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1、2016 年竞赛与自主招生专题第十讲数列的极限与数列综合 从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为， 是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去 其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个 题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞 赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列 考得较多的知识点有 : 极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的 应用等。 一、知识精讲 一数列
2、极限的定义： 一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 n a的项 n a 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列 n a以 a为极限 . 注： a不一定是 n a中的项 . 二几个常用的极限： （1）lim n CC（C为常数） ; （2） 1 lim0 n n （3）lim0 n n q（1q ）. （4） n lim k k anba cndc （ * kN，abcdR、 、 、且0c） （5） 1 lim0 1 nn nn n ab ab ab ab ab ， ， ， 三数列极限的四则运算法则：设数列 n a、 n b，当lim n n aa,lim n n bb时： lim()
3、nn n abab lim() nn n aba b lim n n n aa bb （0b） 四无穷等比数列： 若无穷等比数列 1 1, ,1 n a aqaqq有， 其所有项的和 （各 项的和）为： 1 lim 1 n n a SS q 五常见的数列极限可以归纳为两大类: 第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限 : )0,0,( .0 ;, * 01 1 1 01 1 1 lim lkl l l l k k k k n baNlk kl kl b a bnbnbnb ananana 时，当 时当 当lk时, 上述极限不存在 . 第二类是关于 n的指数式的极限 : 时，当 时；当 11
4、 1|,0 lim q q q n n 当1| q或1q时, 上述极限不存在 . 一特殊数列的极限： 1 1 n n a n ， 1 1 n n a n （1） 1 lim0 (0, a n aa n 是常数） ；（2）lim0 (0) ! n n a a n ； （3）lim0 k n n n a （1a，k为常数） ；（4） 1 lim 1 n n e n 下面证明第四个公式 证 明 ： 令 1 1 n M n ，取 自 然 对 数 得 到 1 lnln 1Mn n ， 令 1 x n ， 得 l n (1) ln x M x ， 由洛比达法则得 00 ln(1)1 limlim()1 1
5、 xx x xx ，即 0 lim ln1 x M 所以：lim ln1 n M，则lim n Me，即 1 lim 1 n n e n 另外，数列 1 1 n n 是单调递增的，理由如下：由 11( 1 nn GAn个正实 数的几何平均数它们的算术平均数）有 1 1 1 11 111111 11111 111 n n n n n nn nnnnnn 个 ，所以 1 11 11 1 nn nn 。 二夹逼定理：如果数列 n x、 n y以及 n z满足下列条件： （1）从某项起，即当 0 nn（其中 0 nN ） ，有 nnn xyz （1 2 3n，） ； （2）lim n n xa且lim
6、 n n za； 那么数列 n y的极限也存在，且limn n ya 三分期付款问题： 分为两种类型：等额本金、等额本息。 等额本金是这样一种还款方式： 在还款期内把贷款数总额等分， 每月偿还同 等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。这样，由于每月的还款本金额固 定，而利息越来越少， 因此贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还 款数额越来越少。 等额本金贷款计算公式：每月还款金额=（贷款本金还款月数） +（本金 - 已归还本金累计额）每月利率。 等额本息是这样一种还款方式：在还款期内， 每月偿还同等数额的贷款 （包 括本金和利息）。 设贷款本金为 a，月利率为 r ，还款月数为 n
7、，则每月还款额计算公式为： (1) (1)1 n n arr r 。 二、竞赛题目精练 例 1 （2006复旦）设 n a 是 (2) n x的展开式中 x项的系数（2,3,4n） ，则极 限 23 23 222 lim n n n aaa （） （A）15 （B）6 （C）17 （D）8 ? 答案： D ? 分析与解答： 11222 (2)22()2() nnnn nn xCxCx，故 22 2 2, n n nn n aC a 2 48 (1) n Cn n ，所以 2 2111 limli 223 kn nnn k k ann 。 例 2 （2009 清华） 51 51 的整数部分为 A
8、，小数部分为 B。 （1）求,A B； （2）求 22 2 AB AB； （3）求 12 lim() n n BBB。 ? 分析与解答： （1）由 2 51( 51)62 53551 2 42251( 51)( 51) ， 又 51 01 2 ，故 51 2, 2 AB。 （2） 2 2221511513551 2245 222222 ABAB。 （3） 211 (1) 1 n nnB BBBBBBB B ，故 2 lim() n n BBB 11 limlim 11 nn nn BB BB BB 。 又01B， 故l i m0 n n B， 所以 2 51 51 2 lim() 1 3535
9、 2 n n B BBB B ( 51)(35)51 42 。 例 3 （2000上海交大）如图所示，设曲线 1 y x 上的点与 x 轴上的点顺次构成等 腰直角三角形 11 OB A ， 122, AB A直角顶点在曲线 1 y x 上。试求 n A 的坐标表达式，并说明这些三角形 的面积之和是否存在。 ? 分析与解答： 2 11 1 1 4, 2 nn n AAy xx yxA （因为0x） 11 ()2 nnn AAxA，即 22 1 4 nn AA。又 1 2A，故 22 1 (1) 44 n AAnn，即2 n An 。 第n个三角形面积 2 21 () (1) 4 nn n AA
10、Snn 22 111 412nnnn ，而 111 1 23n 不存在极限（见第八讲习题 16） ，故 111 1 42n 也不存在极限， 1 n i i S不存在极限。 例 4 （2002 上海交大）,A B两人轮流掷一个骰子，第一次由A 先掷，若 A掷到 一点，下次仍由 A掷；若 A掷不到一点， 下次换 B 掷。对 B 同学同样适用该规则。 如此依次投掷，记第 n次由A掷的概率为 n A 。 （1）求 1n A与 n A 的关系； （2）求lim n n A。 ? 分析与解答： （1） 1 1525 (1) 6636 nnnn AAAA， 1 1A。 （2）解法一：两边同时取极限，设lim
11、 n n A，则 251 , 362 。 解法二：设 1 2 () 3 nn AA，解得 1 2 。 1 121 232 nn AA，故 1 112 223 n n A， 1 lim 2 n n A。 例 5 （2009北京理）已知数集 1212 ,(1,2) nn Aa aaaaa n具有性 质P；对任意 的(1)ijijn、， ij aa 与 i j a a 两数中至少有一个属于A. （1）证明： 1 1a ，且 12 111 12 n n n aaa a aaa ； （2）证明：当5n时， 12345 aaaaa、成等比数列 . ? 分析与解答： （1） 12 , n Aa aa具有性质
12、 P， nn a a 与 n n a a 中至少有一个属于 A， 由 于 12 1 n aaa， nn aaa， 故 nn a aA . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而1 n n a A a ， 1 1a. 12 1 n aaa ， knn a aa ，故2 ,3 , kn a aA kn . 由A具有性质P可知1,2,3, n k a A kn a . 又 121 nnnn nn aaaa aaaa ， 21 121 1, nnnn nn nn aaaa aaa aaaa ， 从而： 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa 12 111 12 n n n aaa a aaa . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）由（1）知，当5n时，有 55 23 43 , aa aa aa ，即 2 5243 aa aa ， 125 1aaa ， 34245 a aa aa ， 34 a aA， 由A具有性质P可知 4 3 a A a .