探究 . 教学手段： 计算机、 PPT 、几何画板 . 教学流程设计 教学过程设计 （一）问题引入 问题 1：请计算下面的式子（不使用计算器 ）： （1）32256（2）4096128（3） 3 16（4）16384 教师活动：请学生回答计算结果并谈谈计算的感受. 学生活动：计算并发表感受（计算量大）. 历史上，科学家也曾经遇到相同的问题！ 问题引入 探究发现 变式思考 形成概念 巩固运用 设计意图： 通过一组运算量较大的计算题使学生产生 认知障碍，结合对数产生的历史背景，使学生体会到 现实生活对数学发展

5、的推动作用，激发学生寻找新的 运算方法的动力 . 设计意图： 在学生尚未形成对数的概念时，先给出一 组比较特殊的数字，通过寻找规律并将其运用到化简 计算的探究过程，使学生初步体会到对数在化简一些 复杂计算时的作用 . 设计意图： 对算式进行变形，激发学生继续思考的动 力. 回顾数学史上对数表的发明，使学生了解数学家 在解决问题的过程中所做的努力，培养学生锲而不舍 的探究精神和科学态度 . 设计意图： 通过类比数的运算的发展规律，引出对 数，揭示指数和对数的互逆关系，培养学生的类比思 想. 通过分析底数和真数的限制条件，使学生更深刻 地理解对数的概念，强化指数和对数的联系. 设计意图： 根据桑代

6、克的练习律与斯金纳的强化原理 设计该练习，使学生熟练掌握指数式和对数式的互 化. 知识拓展 设计意图： 通过介绍科学家们对对数的高度评价和对 数在科学领域的广泛应用，使学生了解对数的科学价 值和应用价值 . 小结及作业 设计意图： 小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索 历程，学习数学思想；作业意在使学生进一步熟悉对 数的概念及指数和对数的互化. 背景介绍 1：在 16 世纪，随着哥白尼“日心说”的盛行，天文学也蓬勃发 展. 欧洲人渐渐热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文 知识，需要对庞大的“天文数据”进行快速和准确的计算. 但那时候还没有计算 机，人们迫切需要找到一种方法提

7、高运算效率. 那该怎么办呢？ 设计意图： 通过一组运算量较大的计算题使学生产生认知障碍，结合对数 产生的历史背景，使学生体会到现实生活对数学发展的推动作用，激发学生寻 找新的运算方法的动力 . （二）探究发现 问题 2：阅读下列资料，回答问题： 1714年，德国数学家斯蒂菲尔研究了下面的两行数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 请大家想一想，斯蒂菲尔会发现其中什么规律呢？ 学生活动：思考并发现规律. 教师活动：归纳结论：若设第一行的数为n的话，那么

8、第二行对应的数则 为2 n . 问题 3：后来，英国数学家纳皮尔受到这个表格的启发，发现了可以利用 这个规律来简便计算问题1 中的题目！同学们，你们知道他是怎么做的吗？ 学生活动：思考问题并进行猜想. 教师活动：肯定学生的发现，并总结纳皮尔的发现：第一列数的加减运算 结果与第二列数的乘除运算结果之间存在着对应关系. 例如，要计算32256， 则计算其对应的第一行的数5 和 8 的和得到 13，再找到 13 对应的第二行的结 果 8192 即可. 引导学生给出简化算法： （1） 585 813 3225622228192； （2） 12712-75 4096128222=232； （3） 343

9、12 16(2 )24096； （4） 1 2 147 16384(2 )2128. 问题 4：这四个式子的运算方法有什么共同特点吗？ 学生活动：思考问题，并尝试作出回答. 教师活动：补充学生的想法，共同特点：把每个要运算的数转化为 x 2. 这 样就可以将整数的乘法、除法、乘方和开方转化为对应指数的加法、减法、乘 法和除法，起到简化简运算的作用. 设计意图： 在学生尚未形成对数的概念时，先给出一组比较特殊的数字， 通过寻找规律并将其运用到化简计算的探究过程，使学生初步体会到对数在化 简一些复杂计算时的作用. （三）变式思考 问题 5：把原来的第（ 1）问改成132156，还能否用同样的方法解

