最新高三模拟试卷数学(理)试卷.pdf

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1、一、选择题 ( 本大题共 12 小题，共 60.0 分) 1.集合，则（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可 【详解】， 则，故选 B 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算，求出集合 B的等价条件， 首先要看清楚它的研究对 象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先 用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集. 在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为 零. 解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍. 2.（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解

2、析】 . 【考点定位】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力. 【此处有视频，请去附件查看】 3.若变量满足约束条件 ，则的最大值是 ( ) A. 0 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】 C 【解析】 【分析】 由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线 的纵截距，由几何意义可得结果 【详解】由题意作出其平面区域， 令，化为， 相当于直线的纵截距， 由图可知，解得， 则的最大值是，故选 C 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最 值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（ 1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目

3、标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4.执行如图所示程序框图的输出结果是（） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】 C 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序 的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【详解】模拟程序的运行，可得， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 此时，不满足条件，退出循环，输出 的 值为 7，故选 C 【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应

4、模拟程序框图的运行过程，以便得出正 确的结论，是基础题 5.设 ， 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】 D 【解析】 【分析】 对于 A，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其 错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确 . 【详解】若，则有可能在面内，故 A 错误； 若，有可能在面内，故 B 错误； 若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误 若，则由直线与平面平行的性质知，故 D正确 故选 D. 【点睛】 本题考查的知识点是，判断命题真假， 比

5、较综合的考查了空间中直线与平面的位置 关系，属于中档题. 6.已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列，则（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化为， 代入即可得出 【详解】设等差数列的公差，且，成等比数列， ， 则，故选 B 【点睛】 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 7.设 ，则的大小关系为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 不难发现从而可得 【详解】,故选 B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小 8.已知椭圆

6、 的焦点分别为，点，在椭圆上，于， ，则椭圆方程为（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用椭圆的性质，根据，可得，求解，然后推出椭圆 方程 【详解】椭圆的焦点分别为，点 A，B在椭圆上， 于，可得， ，解得， 所以所求椭圆方程为：，故选 C 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查 9.函数 的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可 【详解】，排除 C，D；，排除 B，故选 A 【点睛】 本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，

7、是中档题； 已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排 出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处 所对应的函数值或其符号，其中包括等. 10.已知函数的最小正周期为，且，则的最小 值为（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时，函数取得最大值，直接利 用正弦型函数的性质的应用和函数的最值得应用求出结果 【详解】函数最小正周期为， 解得：，所以， 由于，故：时，取最大值 故：，解得：，即， 由于，故的最小值为，故选 D 【点睛】 本题主要考查了正弦型函

8、数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属 于基础题型 11.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤， 斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5 尺，一头粗，一 头细，在粗的一端截下1 尺，重 4 斤；在细的一端截下1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多 少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10 段， 记第段的重量为，且，若，则（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 C 【解析】 由 题 意 知 , 由 细 到 粗 每 段 的 重 量 成 等 差 数 列 ， 记 为， 设 公

9、 差 为， 则 ， 解 得， 所 以 该 金 杖 的 总 重 量 ，解得，故选 C. 【方法点睛】 本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式以及 转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中 的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解， 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中， 还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 12.如图， 是棱长为1 的正方体的平面展开图， 则在这个正方体中，以下结论正确的是（） A. 点到的距离为 B. 三棱锥的体积是 C. 与平面所成的角是

10、D. 与所成的角是 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判断，即可得出结论 【详解】 解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示， 对于 A，连接 ND，与 EF交于 O 点，连接AO， 则 AO 的长即点到的距离， AO，故 A 错误； 对于 B，三棱锥的体积是，故 B 错误； 对于 C，F 点到平面CDN 的距离为，与平面所成的角的正弦值为， 故 C 错误； 对于 D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60 ，故 D 正确， 故选： D 【点睛】 本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的 能力，属于中档题

11、 二、填空题 ( 本大题共 4 小题，共 20.0 分) 13.有 5 名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务， 每个地方至少有1 名学生，则不同的分配方案有_种（用数字作答）. 【答案】 150 【解析】 【分析】 由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1 型或 3,1,1型，每一种分配全排即可. 【详解】 解：将 5 名志愿者分配到这 三个地方服务，每个地方至少1 人，其方案为2，2，1 型或3,1,1型其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有 150 种 故答案为： 150 【点睛】 本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识

12、与基本方法，属于中 档题 14.已知是双曲线 的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线 交于点，若（是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1，可得，根据三角形的面积为1 可求 出的值，然后求解双曲线方程 【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条 渐近线交于点，若（O是坐标原点）的面积为1，可得， ，解得，则， 所以所求的双曲线方程为：， 故答案为 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基 础题 . 15.已知，则_ 【答案】 7 【解析】 【分析】 由 的范围

13、求出的范围，根据sin（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos（）的值，进而求出tan（）的值， tanA 变形为tan（），利用两角 和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值 【详解】 解： （ ，） ， （ ， ） ， sin（）， cos（）， tan（）， 则 tanAtan（） 故答案为： 【点睛】 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本 关系是解本题的关键 16.已知， 是函数（其中常数） 图象上的两个动点，点， 若的最小值为0，则函数的最大值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 先推出 f （x） 的图象关于直线xa 对称，然后得出直线

