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1、一 选择题（ 8 题. 每题 5 分, 共 40 分） 1.1. 命题“存在，”的否定是 ( ) A. 不存在R, B. 存在R, C. 对任意的, D. 对任意的, 【答案】 D 【解析】 对于含特称量词的命题的否定，需将特称量词改为全称量词，同时否定命题的结论因此命 题“存在，”的否定是：“对于任意的，”故选 2.2. ABC的两个顶点坐标A （-4， 0） ， B （4， 0） ， 它的周长是18， 则顶点 C的轨迹方程是 ( ) A. B. （y0） C. D. （y0） 【答案】 D 【解析】 所以定点的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即 ，选 D. 3.3
2、. 如右图 : 在平行六面体中， 为 AC与 BD的交点，若= ，= ，= . 则下列向量中与相等的向量是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 由题意可得 化简得到结果 【详解】由题意可得 故答案为： A 【点睛】本题主要考查向量的加法减法法则,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理 能力 . 4.4. 已知双曲线的焦点为 F1、 F2, 点 M在双曲线上 ,且轴 , 则 F1到 F2M距离是 ( ). A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 . 5.5. 已知两条不同直线和及平面，则直线的一个充分条件是 ( ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
3、 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用线面关系逐一判断得解. 【详解】对于选项A，且，是错误的，因为根据这两个条件可以推出平行、异面 或相交； 对于选项B,且, 因为两条直线同时垂直一个平面，则两直线平行，所以是正确的； 对于选项C,且, 则可能平行、异面或相交，所以是错误的； 对于选项D,且, 则可能平行、异面或相交，所以是错误的. 故答案为： B 【点睛】 (1) 本题主要考查空间直线平面的位置关系和充分条件，意在考查学生对这些知识的 掌握水平和空间想象分析推理能力.(2) 空间直线平面的位置关系的判断，要充分发挥空间的 想象能力，不要死记硬背. 6.6. 以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点
4、的的双曲线方程是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 椭 圆的 焦 点 为、 双 曲 线 顶 点 为， 因 此 双 曲 线 焦 点 为， , 即双曲线方程是，选 C 点睛：用待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤 （1）作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可 能 （2）设方程：根据上述判断设出方程 （3）找关系：根据已知条件，建立关于a，b， c 的方程组 （4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求 7.7. 设斜率为2 的直线 过抛物线的焦点, 且和轴交于点, 若为坐标原 点) 的面积为4, 则抛物线方程为 ( ) A. B.
5、C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 先根据抛物线方程表示出F 的坐标，进而根据点斜式表示出直线l 的方程，求得A 的坐标， 进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式求得a，则抛物线的方程可得 【详解】抛物线y 2=ax（a 0）的焦点 F 坐标为， 则直线 l 的方程为， 它与 y 轴的交点为A， 所以 OAF的面积为， 解得 a= 8 所以抛物线方程为y 2=8x， 故答案为： B 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等考查学生的数形结合的 思想的运用和基础知识的灵活运用 8.8. 设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共 点，
6、且满 足，则的值为 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 不确定 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2m ，由椭圆和双曲 线的定义及勾弦定理建立关于a、c、 m的方程，联解可得a 2+m2=2c2，再根据离心率的定义化 简整理即可得到的值 【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m ， 设 P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1| |PF2|=2m 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a 又=0，可得 F1PF2=90 0 ， 故|PF1| 2+|PF 2| 2=4c2 平方+平方，得 |PF
7、1| 2+|PF 2| 2=2a2+2m2 将代入，化简得a 2+m2=2c2，即 ，可得， 因此，=. 故答案为： C 【点睛】本题给出双曲线与椭圆有公共的焦点，在它们的一个交点对两个焦点所成角为直角 的情况下求它们离心率的平方倒数和着重考查了椭圆和双曲线的定义、标准方程、简单几 何性质等知识 二. 填空题 (6 题 , 每题 5 分, 共 30 分) 9.9. 已知向量，若，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据，可得存在实数使得，利用向量相等即可得出 【详解】，存在实数使得， ，解得 故答案为 【点睛】本题主要考查的是共线向量和平行向量，解题的关键是根据，得到存在实数使 得，属于基础题
