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1、一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.复数的共轭复数是 ABC1i D1+i 2.若=（1， 2， 2）是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是 A （1， 2，0）B （0， 2，2） C （2， 4，4）D （2，4，4） 3.命题:p“ 0 xR， 0 0 21 x x” ，则p为 A“Rx，21 x x” B “ 0 Rx, 0 0 21 x x” C“Rx,21 x x” D“ 0 Rx， 0 0 21 x x” 4.已知函数( )f x在1x处的导数为1，则 0 (1)(1) 3 lim x
2、fxfx x A3 B 2 3 C 1 3 D 3 2 5.在四面体PABC 中， PA，PB，PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点 P 到平面 ABC 的 距离为 A B C D 6.数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，an+1=3Sn（ n1 ），则 a6= A3 4 4 B3 4 4+1 C4 4 D4 4+1 7.如图，是函数y=f （x）的导函数f （x）的图象，则下面判断正确的是 A在区间（2， 1）上 f（x）是增函数B在（ 1，3）上 f（x）是减函数 C在（ 4，5）上 f（x）是增函数D当 x=4 时， f（x）取极大值 8.若实数 k 满足 0k9，则
3、曲线=1 与曲线=1 的 A离心率相等B虚半轴长相等 C实半轴长相等D焦距相等 9.圆 x 2+y2+4x2y1=0 上存在两点关于直线 ax2by+1=0（a0，b0）对称， 则+ 的 最小值为 A3+2B9 C16 D18 10.已知椭圆的右焦点为F 点，P 为椭圆 C 上一动点， 定点 A（2，4） ，则 |PA| |PF|的最小值为 A1 B 1 C D 11.已知函数f（x）=x 3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10，则 f（2）等于 A11 或 18 B11 C18 D17 或 18 12.已知椭圆C： +=1（ab0） ，F1，F2为其左、右焦点， P 为椭圆 C上
4、除长轴端点外的任一点，G为 F1PF2内一点，满足 3=+， F1PF2的内心为I ，且有=（其中 为 实数） ，则椭圆C的离心率 e= AB CD 二、填空题（每小5 分，满分20 分） 13.= 14. 将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“ 堑堵 ” ，已知某 “ 堑堵 ” 的三视图如图所示，则该 “ 堑堵 ” 的外接球的表面积为 15.在九章算术方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少割之又割， 以至不能割， 则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过 程，比如在中“, ”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过 方程=x 确定出来x=2，类似地
5、不难得到= 16.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1， F2，若椭圆上存在一点 P使 |PF1|=e|PF 2| ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 三、解答题 (本大题共6 小题， 17 题 10 分，其余每小题12 分.解答应写出文字说明.证明过 程或推演步骤.) 17.设命题 p：，命题 q：x24x50若 “p 且 q” 为假， “p 或 q” 为真，求 x 的 取 值范围 18.在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是a，b，c，已知 cos2A3cos（ B+C）=1 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 ABC 的面积 S=5，b=5，求 sinBsinC 的值 19.如图，几何
6、体 EFABCD 中， CDEF 为边长为 1 的正方形， ABCD 为直角梯形， ABCD， CDBC，BC=1， AB=2， BCF=90 （）求成： BD AE （）求二面角B AED 的大小 20.已知函数f（x）=x 3 2ax2 +bx+c （ ）当 c=0 时， f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2 ，求 a，b 的值； （ ）当时， f（x）在点 A，B 处有极值， O 为坐标原点，若A，B，O 三点 共线，求c 的值 21.抛物线 C：y 2=2px（p 0）的焦点为 F，抛物线C 上点 A 的横坐标为2，且 |AF|=3 （1）求抛物线C 的方程； （2
