巧用中点解决问题试题-八年级数学下册专题讲练突破.pdf

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1、巧用中点解决问题 一、中位线定理 1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2. 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 如图，在 ABC中， D、E 分别是 AB 、 AC两边中点，求证DE平行且等于 2 BC 。利用全 等和平行四边形进行证明。 强调理解： （1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对 边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。 （2）三角形有三条中位线，首尾相接时，小三角形面积等于原三角形的四分之一，这 四个三角形都互相全等。 二、直角三角形斜边中线 如果一个三角形是直

2、角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图，在 RtABC中， ACB 90， D是 AB的中点，求证 2 AB CD。利用矩形性质 进行证 明。 总结： （1）当图形中有一个中点的时候考虑倍长中线，当图形中有两个中点的时候考虑连接 后用中位线； （2） 计算中经常使用直角三角形斜边中线等于斜边一半，特别要注意等腰直角三角形。 例题 1 如图， M是ABC的边 BC的中点， AN平分 BAC ，且BN AN ，垂足为N，且 AB 6，BC 10，MN 1.5 ，则 ABC的周长是（） A. 28B. 32 C. 18 D. 25 解析： 延长线段BN交 AC于 E，从而构造出全

3、等三角形，（ABN AEN ），进而证明 MN是中位线，从而求出CE的长。 答案： 延长线段BN交 AC于 E。AN 平分 BAC ， BAN EAN ， AN AN ，ANB ANE 90， ABN AEN ，ABAE 6，BN EN ， 又M是ABC的边 BC的中点， CE 2MN 21.5 3， ABC的周长是AB BC AC6106325，故选 D。 例题 2 如图，以边长为1 的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边 中点为顶点作四边形，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为；所 作的第 n 个四边形的周长为。 解析： 根据正方形的性质以及三角形中位线的定理，求出第二

4、个，第三个四边形的周 长，从而发现规律，即可求出第n 个四边形的周长。 答案： 根据三角形中位线定理得，第二个四边形的边长为 22 ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 ，周长 为 22，第三个四边形的周长为4 22 () 2 2，第 n 个四边形的周长为4 （ 2 2 ） n-1，故 答案为 2，4 （ 2 2 ） n-1。 利用中点判断三角形形状 示例如图， 在线段 AE同侧作两个等边三角形ABC 和CDE （ACE 120）， 点 P、 点 M分别是线段BE 、AD的中点，则 CPM是（） A. 钝角三角形B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 非等腰三角形 解析 ：首先根据等边三角形的

5、性质，得出AC BC ，CD CE ，ACB ECD 60，则 BCE ACD ，从而根据SAS证明 BCE ACD ，得 CBE CAD ，BE AD ；再由点P、点 M分别是线段BE 、 AD的中点，得BP AM ，根据 SAS证明 BCPA CM ，得 PC MC ， BCP ACM ，则 PCM ACB 60，从而证明该三角形是等边三角形。 答案 ：ABC和CDE都是等边三角形， AC BC ， CD CE ，ACB ECD 60。 BCE ACD 。 BCE ACD 。 CBE CAD ， BE AD。又点 P、点 M分别是线段BE 、 AD的中点， BP AM 。BCP ACM 。

6、 PC MC ，BCP ACM 。 PCM ACB 60。 CPM是等边三角形。故选C。 转化三角形构造中位线 示例已知两个共顶点的等腰RtABC ，RtCEF ，ABC CEF 90，连接AF，M 是 AF的中点，连接MB 、 ME 。 （1）如图 1，当 CB与 CE在同一直线上时，求证：MB CF ； （2）如图 1，若 CB a，CE 2a，求 BM ， ME的长； （3）如图 2，当 BCE 45时，求证：BM ME 。 解析：（1）如答图1 所示，延长AB交 CF于点 D，证明 BM为ADF的中位线即可； （2）如答图2 所示，作辅助线，推出BM 、ME是两条中位线； （3）如答图