10、决呢？ 背景介绍 1：在 16 世纪，随着哥白尼“日心说”的盛行，天文学也蓬勃发 展. 欧洲人渐渐热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更准确的天文 知识，需要对庞大的“天文数据”进行快速和准确的计算. 但那时候还没有计算 机，人们迫切需要找到一种方法提高运算效率. 那该怎么办呢？ 设计意图： 通过一组运算量较大的计算题使学生产生认知障碍，结合对数 产生的历史背景，使学生体会到现实生活对数学发展的推动作用，激发学生寻 找新的运算方法的动力 . （二）探究发现 问题 2：阅读下列资料，回答问题： 1714年，德国数学家斯蒂菲尔研究了下面的两行数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

11、0 11 12 13 14 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 请大家想一想，斯蒂菲尔会发现其中什么规律呢？ 学生活动：思考并发现规律. 教师活动：归纳结论：若设第一行的数为n的话，那么第二行对应的数则 为2 n . 问题 3：后来，英国数学家纳皮尔受到这个表格的启发，发现了可以利用 这个规律来简便计算问题1 中的题目！同学们，你们知道他是怎么做的吗？ 学生活动：思考问题并进行猜想. 教师活动：肯定学生的发现，并总结纳皮尔的发现：第一列数的加减运算 结果与第二列数的乘除运算结果之间存在着对应关系. 例如，要计算32256

12、， 则计算其对应的第一行的数5 和 8 的和得到 13，再找到 13 对应的第二行的结 果 8192 即可. 引导学生给出简化算法： （1） 585 813 3225622228192； （2） 12712-75 4096128222=232； （3） 34312 16(2 )24096； （4） 1 2 147 16384(2 )2128. 问题 4：这四个式子的运算方法有什么共同特点吗？ 学生活动：思考问题，并尝试作出回答. 教师活动：补充学生的想法，共同特点：把每个要运算的数转化为 x 2. 这 样就可以将整数的乘法、除法、乘方和开方转化为对应指数的加法、减法、乘 法和除法，起到简化简运

13、算的作用. 设计意图： 在学生尚未形成对数的概念时，先给出一组比较特殊的数字， 通过寻找规律并将其运用到化简计算的探究过程，使学生初步体会到对数在化 简一些复杂计算时的作用. （三）变式思考 问题 5：把原来的第（ 1）问改成132156，还能否用同样的方法解决呢？ 设计意图： 对算式进行变形，激发学生继续思考的动力. 回顾数学史上对数 表的发明，使学生了解数学家在解决问题的过程中所做的努力，培养学生锲而 不舍的探究精神和科学态度. （四）形成概念 在刚刚的探究中，我们发现简化运算不一定以2 为底，也可以以其它数为 底，如布里格斯就是以10 为底. 一般地，可以以 a 为底，这样化简运算的关键

14、是：给定a ，对于每个 )0(NN，把N写成) 1, 0(aaa x 且. 问题 6：如何将 x aN中的 x准确表示出来呢？ 学生活动：不知所措，有预习的学生可能会说用对数来表示. 问题 7：观察数的运算的发展，思考问题： （1）已知Nxa，求 xaNx （2）已知)0(aNax，求 xaNx （3）已知Nx n ，求 x n Nx （4）已知Na x ，求 x？ 学生活动：观察并思考问题. 教师活动：提出概念：一般地，如果)1, 0(aaNa x 且，那么数 x 叫做 以a 为底N的对数，记作)0, 1,0(logNaaNx a 且，其中 a叫做对数的底 数，N叫做真数 . 在此，强调“对

15、数是一个数”！NaN a ? ?log. 根据定义，可以得到对数和指数间的关系： 当0,1aa时，log x a aNxN. 通常，我们将以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 10 logN 记为lg N. 将以 e为底的对数称为自然对数，把logeN 记为ln N. 背景介绍 3：由此可知，对数是指数的逆运算. 但有趣的是，在数学史上， 对数却是先于指数被发现的.1614 年，纳皮尔发明了对数和对数表.1637 年，法 国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20 多年，当时人们并没有发现指数和 对数之间的关系 . 后来，数学家欧拉才提出“对数源于指数”，这一说法得到了 数学家们的广泛认可 .

