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1、（三十五） 空间点、直线、平面之间的位置关系 小题对点练 点点落实 对点练 (一 )平面的基本性质 1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有() A 4个B3 个 C 2个D1 个 解析： 选 A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个 平面 2若直线上有两个点在平面外，则() A直线上至少有一个点在平面内 B直线上有无穷多个点在平面内 C直线上所有点都在平面外 D直线上至多有一个点在平面内 解析： 选 D根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则 直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一 个点在平面内 3.
2、如图， l，A，B ，C ，且 C?l，直线 ABlM，过 A， B，C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必经过() A点 A B点 B C点 C 但不过点M D点 C 和点 M 解析： 选 D因为 AB? ，M AB，所以 M . 又 l，Ml，所以 M . 根据公理3可知， M 在 与 的交线上 同理可知，点C 也在 与 的交线上 4.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的 棱有 _条 解析： 依题意，与AB 和 CC1都相交的棱有BC；与 AB 相交且与CC1平 行有棱 AA1，BB1；与 AB 平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的
3、 棱有 5 条 答案： 5 对点练 (二 )空间两直线的位置关系 1已知异面直线a，b分别在平面 、内，且 c，那么直线c一定 () A与 a、b 都相交 B只能与a、b中的一条相交 C至少与a、b中的一条相交 D与 a、b 都平行 解析： 选 C如果 c 与 a、b 都平行，那么由平行线的传递性知a、 b 平行，与异面矛 盾故选C. 2已知 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 () A l1l2， l2l3? l1 l3 B l1l2，l2l3? l1l3 C l1l2 l3? l1，l2， l3共面 D l1，l2， l3共点 ? l1，l2，l3共面 解析： 选 B
4、在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行 直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三 条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱 锥的三条侧棱，故D 错 3(2018 兰州市高考实战模拟)已知长方体ABCD -A1B1C1D1中， AA1AB 3，AD 1，则异面直线B1C 和 C1D 所成角的余弦值为 () A. 6 4 B. 6 3 C. 2 6 D. 3 6 解析： 选 A如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1CA1D， C1DA1 是异面直线B1C 与 C1D 所成的角，又 AA1AB
5、 3，AD1， A1D2， DC1 6，A1C12，由余弦定理，得cos C1DA1 C1D 2 A 1D 2 A 1C 2 1 2C1DA1D 6 4 ， 故选 A. 4如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为 异面直线的有_对 解析： 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB， CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而AB 与 EF 相交， CD 与 GH 相交， CD 与 EF 平行故互为异面直线的有3 对 答案： 3 5已知 a， b，c 为三条不同的直线，且a? 平面 ，
6、b? 平面 ， c. 若 a 与 b是异面直线，则c 至少与 a，b 中的一条相交； 若 a 不垂直于c，则 a 与 b 一定不垂直； 若 ab，则必有ac； 若 ab， ac，则必有 . 其中正确的命题有_ (填写所有正确命题的序号) 解析： 中若 a 与 b是异面直线，则c 至少与 a， b中的一条相交，故正确；中平 面 平面 时，若 bc，则 b平面 ，此时不论a，c 是否垂直，均有ab，故错误； 中当 ab时，则 a平面 ，由线面平行的性质定理可得ac，故正确； 中若 b c， 则 ab，ac 时，a 与平面 不一定垂直，此时平面与平面 也不一定垂直，故错误 答案： 6.如图所示，在空
7、间四边形ABCD 中，点 E，H 分别是边AB，AD 的中点，点F，G 分别是边BC，CD 上的点，且 CF CB CG CD 2 3，则下列 说法正确的是_(填写所有正确说法的序号) EF 与 GH 平行； EF 与 GH 异面； EF 与 GH 的交点 M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； EF 与 GH 的交点 M 一定在直线AC 上 解析： 连接 EH，FG (图略 )，依题意，可得EH BD，FG BD，故 EH FG ，所以 E， F，G，H 共面 因为 EH 1 2BD，FG 2 3BD，故 EH FG， 所以 EFGH 是梯形， EF 与 GH 必相交， 设交点为M
