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1、第卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1. 已知,a bR，复数 2 1 i abi i ，ab() A2B1C0D2 2. 已知集合 2 2Mx xx，Nx xa，若MN，则a的取值范围为（） A , 1 B ,2 C2,D1, 3. 已知向量a(1,2)， b(, 1)m，若 a b，则实数m的值为 ( ) A3B 3 C 1 2 D 1 2 4. 若 4 cos 5 ，且为第二象限角，则tan（） A 4 3 B 3 4 C 4 3 D 3 4 5. 在等差数列 n a中，若 345 3aaa， 8 8a，则 12 a的
2、值是（） A64B31C30D15 6. 函数 yxsin x 1 x 2的部分图象大致为() 7. 已知平面，和直线a，b，则下列说法正确的是（） A.若a，b，且，则ab B. 若a，b，且ab，则 C. 若a，b，且ab，则 D.若，a，b，则ab 8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力， 是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素 之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想： 对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3 再加 1，如果它是偶数，对它除以2，这样循 环，最终结果都能得到1. 下面是根据考拉兹猜 想设计的一个程序框图，则输出的i为
3、 （） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 已知实数x，y满足 :p 22 (1)(1)1xy，:q实数x，y满足 1 1 1 xy xy y ，则p是q的 （） A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 10. 在四面体ABCD 中，若AB CD3，ACBD2，AD BC5，则四面体ABCD 的 外接球的表面积为( ) A2B4C6D8 11. 已知双曲线:C 22 22 1 xy ab (0,0)ab的左焦点为 1 F， 离心率为 5 2 ，P是双曲线C 的右支上的动点，若( ,2)Q ca（c为焦半距），且 1 PFPQ的最小值为8，则双曲线
4、C的 方程式 ( ) A. 2 2 1 2 y xB. 2 2 1 2 x yC. 2 2 1 4 y xD. 2 2 1 4 x y 12. 已知函数 ln ( ) x f x x ，若方程 2( ) ( )1fxtf x有四个不同的实数根，则实数t的取值 范围是（） A(,)eB 1 (,)e e C(,2) D 1 (, 2)e e 第卷 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分。 13. 点)2,3(A是圆9) 1()2( 22 yx内一点，则过点A的最短弦长为 14. 函数( )sin3cosf xxx(0)的图像在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为 11 12 ，则实数 15.在区间
5、1,1上随机取一个数k，则直线(2)yk x与圆 22 1xy有公共点的概率 为 16. 在 ABC 中，已知 AB AC 9，sin Bcos A sin C，SABC6，P 为线段 AB 上的点，且 CP x CA | | CA y CB | | CB ，则 xy 的最大值为 三、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （一）必考题：共60 分。 17.（12 分）已知数列 n a错误！未找到引用源。是公比大于 错误！未找到引用源。的等比数 列， 错误！未找到引用源。是 错误！未找到引用源。的前 错误！未找到引用源。项和 . 若 21, 4 32 Sa
6、错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 （）求数列错误！未找到引用源。的通项公式； （）令 14 log nn ab错误！未找到引用源。，求数列 错误！未找到引用源。的前 错误！未 找到引用源。项和 错误！未找到引用源。 18. （12 分）如图，在三棱锥PABC 中， P AAB， P ABC，ABBC， PAABBC2，D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点 . （）求证：P ABD； （）求证：平面BDE平面 PAC； （）当PA平面 BDE 时，求三棱锥EBCD 的体积 . 19.（12 分）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例 淘汰后