16、 至此，对数逐渐得到完善，成为我们今天所用的对数. 设计意图： 通过观察数的运算的发展规律，类比联想到提出新的概念来解 决新的运算问题，引出对数，揭示指数和对数的互逆关系，培养学生的类比思 想. 引入什么？ 引入开方 引入除法 引入减法 问题 8：为什么对数的定义中要满足底数1,0aa且，0N呢？ 学生活动：思考问题并回答. 教师活动：提示学生根据指数和对数的互逆关系，举反例分析限制条件. )1, 0(logaaNaxN x a 且 当0a，在实数范围内 1 log 2 aN没有意义，即找不到对应的 N使得 aN ； 当1a，1N时， 1 log N 是没有意义的；同理可得0a的情况 . 而指

17、数函数的定义域为(0,)，所以N的取值范围是0N. 总结：负数和零没有对数 . 设计意图： 通过分析对数定义中的底数和真数的限制条件，使学生更深刻 地理解对数的概念，强化指数和对数的联系. （五）巩固运用 问题 9：根据对数的定义，计算 : （1） 2 log 8；（2） 2 log 1；（3）log 1 a ；（3）logaa.(0,1)aa 学生活动：通过上面的计算题，发现两个结论：log 10 a ， log1 aa . 教师活动：通过例题的讲解，强化对数的本质：对数是一个数！ NaN a ? ?log. 例如，82?8log ? 2 . 问题 10：求下列各式中 x的值： （1） 64

18、 2 log 3 x；（2） log 86 x ；（3）lg100x；（4） 2 ln ex. 设计意图： 通过练习题，让学生熟练掌握指数式和对数式的互化. （六）知识拓展 背景介绍 4：自从有了计算机，对数在简化计算上的作用已经大大降低， 但是它在现实生活中的应用却遍布各大领域： 在生物领域，利用“半衰期”求生物死亡年数； 在化学领域，对数用于测量PH值； 在地理领域，对数用于计算地震强度； 在物理领域，对数用于测量声音的分贝. 总结：对数之所以有如此广泛的应用，是因为在这些领域涉及了复杂的运 算，这就体现了对数强大的简化运算的功能！ 这就难怪历史上许多科学家对对数的发明给予了高度评价： 拉

19、普拉斯说：（对数）用缩短计算时间延长了天文学家的寿命. 伽利略说：给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙. 恩格斯说：对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17 世纪数学史 上的 3 大成就 . 设计意图： 通过介绍对数在科学领域的广泛应用和科学家们对对数的高度 评价，使学生了解对数的科学价值和应用价值. （七）小结及作业 小结： （1） 585 813 3225622228192； （2） 12712-75 4096128222=232； （3） 34 312 16(2 )24096； （4） 1 2 147 16384(2 )2128. 实现简便运算的关键：就是把整数的乘法、除法、乘

20、方和开方运算转化为 指数的加法、减法、乘法和除法. 这体现了重要的数学思想化归思想. 一般地，可以以 a 为底，把N写成) 1, 0(aaa x 且，即 x aN，那如何将 x准确表示出来呢？ 观察数的运算的发展： （1）已知Nxa，求 xaNx （2）已知)0(aNax，求 xaNx （3）已知Nx n ，求 x n Nx （4）已知Na x ，求 x 对数！ 通过类比逆运算的关系和引入新的运算的解决方法，提出引入对数这个重 要的概念 . 这体现了类比的数学思想. 问：对数是什么？ 对数是一个数！NaN a ? ?log 作业： 1上网搜索了解对数的发展史； 2课本练习题 P64 第 1,2

21、,3 题. 设计意图： 小结意在巩固本节课所学知识，回顾探索历程，学习数学思 想；作业意在使学生进一步熟悉对数的概念及指数和对数的互化. 附：本教学设计的创新之处 1过去的“对数及其运算”的教学大多仅限于“知其然不知其所以然”或 者说只会形式计算而不理解本质的水平. 本设计从数学史的角度引入对数概念， 实现了由工具性理解向关系性理解的转变提升； 2从垂直数学化的角度引入对数概念，为弗赖登塔尔所倡导的数学化原则 提供了一个具体的案例； 3在“过程与方法”与“情感态度价值观”目标上实现了可操作的创新. 致谢：感谢华南师范大学数学科学学院冯伟贞教授对本文的指导意见以及 佛山市南海桂城中学蒋爱国教师对本文的文献帮助. 引入什么？ 引入开方 引入除法 引入减法 参考文献 1 何小亚 , 姚静 . 中学数学教学设计M. 北京 : 科学出版社 ,2012. 2 王华民 , 侯斌 . 从一堂概念课的不同导入谈数学史融入数学J.数学通报， 2014,53(8):47-50. 3 陈少丽 . 对数的发明及其相关历史分析D. 临汾 : 山西师范大学,2012. 4 陈军 . 对数（第一课时）教学设计J.数学通报 .2010,(6):15-18. 5 李春艳 , 龙发山 .对数的产生与发展J.恩施职业技术学院学报,2002,14(2):85-88.