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1、一、 选择题： ( 本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分.) 1. 已知复数z 满足，那么的虚部为（） A. 1 B. -i C. D. i 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部. 【详解】因为，所以虚部为1，故选 A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题. 2. 函数在点（ 1,1 ）处的切线方程为： （） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，从而写出切线的方程. 【详解】因为，所以，切线方程为，即，故选 D. 【点睛】本题主要考查了
2、导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题. 3. 定积分的值等于（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据定积分的含义，只需求出曲线在上与 x 轴围成扇形的面积即可. 【详解】由得， 根据定积分的意义可知，扇形的面积 即为所求 . 故选 B. 【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义及圆的方程面积问题，属于中档题. 4. 下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A. 某校高三有8 个班 ,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人, 由此推测各班人数都超过50 人 B. 由三角形的性质, 推测空间四面体的性质 C. 平行四边形的对角线互相平分, 菱形是平
3、行四边形, 所以菱形的对角线互相平分 D. 在数列中，由此归纳出的通项公式 【答案】 C 【解析】 【分析】 演绎推理是由一般到特殊，所以可知选项. 【详解】因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分， 菱形是平行四边形，所以对角线互相平分. 【点睛】本题主要考查了推理中演绎推理的概念，属于容易题. 5. 曲线与坐标轴所围成图形面积是（） A. 4 B. 2 C. D. 3 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据定积分的意义，曲线与坐标轴所围成面积可转化为求在上的定积分与 在上的定积分值的差即可. 【详解】根据定积分的意义可知，故选 D. 【点睛】本题主要考查了定
4、积分的意义及定积分的运算，属于中档题. 利用定积分解决面积问 题时，要注意面积与定积分值的关系，当曲线在x 轴下方时，定积分值的绝对值才是曲线围 成的面积 . 6. 函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 和 【答案】 C 【解析】 【分析】 求函数的单调递减区间，需要求函数导数在定义域上小于零的解集即可. 【详解】因为，令解得，所以选C. 【点睛】本题主要考查了导数及利用导数求函数的单调区间，属于中档题.解决此类问题时， 要特别注意函数的定义域，通过解不等式寻求函数单调区间时要注意定义域的限制. 7. 函数的图象可能是（） 【答案】 A 【解析】 试题分析： 因为，所以为奇函数，
5、 故排除 B、D；当 时，故排除 C，故选 A 考点： 1、函数图象；2、函数的奇偶性 8. 设已知函数，下列结论中错误的是（） A. B. 函数的图象是中心对称图形 C. 若是的极小值点，则在区间单调递减 D. 若是的极值点，则 【答案】 C 【解析】 因为所以由零点存在定理得 因为, 所以函数的图象是中心对称图形 若是的极小值点，则在区间 若是的极值点，则, 因此 C错 , 选 C. 9. 在电脑中打出如下若干个圈: , 若将此若干 个圈依此规律继续下去, 得到一系列的圈, 那么在前100 个圈中的的个数是( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】 A 【解析】 试题
6、分析：由图像可得 图像所示的圈可以用首项为2，公差为 1 的等差数列表示， 前 120 个圈中的的个数即为， ，解得， 前 120 个圈中的有个， 故选 D 考点：等差数列的定义及性质；等差数列前n 项和公式 . 10. 已知复数是方程的一个根，则实数， 的值分别是（） A. 12 ，26 B. 24，26 C. 12，0 D. 6，8 【答案】 A 【解析】 【分析】 复数是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值 . 【详解】因为是方程的一个根，所以， 即，所以，解得，故选 A. 【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题. 11. 已知函数在上是减函数
7、，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 因 为 函 数在上 是 减 函 数 ， 所 以恒 成 立 ， 分 离 参 数 ，求的最小值即可 . 【 详 解 】 因 为，在上 是 减 函 数 ， 所 以 恒成立，即，而，所以只需 ，即，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了导数及导数在函数单调性中的应用，属于难题 . 解决已知函数单调性， 求函数中参数的取值范围问题，一般需要利用导数大于等于零（或小于等于零）恒成立，然 后分离参数，转化为求新函数的最值问题来处理. 12. 已知都是定义在R上的函数，且满足以下条件： 为奇函数，为偶函数； 当时，总有，则的解集
8、为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 当时，总有, 即，所以在上是 增函数，且在 R 上是奇函数，又，所以当或时，因此可求解 . 【详解】令，因为，所以在上是增函 数，又，故在 R 上是奇函数，且，所以当或时 ，因为，所以或，解得或，故选 A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，增减性，函数导数在判定单调性上的应用，解不等 式，属于难题. 解决此类问题的核心是，根据所给含导数的不等式，构造恰当的函数，并根据 所给式子确定所构造函数导数的正负，从而确定构造函数的增减性. 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13. 给出下列