7、，按学科分别评出一二三等奖现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数 学科目成绩为二等奖的考生有12人 （）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数； （）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试， 将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析； （） 已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的 考生中，随机抽取 2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率 数学二等奖 学生得分 语文二等奖 学生得分 7 9 1 4 8 9 4 7 6 2 0 3 9 频率 等级一等 二等 三等 16.0 38.0 科
8、目：语文 淘汰 O 频率 等级一等 二等 三等 10.0 26.0 40.0 科目：数学 淘汰O 20. （12 分）已知两点A(2，0)，B(2，0)，动点 P 在 y 轴上的投影是Q， 且 2P A PB |PQ | 2. （）求动点P 的轨迹 C 的方程； （）过F(1，0)作互相垂直的两条直线分别交轨迹C 于点 G，H 和 M，N，且 E1，E2分别是 GH， MN 的中点 .求证：直线E1E2恒过定点 . 21.（12 分）已知函数( )lnf xxax， 1 ( ), (R). a g xa x （）若 1a ，求函数( )f x的极值； （）设函数( )( )( )h xf xg
9、 x，求函数( )h x的单调区间； ( ) 若在1,e（e2.718.）上存在一点 0 x，使得 0 ()f x 0 ()g x成立，求a的取值范围 . （二）选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.(10 分) 选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中 ，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C1的极坐标方程为 2 2 3 12cos ，直线 l 的极坐标方程为 4 sincos . （）写出曲线C1与直线 l 的直角坐标方程； （）设Q 为曲线 C1上一动点 ，求 Q 点到直线l 距离的最小
10、值 23.选修 45: 不等式选讲 已知函数 ,1 ( ) 1 , 01 xx f x x x ，( )( )2 ,g xaf xxaR. （）当0a时，若( )1g xxb对任意(0,)x恒成立 ，求实数b的取值范围； （）当1a时，求函数( )yg x的最小值 数学试卷（文科） 参考答案 一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A A D B D A C B C C D B 二、填空题 13.2 714.215. 3 3 16.3 三、 解答题 17. 【解析】由题意，设错误！未找到引用源。公比为(1)q q错误！未找到引用源。，则 21 1 1 4 3
11、1 1 q qa qa 2 分 解得 4 1 1 q a 或 4 1 16 1 q a （舍）5 分 所以 1 4 n n a - =6 分 由题意， 4 log 4 n n bn=， 所以 1 2211 2 (1)1 nn b bn nnn + =- + （） 9 分 所以 12341nnn Tbbbbbb - =+ = 11111111111 2 1 223344511nnnn -+-+-+-+-+- -+ （） = 1 2 1 1n - + （）= 2 1 n n + 12 分 18. 【解析】 (1)证明因为 PAAB，PABC，ABBCB，AB，BC? 平面 ABC，所以 PA 平面
12、 ABC. 又因为 BD? 平面 ABC，所以 PABD. (2)证明因为 ABBC，D 是 AC 的中点，所以BDAC. 由(1)知 PABD， 又 ACP AA，AC，PA? 平面 PAC，所以 BD平面 P AC. 又 BD? 平面 BDE ，所以平面BDE平面 PAC. (3)解因为 PA平面 BDE，平面 P AC平面 BDEDE，所以 PADE. 因为 D 为 AC 的中点，所以DE 1 2PA1，BD DC 2. 由(1)知 PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC， 所以三棱锥E BCD 的体积 V 1 3DE S BDC1 6BD DC DE 1 3. 19. 【解析】（）依
13、题意：获数学二等奖的考生的比例是24.04.026.01 .01，所 以考生总人数为：50 24.0 12 （人） 2 分 所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为：4)238.016.01(50 （人） 3 分 （）设数学和语文两科的平均数和方差分别为 1 x、 2 x、 2 1 s、 2 2 s， 88 5 9290938481 1 x，4 分 85 5 8786848979 2 x， 5 分 22 5 42547 22222 2 1 s，6 分 6 .11 5 11246 22222 2 2 s 7 分 所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差 8分 （）两科均