7、3 所示，作辅助线，推出BM 、ME是两条中位线：BM 2 1 DF，ME 2 1 AG ； 然后证明 ACG DCF ，得到AG DF，从而证明BM ME 。 答案： （ 1）证明：如答图1，延长 AB交 CF于点 D，则易知 ABC与 DBC均为等腰直角 三角形， AB BC BD ，点 B为线段 AD的中点，又点 M为线段 AF的中点，BM为ADF 的中位线， BM CF 。 （2）解：如答图2 所示，延长AB交 CF于点 D，则易知 DBC与ABC为等腰直角三角 形， AB BC BD a， ACDC 2a， 点 B为 AD中点，又点 M为 AF中点，BM 2 1 DF。 分别延长FE

8、 与 CA交于点G，则易知 CEF 与 CEG均为等腰直角三角形，CE EFGE 2a，CG CF22a，点E 为 FG中点，又 点 M为 AF 中点， ME 2 1 AG 。CG CF22a，CA CD 2a，AG DF2a， BM ME 2 1 2a 2 2 a。 （3）证明：如答图3，延长 AB交 CE于点 D ，连接 DF，则易知 ABC 与D BC均为等腰 直角三角形， AB BC DB，AC DC ，点 B为 AD中点，又点M为 AF中点， BM 2 1 DF 。延长 FE与 CB交于点 G，连接 AG ，则易知 CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE EF EG ， CF CG

9、，点E 为 FG 中点，又点M 为 AF 中点， ME 2 1 AG 。在 ACG 与DCF 中， 45 ACDC ACGDCF CGCF ， ACG DCF （ SAS ） ， AG DF， ME BM 。 （答题时间：45 分钟） 一、选择题 1. 直角三角形ABC的周长为 26， 斜边上的中线长为1， 则该三角形的面积等于 （） A. 1 B. 2 1 C. 4 1 D. 4 3 2. 如图， MON 90，矩形 ABCD 的顶点 A、B分别在边OM ，ON上，当 B在边 ON上运动 时， A随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB 2，BC 1，运动过程中， 点 D

10、到点 O的最大距离为（） A. 2 1 B. 5C. 5 145 D. 2 5 *3. 如图， BE 、CF分别是 ABC的高， M为 BC的中点， EF5，BC 8，则 EFM的周长是 （） A. 21 B. 18 C. 13 D. 15 *4. 如图， E、F、G 、H分别是 BD 、BC 、AC 、AD的中点， 且 AB CD 。下列结论： EG FH ， 四边形EFGH 是矩形， HF 平分 EHG ，EG 2 1 （BC AD ），四边形EFGH是菱形。其 中正确结论的个数是（） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 *5. 在正方形ABCD 中， P为 AB的中点， B

11、E PD 的延长线于点E，连接 AE 、BE 、FA AE 交 DP于点 F，连接 BF ，FC。下列结论： ABE ADF ；FB AB ；CF DP ；FC EF， 其中结论正确的是（） A. B. C. D. 二、填空题 *6. 如图， ABC的周长为26，点 D，E都在边 BC上， ABC 的平分线垂直于AE，垂足 为 Q ，ACB的平分线垂直于AD ，垂足为P，若 BC 10，则 PQ的长为。 *7. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若 菱形 ABCD 的边长为2cm，A120，则EFcm。 *8. 如图，在 ABC 中， AB AC ，M

12、 ，N 分别是 AB ，AC的中点， D，E为 BC上的点，连接 DN ， EM 。若 AB 13cm ，BC 10cm，DE 5cm，图中阴影部分的面积为。 *9. 命题：如图，正方形ABCD 中， E、F 分别为 AB 、AD上的点， AFBE ，CE、BF交于点 H，BF交 AC于点 M ，O为 AC的中点， OB交 CE于点 N，连接 OH 。下列结论中： BF CE ；OM ON ；OH 2 1 CN；2OHBHCH。其中正确的结论有_。 三、解答题 *10. 如图，直线a、b 相交于点A，C、E分别是直线b、a 上两点且BC a，DE b，点M 、 N分别是 CE 、BD的中点。