9、不等式: , 则按此规律可猜想第个不等式为 _ 【答案】 【解析】 试题分析：观察给定的式子左边和式的分母是从1,2,3 ，, ，直到，右边分母为2，分 子为 n+1，故猜想此类不等式的一般形式为：（） 。 考点：归纳推理。 点评：简单题，归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。 14. 利用数学归纳法证明“”时，从 “”变到“”时，左边应增乘的因式是 _ 【答案】 【解析】 试题分析：当n=k 时，左边 =（k+1） （k+2）, （k+k） ， 当 n=k+1 时，左边 =（k+2） （k+3）, （ k+k） （2k+1） （2k+2） ， 故从“ k”到“ k+1”的证明，左边
10、需增添的代数式是 考点：数学归纳法 15. 曲线上的点到直线的最短距离是_ 【答案】 【解析】 试题分析：直线斜率是2，y=2，x= ，即 y=ln 上( ,ln) 处切线斜率是2 所以切线是y-ln()=2(x-) ，2x-y-1-ln2=0，则和 2x-y+3=0 的距离就是最短距离 在 2x-y+3=0 上任取一点 (0,3) ，到 2x-y-1-ln2=0距离=。 考点：导数的几何意义。 16. 若函数在上无极值点，则实数的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意， 函数的导数在R上恒大于等于零即可，分离参数 即可 . 【详解】因为函数在R 上无极值点，故函数单调递增，所
11、以恒成立，即 恒成立，又，所以. 【点睛】本题主要考查了函数单调性，极值，函数的导数，属于中档题. 三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数 （1） m取什么值时，z 是实数？ （2） m 取什么值时，z 是纯虚数？ 【答案】（1）； （2）3 【解析】 试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有 意义 第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0 而实部为0 试题解析：（1）解 当时， z 为实数 （2）解： 当时， z 为纯虚数 考点：复数是实数，纯虚数的条件 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函
12、数在上的最大值和最小值. 【答案】（1）极小值为, 无极大值；（2）. 【解析】 试题分析：（1）先写出定义域, 再求, 令, 得, 再对左右侧的导数符号检验, 看是否为极值点； （2）由（ 1）的结论 , 求出最大值和最小值. 试题解析：解： （1）函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， 且 f (x) ， 令 f (x) 0 得 x1 或 x 1( 舍去 ) ， 当 x(0,1) 时，函数f(x) 单调递减， 当 x(1， ) 时，函数f(x)单调递增， 所以 f(x)在 x1 处取得极小值为 （2）由（ 1）可知函数f(x) 在1 ，e 上为增函数， f(x) minf(1) ，f(x
13、)maxf(e) 考点： 1. 函数极值的求法；2. 函数的最值 . 19. 数列中，前 项的和记为 （1）求的值，并猜想的表达式； （2）请用数学归纳法 证明你的猜想 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据通项公式写出前三项，再写出的值即可（ 2）用数学归纳法证明即可. 【 详 解 】（ 1 ） ， ， 猜想 （2）证明：当时，猜想成立； 假设当时，猜想成立，即：； 当时， 时猜想成立由、得猜想得证 【点睛】本题主要考查了数列中归纳、猜想及数学归纳法，属于中档题. 20. 如图计算由直线y 6x，曲线以及 x 轴所围图形的面积 【答案】 【解析】 【分析】 画出函
14、数图象，找到所围成区域，分割为两个区域，分别用定积分求其面积即可. 【详解】作出直线y6x，曲线 y的草图，所求面积为图中阴影部分的面积 解方程组得直线 y6x 与曲线 y交点的坐标为(2,4) ， 直线 y6x 与 x 轴的交点坐标为(6,0) 若选 x 为积分变量，所求图形的面积 SS1 S2 8. 【点睛】本题主要考查了函数的图象，定积分求函数所围成区域的面积，定积分的计算，属 于中档题 . 21. 已知函数在处取得极值 （1）求实数的值； （2）若关于的方程在区间上有两个不同的实根，求实数的取值范围 【答案】 (1)；(2) 【解析】 试题分析：（1）令，即可求得值； （2）在区间上有
15、两个不同的实根，即在区间上有两个 不同的实根， 问题可转化为研究函数在上最值和极值情况利用导数可以求得， 再借助图象可得的范围 试题解析：（1）， ， （2） 所以问题转化为在上有两个不同的解， 从而可研究函数在上最值和极值情况 , 的增区间为，减区间为 ， 又， 当时，方程有两个不同解 考点： 1函数在某点取得极值的条件；2根的存在性及根的个数判断 22. 已知函数在 x 1与 x 2 处都取得极值 (1) 求的值及函数的单调区间； (2) 若对，不等式恒成立，求c 的取值范围 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1） 函数在极值点的导数为零，利用求, 再利用导数的正负求其单
16、调区间（2） 利用函数单调性，分析的最大值，只需即可 . 【详解】 (1)f (x) 3x 22axb，由题意得 即解得 f(x) x 3 x 26xc，f (x) 3x23x 6. 令 f (x)0 ，解得x2. f(x) 的减区间为( 1，2) ， 增区间为 ( ， 1) ，(2， ) (2) 由 (1) 知， f(x) 在( ， 1) 上单调递增；在( 1，2) 上单调递减；在(2 ， ) 上单调 递增 x时， f(x)的最大值即为：f( 1) 与 f(3) 中的较大者 f( 1)c，f(3) c. 当 x 1 时， f(x)取得最大值 要使 f(x) cf( 1) c，即 2c 275c，解得 c . c的取值范围为 ( ， 1). 【点睛】本题主要考查了函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的求解，属于难 题. 一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题 一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值.