7、）过焦点F 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C 交于 M、N 和 P、Q 四点，求四边 形 MPNQ 面积的最小值 22.设函数 f（x）=e xax 2 （ ）求 f（x）的单调区间； （ ）若 a=1，k 为整数，且当x0 时， ()( )10xk fxx ，求 k 的最大值 答案 1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.D 10.A 11.C 12.B 13 2 14.16 15. 51 2 16.，1） 17.解：命题p 为真，则有x3； 命题 q 为真，则有x 24x50，解得 1x5 由“p 或 q 为真， p 且 q 为假 ” 可知 p 和 q 满足
8、： p 真 q 假、 p 假 q 真所以应有或 解得 x 1 或 3x5 此即为当 “p 或 q 为真， p 且 q 为假 ” 时实数 a的取值范围为（， 13，5） 18.解： （）由cos2A3cos（B+C）=1，得 2cos 2A+3cosA 2=0， 即（ 2cosA 1） （cosA+2）=0，解得（舍去） 因为 0 A ，所以 （）由 S= ，得到 bc=20又b=5，解得c=4 由余弦定理得a2=b 2+c2 2bccosA=25+16 20=21，故 又由正弦定理得 19.解答：（）证明：由题意得，BCDC，CFBC， 四边形 CDEF 为正方形， CFCD， 又 CD BC
9、=C ， FC平面 ABCD ， DECF， DE平面 ABCD ， DEDB ， 又四边形ABCD 为直角梯形，ABCD，CDBC， BC=1，AB=2 ， AD=， BD=， AD 2+BD2=AB2， BD AD， 由 AD DE=E ， BD 平面 ADE ， BD AE； （注：也可以先建立直角坐标系，用向量法证明线线垂直） （）解：由（）知CD、CB、 CF 所在直线相互垂直， 故以 C 为原点， CD、CB、CF 所在直线分别为x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得 C（0， 0，0） ， F（0，0，1） ，B（0，1，0） ， E（1，0，1） ，D（1，0， 0
10、） ，A（2， 1， 0） ， 由（）知平面AED 的法向量为=（1， 1，0） ， =（1， 1，1） ，=（2，0，0） ， 设平面 EBA 的法向量为=（x，y，z） ， 由，得， 令 z=1，则=（0，1，1） ， 设二面角 BAED 的大小为 ， 则 cos=， 0， = 20.解： （）当 c=0 时， f（x）=x 32ax2+bx 则 f（x）=3x 24ax+b 由于 f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2 ， 可得 f（1）=3，f（1）=1， 即， 解得； （）当时， f（x）=x 33x29x+c 所以 f（ x）=3x 2 6x9=3（x 3） （x
11、+1） 令 f（x）=0，解得 x1=3，x2=1 当 x 变化时， f（x） ，f（x）变化情况如下表： x （ ， 1） 1 （ 1，3）3 （3，+） f（x）+ 0 0 + f（x） 5+c 27+c 所以当 x=1 时， f（x）极大值=5+c；当 x=3 时， f（x）极小值=27+c 不妨设 A（ 1，5+c） ，B（3， 27+c） 因为 A，B，O 三点共线，所以kOA=kOB 即，解得 c=3故所求 c 值为 3 21.解： （ 1）由已知：， p=2 故抛物线 C 的方程为： y 2=4x （2）由（ 1）知： F（1，0） 设 MN ：x=my+1 ， 由得： y 24
12、my4=0 =16m 2+16=16（m2 +1） 0 同理： 四边形MPNQ 的面积：= （当且仅当即： m= 1 时等号成立） 四边形MPNQ 的面积的最小值为32 22.解： （ I）函数 f（x）=e xax2 的定义域是 R， f （x）=exa， 若 a0 ，则 f （x）=e xa0 ，所以函数 f（ x）=e xax2 在（ ，+）上单调递增 若 a0，则当 x（ ，lna）时， f （x）=exa0； 当 x（ lna，+）时， f （x） =exa0； 所以， f（x）在（ ，lna）单调递减，在（lna， +）上单调递增 （II ）由于 a=1，所以，（xk） f （x）
13、+x+1= （xk） （e x1）+x+1 故当 x 0时， （xk） f （x）+x+1 0 等价于 k （x0） 令 g（x）=，则 g （x）= 由（ I）知，当a=1 时，函数h（x）=e xx 2在（ 0，+）上单调递增， 而 h（1） 0，h（2） 0， 所以 h（ x）=exx2 在（ 0， +）上存在唯一的零点， 故 g （x）在（ 0，+）上存在唯一的零点，设此零点为 ，则有 （ 1，2） 当 x（ 0， ）时， g （x） 0；当 x（ ，+）时， g （x） 0； 所以 g（ x）在（ 0，+）上的最小值为g（ ） 又由 g （ ） =0，可得 e = +2 所以 g（ ）= +1 （ 2，3） 由于式等价于kg（ ） ，故整数k 的最大值为2