13、求证： （ 1）DM BM ； （ 2）MN BD 。 *11. 已知： 在ABC中，ABC 90， 点 E在直线 AB上，ED与直线 AC垂直， 垂足为 D， 且点 M为 EC中点，连接BM ，DM 。 （1）如图 1，若点 E在线段 AB上，探究线段BM与 DM及BMD与BCD所满足的数量 关系，并直接写出你得到的结论； （2）如图 2，若点 E 在 BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你 的猜想并加以证明； （3）若点 E在 AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与 DM 及BMD与BCD所满足的数量关系。 *12. 已知：在 ABC中， BC A

14、C ，动点 D绕ABC的顶点 A逆时针旋转，且AD BC ，连 接 DC 。过 AB 、DC的中点 E、F作直线，直线EF与直线 AD 、BC分别相交于点M 、N。 （1）如图 1，当点 D旋转到 BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点 H， 连接 HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 AMF BNE（不需证明） ； （2）当点 D旋转到图2 或图 3 中的位置时， AMF与BNE有何数量关系？请分别写出 猜想，并任选一种情况证明。 1. B 解析： CD是直角三角形ABC斜边上的中线， AB 2CD 2，直角三角形ABC 的周长是2 6，AC BC 6，两

15、边平方得： AC 22AC?BC BC26，由勾股定理得： AC 2 BC 2AB24，2AC?BC 2，AC BC 1，S ABC 2 1 AC BC 2 1 1 2 1 。故选 B。 2. A 解析：如图，取AB的中点 E，连接 OE 、DE 、OD ，OD OE DE，当 O、D 、 E三 点共线时，点D到点 O的距离最大，此时， AB 2，BC 1，OE AE 2 1 AB 1，DE 22 ADAE 22 112， OD 的最大值为：21。 3. C 解析： BE 、 CF分别是 ABC的高， M为 BC的中点，在RtBCE中， EM 2 1 BC 4，在 RtBCF中， FM 2 1

16、 BC 4， EFM的周长 EM FM EF445 13。故选 C。 4. C 解析： E、 F、G、H分别是 BD 、 BC 、AC 、AD的 中点， EF 2 1 CD ，FG 2 1 AB ， GH 2 1 CD ，HE 2 1 AB ，AB CD ，EF FG GH HE ，四边形EFGH 是菱形， EG FH ， 正确；四边形EFGH 是矩形，错误； HF 平分 EHG ，正确；当AD BC ，如图所示：E， G分别为 BD ，AC中点，连接CD ，延长 EG到 CD上一点 N，EN 2 1 BC ，GN 2 1 AD ，EG 2 1 （BC AD ）， 只有 AD BC时才可以成立

17、，而本结论中AD与 BC很显然不平行，故本结 论错误；四边形EFGH 是菱形，正确。综上所述，共3 个正确。故选C。 5. D 解析：正方形ABCD ， BE ED ，EA FA ，AB AD CD BC ， BAD EAF 90 BEF ， APD EPB ， EAB DAF ，EBA ADP ，AB AD ， ABE ADF ， 正确； AE AF，BE DF，AEF AFE 45， 取 EF的中点 M ，连接 AM ，AM EF ， AM EM FM ，BE AM ，AP BP ，AM BEME ，EMB EBM 45， AMB 90 45135 FMB ， BM FM ， AM FM

18、， ABM FBM ，AB FB， 正确； BAM BFM ，BEF 90， AM EF ，BAM APM 90， EBF EFB 90， APF EBF ，AB CD ，APD FDC ，EBF FDC ，BE DF， BFDC ， BEF DFC ， F ECF，F EB CFD 90，正确，正确；故选D。 6. 3 解析： BQ 平分 ABC ，BQ AE ， BAE 是等腰三角形，同理 CAD 是等腰三角 形，点Q是 AE中点，点P 是 AD中点（三线合一）， PQ 是ADE的中位线， BE CD ABAC 26BC261016，DE BE CD BC 6，PQ 2 1 DE 3。 7