14、PA， PB 分别与函数图象相切时，? 的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a1，结合图象可得x1 时， f （x）的最大值为 【 详解】 解： A，B 是函数 f（x）（其中 a0）图象上的两个动点， 当 xa 时， f（x） f（2a x） e （2ax）2a ex， 函数 f（x）的图象关于直线xa 对称 当点 A，B 分别位于分段函数的两支上， 且直线 PA，PB 分别与函数图象相切时，?的最小值为 0， 设 PA 与 f（x） e x 相切于点A（x0 ，y 0） ， f（ x） e x， k APf（ x0） e ，解得 x0 a1， ?的最小值为0， k PAta

15、n45 1， e1， x00， a1， f（ x）max 故答案为： 【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于 中档题 三、解答题 ( 本大题共 7 小题，共 82.0 分) 17.在中，角 的对边分别为，已知， (1) 若，求； (2) 求的面积的最大值 . 【答案】（1）； （2） . 【解析】 【分析】 （1）首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正弦定理即可求得； （2）利用 三角形面积公式结合余弦定理得，结合二次函数的性质即可得结 果. 【详解】（1）， ，； （2）， 当时，的面积有最大值. 【点睛】 本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三

16、角形面积公式，二次函数性质的应 用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点， 分别是和的中点 . （）求证平面； （）求二面角的余弦值 . 【答案】（）详见解析； （）. 【解析】 【分析】 （）利用线线平行证明平面平面，从而证得平面； （）以的中点为坐标原点，为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系，不妨设， 求出平面平面的法向量，代入公式，即可得到结果. 【详解】（）如图，取的中点，连结，则，. 平面平面，平面； （）以的中点为坐标原点，为 轴，为 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设，则， 得， 得，. 设平面的法向量为，则，得， 同理可得

17、平面的法向量为， ，二面角的余弦值为. 【点睛】 本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用 向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等 19.某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名 教师赵老师继任. 第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽 取了容量为50 的样本，用茎叶图表示如下： 学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案 规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相 应的给教师赋分为1 分；与中位数之差大于10 的为优

18、秀，此时相应的给教师赋分为2 分； 与中位数之差小于-10 的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1 分 . （）问王老师和赵老师的教学绩效考核平均成绩哪个大？ （）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（）王老师； （）没有 . 【解析】 【分析】 （）分别计算王老师和赵老师绩效考核的平均成绩，进行比较即可；（）完成列联表， 计算的值，利用独立性检验的知识进行判断即可. 【详解】（）第一学期的数据为： 43， 44，49，52， 53，56，57，59，62，64，65，65，65，68，7

19、2，73，75，76， 78，83， 84， 87，88，93， 95， 其“中位数”为65，优秀有8 个，合格有12 个，不合格有5 个. 王老师的教学绩效考核平均成绩为：； 第二学期的数据为： 44， 49，52，54， 54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72， 72，73， 77， 81，88，88， 94， 其“中位数”为65，优秀有5 个，合格有15 个，不合格有5 个， 赵老师的教学绩效考核平均成绩为：， ，所以，王老师的教学绩效考核平均成绩较大； （）由题意得： 第一学期第二学期合计 优秀8 5 13 非优秀17 20 37 合计25

20、25 50 ， ，没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，结合数据完成列联表计算的观测值是解决本 题的关键，属于基础题. 20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点， 若与 轴垂直时，. (1) 求抛物线的方程； (2) 如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值 . 【答案】（）； （） 16. 【解析】 【分析】 （） 由抛物线的定义求出，然后求解抛物线的方程； （）设直线的方程为， 设，利用韦达定理以及弦长公式，以及点到直线的距离求解三角形的面积 【详解】（）由轴时，抛物线的方程为：； （）由，可设：，与联

21、立得：， 设，则， 由，：， 即，与联立得， ， 点到直线的距离， ， 当（即轴） ，取最小值16. 【点睛】 本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查转化思想以 及计算能力，属于中档题. 21.已知函数. (1) 求函数的单调区间； (2) 若，且是函数的两个极值点，求的最小值 . 【答案】（）详见解析； （）. 【解析】 【分析】 （）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果； （），构造新函数， 研究函数的单调性，极值与最值即可. 【详解】（）， 令， 当，即时，恒成立， 在上单调递增； 当，即或时， 有两个实数根， 若，则， 当时，；当时， 在上单调递减

22、；在上单调递增， 若，则， 当或时，； 当时， 在，上单调递增；在上单调递减； （）， 令，由，得， 或（舍去）， ， 令， 在上单调递减， ，且当时， 也取得最小值， . 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨 论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线 的参数方程为(为参数 ). 以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. (1) 判断点与直线的位置关系并说明理由； (2) 设直线与曲线交于两个不同的点，求的值 . 【答案】（）点在直线上；（）. 【解析】 【分析】 （）把直线化成直

23、角坐标方程后，代入点的坐标看是否满足； （）联立直线的参数方 程与曲线，利用参数的几何意义可得 【详解】（）直线：， 即，斜率，倾斜角， 点满足此方程，点在直线上； （）曲线的普通方程为， 直线的参数方程为（为参数）， 把代入得，得， 又，且与异号， . 【点睛】 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，属 于中档题 . 23.已知函数. (1) 当时，解关于的不等式； (2) 若函数的最大值是3，求的最小值 . 【答案】（）； （）. 【解析】 【 分析】 （）代入， 的值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（）根据绝对值不等式 的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可 【详解】（）当，时， 的解集为； （）， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立 . 故的最小值为. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般； 常见的绝 对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法 二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的 图象求解，体现了函数与方程的思想