14、为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2 人，仅语文一等奖有1人 9 分 设两科成绩都是一等奖的3人分别为 1 A、 2 A、 3 A，只有数学一科为一等奖的2 人分 别是 1 B、 2 B, 只有语文一科为一等奖的1人是C， 所以随机抽取两人的基本事件为： 21A A、 31A A、 11B A、 21B A、CA 1 、 32A A、 12B A、 22B A、CA2、 13B A、 23B ACA3 、 21B B、CB1、 CB2共15种 10 分 而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为： 21A A、 31A A、 32A A共3种 11 分 所以两人的两科成绩均为一等奖的概率 5 1 15
15、 3 P. 12 分 20. 【解析】 (1)解设点 P 的坐标为 (x，y)， 点 Q 的坐标为 (0，y). 2PA PB |PQ | 2，PA (2x， y)， PB (2x， y)，|PQ |x|， 2(2x)(2x)y2x2， 化简得点P 的轨迹方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2)证明当两直线的斜率都存在且不为0 时， 设 lGH：yk(x1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)， lMN：y 1 k(x1)，M(x 3，y3)，N(x4，y4)， 联立 x 2 4 y 2 2 1， yk x1 ， 消去 y 得(2k21)x24k2x2k 240. 则 0 恒成立 . x1
16、x2 4k 2 2k 2 1，x1x2 2k 24 2k 21. GH 中点 E1的坐标为 2k 2 2k 21， k 2k 21. 同理， MN 中点 E2的坐标为 2 k 22， k k 22， 12 E E k 3k 2 k 21， 12 E E l的方程为y k k 22 3k 2 k 21 x 2 k 2 2， 即 y 3k 2 k 21x 2 3 ， 直线 E1E2恒过定点 2 3， 0 ； 当两直线的斜率分别为0 和不存在时， 12 E E l的方程为 y0，也过点 2 3 ，0 . 综上所述， 12 E E l过定点 2 3， 0 . 21. 【解析】解： （） ( )f x
17、的定义域为 (0,) ，1 分 当1a时，( )lnf xxx， 11 ( )1 x fx xx ， 2 分 所以( )f x在1x处取得极小值 1. 3 分 （） 1 ( )ln a h xxax x ， 2 222 1(1)(1)(1) ( )1 aaxaxaxxa h x xxxx 4 分 当10a时，即1a时，在(0,1)a上( )0h x，在(1,)a上( )0h x， 所以( )h x 在(0,1)a上单调递减，在(1,)a上单调递增；5 分 当10a，即1a时，在(0,)上( )0h x， 所以，函数( )h x 在(0,)上单调递增 . 6 分 （III）在1,e上存在一点 0
18、 x，使得 0 ()f x 0 ()g x成立，即 在1,e上存在一点 0 x，使得 0 ()0h x，即 函数 1 ( )ln a h xxax x 在1,e上的最小值小于零. 7 分 由（）可知 即1ea，即e1a时，( )h x 在 1,e上单调递减， 所以( )h x的最小值为(e)h，由 1 (e)e0 e a ha可得 2 e1 e1 a ， 因为 2 e1 e1 e1 ，所以 2 e1 e1 a ；8 分 当11a，即0a时，( )h x 在 1,e上单调递增， 所以( )h x最小值为(1)h，由(1)110ha可得2a； 9 分 当11ea，即0e1a时，可得( )h x最小
19、值为(1)ha， x(0,1)1 (1,) ( )fx0 + ( )f x极小 因为0ln(1)1a，所以，0ln(1)aaa 故 (1)2ln(1)2haaaa 此时，(1)0ha不成立 . 11 分 综上讨论可得所求a的范围是： 2 e1 e1 a 或2a. 12 分 22. 【解析】解：(1)C1：3x2y23，l：xy4. (2)法 1：设 Q(cos ，3sin )，则点 Q 到直线 l 的距离 d|cos 3sin 4| 2 2 1 2cos 3 2 sin 4 2 2sin 6 4 2 2 2 2 当且仅当 6 2k 2 ，即 2k 3 (kZ)时，Q 点到直线l 距离的最小值为2. 法 2：设 Q(x，y)，直线 l：x yc 与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c，则 Q 点到直线l 距离的最小值为两平行直线间的距离 23. 【解析】 解： (1)当 a0 时，g(x) |x 2|(x0)，g(x)|x1|bb|x1|x2| |x1|x2|(x1)(x2)|1，当且仅当1x2 时取等号，实数b1， ) (2)当 a1 时 ， g(x) 1 x x2，02 ， 当 02x 1 x20； 当 x1 时，g(x)0，当且仅当x1 等号成立；故当x1 时， yg(x)取得最小值0.