8、。 10.10. 如图: PA 平面 ABC ，ACB=90 且 PA=AC=BC= ，则异面直线PB与 AC所成角的正切值 等于 _ 【答案】. 【解析】 【分析】 先过 B 作 BD AC ，且 BD=AC得到下底面为矩形，把问题转化为求PBD ；然后通过PA DB ， DB AD证得 DB 平面 PAD ，进而求出BD ，PA ；在 RT PDB中，求出 PBD的正切值即可 【详解】过B作 BD AC，且 BD=AC ； 所以 ADBC 为矩形 , 且 PBD （或其补角）即为所求 因为 PA=AC=BC=a AD=a ；BD=a PA 平面 ABC PD=； 又因为 PADB ，DB
9、AD? DB 平面 PAD ? BDPD 在 RTPDB中， tan PBD= 即异面直线PB与 AC所成的角的正切值等于 故答案为： 【点睛】本题主要考察异面直线及其所成的角解决本题的关 键在于通过过B作 BD AC ，把问题转化为求PBD 11.11. 顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程为_. 【答案】或. 【解析】 【分析】 先确定 a 的值，再分类讨论，求出b 的值，即可得到双曲线的标准方程 【详解】由题意2a=6， a=3 当焦点在x 轴上时，双曲线的渐近线方程为, 方程为； 当焦点在y 轴上时，双曲线的渐近线方程为， 方程为 故双曲线的标准方程为：或. 【点睛】 (1
10、) 本题考查椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，考查理解与运算能力以及分类讨 论的数学思想(2) 求双曲线的标准方程常用待定系数法，先定位，再定量. 如果焦点位置不 确定，要分类讨论. 12.12. 将正方形沿对角线折成直二面角后，有如下四个结论：； 是等边三角形；与平面成 60的角；与所成的角是60. 其中正确 结论的序号是_. 【答案】 【解析】 试题分析：取中点, 连接,根据条件，可得, 所以 平面,平面, 所以, 正确； 根据直二面角， 可得, 设正方形的边长为1， 那么, 所以是等边三角形， 正确； 与平面所成的角是, 不正确；分别取的中点为, 连接 , 由以上所证明可得, 三角形是等
11、边三角形， 异面 直线与所成角就是, 正确 . 考点：线线，线面，面面位置关系 【方法点睛】本题考查了折起图形的线线，线面，面面的问题关系，属于中档题型，对于折 起图形，要关注折前和折后那些长度和角不变，哪些量变了，线面角表示线与射影所成角， 异面直线所成角可以通过平移，表示为相交直线所成角，本题的重点是找到折后不变的垂直 关系以及边长. 13.13. 已知圆 C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆 C相交所得弦长为_ 【答案】. 【解析】 【分析】 求出抛物线E： x 2=4y 的焦点为（ 0，1） ，准线为 y=1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的 准线与圆C相交所得的弦长 【详解
12、】抛物线E：x 2=4y 的焦点为（ 0，1） ，准线为 y=1 （0， 1）代入圆C：x 2+y2+8x+ay5=0，可得 1+a5=0， a=4 圆 C：x 2+y2+8x+4y5=0，即（ x+4）2+（y+2）2=25， 圆心到直线的距离为d=1， 抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生 的计算能力 14.14. 已知直线交抛物线于，两点若该抛物线上存在点，使得 为直角，则的取值范围为_ 【答案】 【解析】 试题分析：可知，设 C， 该抛物线上存在点C，使得 ACB为直角， ，化为 ，a的取值
13、范围为 考点：直线与圆锥曲线的关系 视频 三. 解答题 (6 题, 共 80 分) 15.15. 已知命题方程所表示的图形是焦点在轴上的椭圆；命题方程 有实根，又为真，为真，求实数的取值范围 . 【答案】. 【解析】 【分析】 先化简命题p 和命题 q, 得到 m的取值范围，再分析为真，为真得到实数的取值范围 . 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， ，即 . 故命题：； 方程有实根， 即，或. 故命题：或. 又为真，为真，真 假. 即，此时； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】（1）本题主要考查椭圆的几何性质，考查二次方程的根，考查复合命题的真假判断， 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分
14、析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真 “非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 16.16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD 底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直 角梯形，其中，O为AD中点 . （1）求证：PO平面ABCD； （2）求直线BD与平面PAB所成角的正弦值； （3）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为. 【答案】 (1) 见解析 . (2) . （3）见解析 . 【解析】 【分析】 (1) 先证明 PO AD,再证明PO 平面ABCD.(2) 先证明 DBP 为直线BD与平面PAB所成角，再 求直线BD与平面PAB所成角的正弦值.(3
15、) 假设存在点Q ，设QDx，再求出 x 的值 . 【详解】（1）证明：在 PAD 中 PA=PD ，O为 AD中点，所以PO AD, 又侧面 PAD 底面ABCD ，平面平面 ABCD=AD, 平面 PAD ， 所以 PO 平面 ABCD. （2）由（ 1）PO平面ABCD，又ABAD， . ， ， 为直线BD与平面PAB所成的角 . 在 RtDPB中， 所以直线BD与平面PAB所成角的正弦值为. （3）假设存在点Q ，使得它到平面PCD的距离为. 设QDx，则，由（）得CD=OB=， 在 RtPOC中， 所以PC=CD=DP， 由 VP-DQC=VQ-PCD得， 所以存在点Q满足题意，此时