19、. 3解：连接BD 、AC，四边形ABCD 是菱形， AC BD ， AC平分 BAD ， BAD 120， BAC 60， ABO 906030， AOB 90， AO 2 1 AB 2 1 21，由勾股定理得： BO DO 3，A沿 EF折叠与 O重合， EF AC ， EF平分 AO ， AC BD ，EF BD ，EF 为ABD的中位线， EF 2 1 BD 2 1 （33）3， 故答案为： 3。 8. 30cm 2 解析：连接 MN 。 M ， N分别是 AB ， AC的中点，MN是ABC的中位线， MN BC ， 且 MN 2 1 BC 5cm ；过点 A作 AF BC于 F。则

20、AF MN ， AF12cm（勾股定理）。图中阴影 部分的三个三角形的底长都是5cm ，且高的和为12cm；S阴影 2 1 512 30cm 2。 9. 解析： AF BE ，ABBC ， BAD ABC 90， ABF BCE ， BCE ABF ，BFA CEB ， BEC BCE BEH ABF90， BHE 90，即 BF EC ，正确；四边形ABCD 是正方形， BO AC ，BO OC ，由题意，正方形ABCD 中， ABO BCO ，已证 BCE ABF ， ECO FBO ， OBM OCN ，OM ON ，即正 确； OBM OCN ，BM CN ，只有当H为 BM的中点时，

21、 OH等于 CN的一半，故错 误；过 O点作 OG垂直于 OH ，OG交 CH于点 G ，在 OGC 与OHB中， OCGOBH OCOB GOCHOB ， 故 OGC OHB， OH OG， OHG 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，2HGOH， 2CHHGCGHBH，所以结论正确。综上所述，正确。 10. 证明： （1）BC a，DE b，CBE C DB 90， CBE ，CDE 为直角三角 形，点M是 CE的中点， DM BM 2 1 EC ，DM BM ； （2）DM BM ， MDB为等腰三 角形，又N 为 BD的中点， MN为 BD边上的中线， MN BD （三线合一）。 11.

22、 解： （1）结论 ：BM DM ，BMD 2BCD 。 理由如下： BM 、 DM分别是 RtEBC 、RtDEC的斜边上的中线， BM DM 2 1 CE ；又 BM MC ，MCB MBC ，即 BME 2BCM ；同理可得 DME 2DCM ； BME DME 2（BCM DCM ），即 BMD 2BCD 。（2）在（ 1）中得到的结论仍然成立。即BM DM ， BMD 2BCD 。 证明：点M是 RtBEC的斜边 EC的中点， BM 2 1 EC MC ，又点 M是 RtDEC的 斜边 EC的中点， DM 2 1 EC MC ，BM DM ；BM MC ，DM MC ， CBM BC

23、M ，DCM CDM ，BMD EMB EMD 2BCM 2DCM 2 （BCM DCM ）2BCD ，即BMD 2BCD 。 （ 3）所画图形如图所示： 图 1 中有 BM DM ，BMD 2BCD ； 图 2 中BCD不存在， 有 BM DM ；图 3 中有 BM DM ， BMD 3602BCD 。解法同（2） 。 12. 解：图 1：AMF BNE ；图 2：AMF BNE ；图 3：AMF ENB 180。 证明： 如答图 2， 取 AC的中点 H， 连接 HE 、 HF 。 F 是 DC的中点，H是 AC的中点，HF AD ， HF 2 1 AD ， AMF HFE ，同理， HE CB ， HE 2 1 CB ， BNE HEF 。AD BC ，HF HE， HEF HFE ， BNE AMF 。如答图3：取 AC的中点 H，连接 HE、HF 。F 是 DC的中点，H是 AC的中点，HF AD ，HF 2 1 AD ， AMF HFE 180， 同理，HE CB ， HE 2 1 CB ， ENB HEF 。AD BC ，HF HE ， HEF HFE ， AMF ENB 180。 答图 2 答图 3