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1、数论部分 2018A 四、 （本题满分50 分）数列 n a定义如下： 1 a是任意正整数，对整数1n， 1n a与 n i i a 1 互 素，且不等于 n aaa,., 21 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列 n a中出现。 证明： 显然1 1 a或者1 2 a.下面考虑整数1m，设m有k个不同的素因子，我们对k归纳证明 m在na中出现 .记nnaaaS21 ，1n. 1k时，m是素数方幂，记pm，其中0，p是素数 .假设m不在 n a中出现 .由于 n a各 项互不相同， 因此存在正整数N，当Nn时，都有pan .若对某个 Nn ， n Sp |，那么p与 n S互素，又 n aa
2、a,., 21 中无一项是p，故有数列定义知pan 1 ，但是 pan 1 ，矛盾！ 因此对每个Nn，都有 n Sp|.又 1 | n Sp，可得 1 | n ap，从而 1n a与 n S不互素，这与 1n a的定义 矛盾！ 假设2k，且结论对1k成立 .设m的标准分解为 k k pppm 21 21 .假设m不在 n a中出现， 于 是 存 在 正 整 数 / N， 当 / Nn时 ， 都 有man. 取 充 分 大 的 正 整 数 121 , k ， 使 得 n Nn k apppM k / 121 1 121 max . 我们证明，对 / Nn，有Man 1. 对于任意 / Nn，若
3、n S与 k ppp 21 互素，则m与 n S互素，又m在 n aaa,., 21 中均未出现，而 man 1，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意 / Nn， n S与 k ppp 21 不互素， 若存在i（11ki） ， 使得 ni Sp |， 则1, 1nn Sa， 故 1 | ni ap， 从而Man 1 （因为Mp i |） 。 若 对 每 个i（11ki） ， 均 有 ni Sp | ， 则 由知 ， 必 有 nk Sp |.于 是 1 | nk ap， 进 而 1 | nnk aSp，即 1 | nk Sp.故由知：存在 0 i（11 0 ki） ，使得 1 | 0 ni
4、 Sp，再由 nnn aSS 1 及前面的假设 ni Sp | ，可知 1 | 0 ni ap，故Man 1 。 因此，对1 / Nn，均有Man，而n Nn k apppM k / 121 1 121 max ，故M不在 n a中出 现，这与假设矛盾！因此，若m有k个不同的素因子，则m一定在数列 n a中出现 . 由数学归纳法知，所以正整数均在数列 n a中出现。 2018B 四、 （本题满分50 分）给定整数 2a 。证明：对任意正整数n，存在正整数 k，使得连续 n 个数1 k a，, 2 k ana k 均是合数。 证明 :设 r iii 21 是n, 2, 1中与a互素的全体整数，则
5、ni1， r iiii, 21 ，无论 正整数k如何取值，ia k 均与a不互素且大于a，故ia k 为合数。 对任意rj,2, 1，因1 j ia，故 j ia有素因子 j p. 我们有1,ap j （否则，因 j p是素数，故 j pa|，但 j p j ia|，从而 j p| j i，即a与 j i不互素， 与 j i的取法矛盾） .因此，由费马小定理知， i p pamod1 1 现取1111 21r pppk，对任意rj,2, 1，注意到1mod1 j pk，故有 jjj k piaiamod0.又 jjj k piaia，故 j k ia为合数。 综上所述，当1111 21r pp
6、pk时，1 k a，,2 k ana k 均是合数。 2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数” ，则平稳数的个数 是 答案：75 解析： 考虑平稳数abc。 若0b，则1a，1 , 0c，有2个平稳数； 若1b，则2, 1a，2 , 1 ,0c，有632个平稳数； 若8 ,2b，则a，1, 1bbbc，有63337个平稳数； 若9b，则9, 8,ca，有422个平稳数； 综上可知，平稳数的个数为7546362。 2017B 8、若正整数cba,满足cba1000100102017，则数组),(cba的个数为 答案：574 解析： 由条件知 2017 2
7、1000 c，当1c时，有1020b，对于每个这样的正整数b，由 10201ba 知 ， 相 应 的a的 个 数 为 20210b ， 从 而 这 样 的 正 整 数 组 的 个 数 为 20 10 (1022)11 (20210 )572 2b b ， 当2c时，由 2017 20 100 b，知，20b，进而 2017 200201 10 a， 故200,201a，此时共有2组( , , )a b c. 综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574. 2016A 8 、设 4321 ,aaaa是100,3 ,2, 1中的4个互不相同的数，满足 2 433221 2 4 2 3 2 2
8、 2 3 2 2 2 1 )(aaaaaaaaaaaa，则这样的有序数组),( 4321 aaaa的个数 为 答案： 40 解析： 由柯西不等式知， 2 433221 2 4 2 3 2 2 2 3 2 2 1 1 )()(aaaaaaaaaaaa，等号成立的充 分 必 要 条 件 是 4 3 3 2 2 1 a a a a a a ， 即 4321 ,aaaa成 等 比 数 列 于 是 问 题 等 价 于 计 算 满 足 1,2,3, 4321 aaaa,100的等比数列 4321 ,aaaa的个数设等比数列的公比1q， 且q为 有理数记 m n q，其中nm,为互素的正整数，且nm 先考虑