16、. 【点睛】 (1) 本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间直线和平面所成的角的求 解，考查点到面的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解 三角形），其关键是找到直线平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形. 方法二：（向 量法），其中是直线 的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角. 17.17. 已知椭圆的两焦点为、，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上，且，求的值 【答案】（1）+=1. （2） . 【解析】 【分析】 (1) 根据已知得到关
17、于a,b,c的方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得椭圆的标准方程.(2) 利用余弦定理求的值 . 【详解】（1）设椭圆方程为 由题设知, 所求椭圆方程为+=1 （2）由 (1) 知由椭圆定义知，又 ，又 由余弦定理 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质和余弦定理，意在考查学 生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 18.18. 如图，是圆的直径，点在圆上，交于点，平 面， （1）证明：； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 【答案】（1）见解析 . （2）. 【解析】 试题分析： (1) 先利用线面垂直的性质和判定得到线线垂直和线面垂直，再根据直径所对的圆 周角
18、为直角和线面垂直的性质、等腰直角三角形得到线线垂直，进而利用线面垂直的判定定 理进行证明；(2) 根据垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出有关平面 的法向量，再利用有关公式进行求解 . 试题解析：（1）证明：EA平面ABC，BM平面ABC，EABM 又BMAC，EAAC=A，BM平面ACFE， 而EM平面ACFE，BMEMAC是圆O的直径，ABC=90 又BAC=30，AC=4，AB=，BC=2，AM=3，CM=1 EA平面ABC，FCEA，FC平面ABCD EAM与FCM都是等腰直角三角形 EMA=FMC=45EMF=90，即EMMF（也可由勾股定理证得） MFBM=M，E
19、M平面MBF 而BF平面MBF，EMBF （2） 解法一： 延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连接FH 由（ 1）知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG 而FCCH=C，BG平面FCHFH? 平面FCH，FHBG， FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角 在 RtABC中，BAC=30，AC=4， BM=AB?sin= 由 与相似，, FCH是等腰直角三角形，FHC=45 平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 解法二： 如图：以A为坐标原点，AC、AE分别为y轴和Z轴建立空间直角坐标系, 由已知得, 设平面的法向量为， 由得 令，由得平面ABC的一个法向量为
20、 设平面与所成的锐角二面角为， 则 所以，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为. 19.19. 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点 （1）求过点O 、F，并且与直线相切的圆的方程； （2）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G， 求点G横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）先求出圆的半径为，再求得圆心为，即得圆的方程.(2) 先求得的垂直平分 线 NG的方程为令得再求点G横坐标的取 值范围 . 【详解】（1）圆过点 O、F，M在直线上 , 设则圆半径 由得解得 所求圆的方程为 （2）设直线AB的方程为代入整理得
21、直线 AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根. 记中点则 的垂直平分线NG的方程为令得 点 G横坐标的取值范围为 【点睛】（1）本题主要考查圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查函数的 思想，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 解答第 3 问的关键是求得 的垂直平分线NG的方程为 20.20. 已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为， （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆 C交于 P、Q两点，直线与交于点 S.试问：当m变化时， 点 S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说 明理由 . 【答案】（1）. （2）见解
22、析 . 【解析】 【分析】 （ 1）由题得a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程.(2)先求得的方程是 的方程 是再 解方 程组得 再化简即得x=4，即证明当m变化时， 点 S是否恒在一条定直线上. 【 详 解 】 （ 1） 设 椭 圆的 方 程 为， ， 椭圆的方程为 （2）由得即。 记，则 的方程是的方程是 由得 即 这说明，当变化时，点恒在定直线上 【点睛】 (1) 本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系问题，考查动点 的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 第 2 问解题关键 有两点， 其一是先求得的方程是的方程是其二是解方程 组得再化简即得x=4.