8、.因为点 M 在 EF 上， 故点 M 在平面 ACB 上同理，点M 在平面 ACD 上， 点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点， 又 AC 是这两个平面的交线， 所以点 M 一定在直线AC 上 答案： 7(2018 武汉调研 )在正四面体ABCD 中， M，N 分别是 BC 和 DA 的中点，则异面直 线 MN 和 CD 所成角的余弦值为_ 解析： 取 AC 的中点 E，连接 NE，ME ，由 E，N 分别为 AC，AD 的中点， 知 NECD， 故 MN 与 CD 所成的角即MN 与 NE 的夹角，即MNE .设正四面体的棱长为2，可得NE 1，ME 1，MN 2，故 cos M
9、NE NE 2MN2ME2 2NE MN 2 2 . 答案： 2 2 8如图，在三棱锥A-BCD 中， AB ACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别 为 AD，BC 的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是_ 解析： 如图所示，连接DN，取线段DN 的中点K，连接MK， CK.M 为 AD 的中点， MK AN， KMC (或其补角 )为异面直 线 AN，CM 所成的角ABACBDCD3， ADBC2，N 为 BC 的中点， 由勾股定理易求得ANDN CM2 2，MK2. 在 RtCKN 中， CK2 212 3.在 CKM中，由余弦定理，得cos KMC 2 2 2 2 2 3
10、 2 222 2 7 8，所以异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是 7 8. 答案： 7 8 大题综合练 迁移贯通 1.如图所示， A 是 BCD 所在平面外的一点，E，F 分别是 BC， AD 的中点 (1)求证：直线EF 与 BD 是异面直线； (2)若 ACBD，AC BD，求 EF 与 BD 所成的角 解：(1)证明：假设EF 与 BD 不是异面直线，则EF 与 BD 共面，从而DF 与 BE 共面， 即 AD 与 BC 共面，所以A，B，C，D 在同一平面内，这与A 是 BCD 所在平面外的一点 相矛盾故直线EF 与 BD 是异面直线 (2)取 CD 的中点 G，连接 EG，F
11、G ，则 ACFG ，EGBD， 所以相交直线EF 与 EG 所成的角， 即为异面直线EF 与 BD 所成的角 又因为 ACBD，则 FG EG. 在 RtEGF 中，由EG FG 1 2AC，求得 FEG 45，即异面直线 EF 与 BD 所成 的角为 45. 2.如图，在三棱锥P-ABC 中， PA底面 ABC，D 是 PC 的中点已知 BAC 2， AB2，AC2 3，PA2.求： (1)三棱锥 P-ABC 的体积； (2)异面直线BC 与 AD 所成角的余弦值 解： (1)SABC 1 22 2 32 3，三棱锥 P-ABC 的体积为 V 1 3S ABC PA 1 32 32 4 3
12、 3 . (2)如图，取PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 EDBC， 所以 ADE(或其补角 )是异面直线BC 与 AD 所成的角在 ADE 中， DE2，AE2，AD2，cos ADE 2 2222 222 3 4. 故异面直线BC 与 AD 所成角的余弦值为 3 4. 3.如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A1A底面 ABC，点 E，F 分别是棱CC1，BB1上的点，点 M 是线段 AC 上 的动点， EC 2FB2. (1)当点 M 在何位置时，BM 平面 AEF? (2)若 BM平面AEF ，判断 BM 与 EF 的位置关系，说明理由；
13、并求BM 与 EF 所成 的角的余弦值 解：(1)法一 ：如图所示，取AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OM AC 于点 M. 因为侧棱A1A底面 ABC， 所以侧面A1ACC1底面 ABC. 又因为 EC2FB2， 所以 OMFB EC 且 OM 1 2ECFB ， 所以四边形OMBF 为矩形， BMOF. 因为 OF ? 平面 AEF ，BM ?平面 AEF ， 故 BM平面 AEF ，此时点M 为 AC 的中点 法二 ：如图所示， 取 EC 的中点 P，AC 的中点 Q，连接 PQ，PB， BQ. 因为 EC2FB 2， 所以 PE 綊 BF ， 所以 PQAE，PBEF， 所以 PQ平面 AFE ，PB平面 AEF ， 因为 PBPQ P，PB，PQ ? 平面 PBQ， 所以平面PBQ平面 AEF . 又因为 BQ? 平面 PBQ， 所以 BQ平面 AEF . 故点 Q 即为所求的点M，此时点 M 为 AC 的中点 (2)由(1)知，BM 与 EF 异面， OFE (或 MBP )就是异面直线BM 与 EF 所成的角或其 补角 易求 AF EF5，MBOF 3，OF AE， 所以 cosOFE OF EF 3 5 15 5 ， 所以 BM 与 EF 所成的角的余弦值为 15 5 .