9、mn的情况 此时 3 3 13 14 )( m na m n aa，注意到 33,n m互素，故 3 1 m a l为正整数相应地， 4321 ,aaaa分别 等于lnlmnnlmlm 3223 ,，它们均为正整数这表明， 对任意给定的1 m n q，满足条件并以q为 公比的等比数列 4321 ,aaaa的个数，即为满足不等式100 3l n的正整数l的个数，即 100 3 n 由于1005 3 ，故仅需考虑 3 4 ,4, 2 3 ,3 ,2q这些情况，相应的等比数列的个数为 20113312 64 100 64 100 27 100 27 100 8 100 当mn时，由对称性可知，亦有2
10、0 个满足条件的等比数列 4321 ,aaaa 综上可知，共有40 个满足条件的有序数组),( 4321 aaaa 2016A四、（本题满分50 分）设p与2p均是素数，3p，数列 n a定义为2 1 a， n pa aa n nn 1 1 ，, 3,2n，这里x表示不小于实数x的最小整数。 证明：对1,4,3pn，均有)1( | 1n pan成立。 证明： 首先注意到，数列 n a是整数数列。对n用数学归纳法。 当3n时，由条件知pa2 2 ，故 2 2 11ppa，又p与2p均是素数，且3p，故 必须1|3p，因此1|3 2 pa，即3n时，结论成立。 对13pn，设1,4 ,3nk时结论
11、成立，即1| 1k pak，此时 k pa k pa kk 1 11 ， 故 1 11 1 1 1 1 1 22 2 2 21 k kppa k pa ap k pa appa kk k k kk 故对13pn时，有 1 2 2 1 1 1 1 1 1 321nnn pa n np n np pa n np pa n np C pnp pn pa p n np n np )2)( )1(2 1 3 3 2 2 1 1 2 ， 显然)1)(2)(| 1n papnpn， 因为pn，p是素数，故1),(),(pnpnn，又2p是大于n的自然数，故1)2,(pn， 从而n与)2)(ppn互素，故由可
12、知) 1( | 1n pan。 由数学归纳法知，对1,4,3pn，均有)1( | 1n pan成立。 2016B 8 、 设 正 整 数n满 足20 1 6n， 且3 12642 nnnn 这 样 的n的 个 数 为这里xxx，其中x表示不超过x的最大整数 答案：168 解析： 由于对任意整数n，有 13511 3, 2461224612 nnnn 等号成立的充分必要条件是1 mod12n，结合12016n知，满足条件的所有正整数为 1211, 2,168,nkk共有 168个 解析： 首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数, x y，若modxym ，则. xy mm 这是因 为，当mod
13、xym 时， xymt ，这里 t是一个整数，故 . xxxymtymtyyyyy tt mmmmmmmmmm 因此，当整数 12 ,n n 满足 12 mod12nn时， 11112222 . 2461224612 nnnnnnnn 容易验证，当正整数满足112n时，只有当11n时，等式3 24612 nnnn 才成 立而 201612 168 ，故当 12016n时，满足3 24612 nnnn 正整数 n的个数为 168. 2016B 一、 （本题满分40 分）非负实数 201621 ,xxx和实数 201621 ,yyy满足： （1）1 22 kk yx,2016,2 ,1k； （2）
14、 201621 yyy是奇数 求 201621 xxx的最小值 解析： 由已知条件（ 1）可得：1,1,1,2,2016, kk xyk于是（注意0 i x） 20162016201620162016 222 11111 120162016. kkkkk kkkkk xxyyy 不妨设 112016 ,0,0,02016, mm yyyym则 2016 11 ,2016. m kk kkm ymym 若 1 1 m k k ym，并且 2016 1 2015, k km ym 令 2016 11 1,2015, m kk kkm ymaymb 则 0,1,a b于是 20162016 111
15、12015 22016, m kkk kkkm yyymamb mab 由条件（ 2）知， 2016 1 k k y 是奇数，所以ab是奇数，这与0,1a b矛盾 因此必有 1 1 m k k ym，或者 2016 1 2015, k km ym 则 20162016 111 2015. m kkk kkkm yyy 于是结合得 2016 1 1. k k x 又当 12201520161220152016 0,1,1,0xxxxyyyy时满足题设条件，且使得不等式 等号成立，所以 122016xxx 的最小值为1 2016B 二、 （本题满分40 分）设kn,是正整数，且n是奇数已知n2的不
16、超过k的正约数的个数为 奇数，证明：n2有一个约数d，满足kdk2 证明：记nddA2|,d是奇数，0kd，nddA2|,d是偶数，0kd，则 BA,n2的不超过k的正约数的集合是BA 证明： 记 | 2 ,0,Ad dndk d是奇数，| 2 ,0,Bd dndk d是偶数， 则,2ABn 的不超过 k 的正约数的集合是.AB 若结论不成立，我们证明.AB 对 dA，因为 d 是奇数， 故 2|2dn，又 22dk ，而 2n 没有在区间,2kk 中的约数， 故 2dk ， 即 2dB ，故.AB 反过来，对dB，设2dd ，则|dn ， d 是奇数，又 2 k dk ，故,dA 从而.BA
17、 所以.AB 故 2n 的不超过 k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾从而结论成立 145AM，945BM，835CN235DN 若设2q，则同法可得3u，4v，与vu矛盾，舍去 又证： 在得出qp,互质且其中必有一为偶数之后 由 于 1, nm qp， 故 必 存 在 互 质 的 正 整 数ba,(ba)， 使 n qba 22 ， m pab2， rba 22 或 m pba 22 ， n qab2，rba 22 若 m pab2，得2p， m a 2|， m b 2|，故2a，2b，由ba,互质，得0，1b， 1 2 m a121212 1122mmmn q故q m 12 1 ，q m 12 1 ， (n，且 ) 12qqqq由q为奇数，得0，12 n q，3 n q， 从而2, 2,4, 1,3 2 maanq仍得上解