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1、 图形的相似与位似一、 选择题1. （2014湖北宜昌,第9题3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是（）AAB=24mBMNABCCMNCABDCM：MA=1：2考点：三角形中位线定理；相似三角形的应用专题：应用题分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MNAB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答解答：解：M、N分别是AC，BC的中点，MNAB，MN=AB，AB=2MN=212=24m，CMNCAB，
2、M是AC的中点，CM=MA，CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项故选D点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键2. （2014莱芜，第10题3分）如图，在ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DEAC，若SBDE：SCDE=1：4，则SBDE：SACD=（）A1：16B1：18C1：20D1：24考点：相似三角形的判定与性质.分析：设BDE的面积为a，表示出CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出DBE和ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出ABC的面积，然后表示出A
3、CD的面积，再求出比值即可解答：解：SBDE：SCDE=1：4，设BDE的面积为a，则CDE的面积为4a，BDE和CDE的点D到BC的距离相等，=，=，DEAC，DBEABC，SDBE：SABC=1：25，SACD=25aa4a=20a，SBDE：SACD=a：20a=1：20故选C点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方用BDE的面积表示出ABC的面积是解题的关键3（2014湖北黄冈,第8题3分）已知：在ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EFBC，交AC边于点F点D为BC上一点，连接DE
4、、DF设点E到BC的距离为x，则DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）第1题图ABCD考点：动点问题的函数图象分析：判断出AEF和ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可解答：解：EFBC，AEFABC，=，EF=10=102x，S=（102x）x=x2+5x=（x）2+，S与x的关系式为S=（x）2+（0x10），纵观各选项，只有D选项图象符合故选D点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点4（2014四川绵阳,第12题3分）如图，AB是半圆
5、O的直径，C是半圆O上一点，OQBC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（）A=B=C=D=考点：切线的性质；平行线的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）连接AQ，易证OQBOBP，得到，也就有，可得OAQOPA，从而有OAQ=APO易证CAP=APO，从而有CAP=OAQ，则有CAQ=BAP，从而可证ACQABP，可得，所以A正确（2）由OBPOQB得，即，由AQOP得，故C不正确（3）连接OR，易得=，=2，得到，故B不正确（4）由及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得，由ABAP
6、得，故D不正确解答：解：（1）连接AQ，如图1，BP与半圆O于点B，AB是半圆O的直径，ABP=ACB=90OQBC，OQB=90OQB=OBP=90又BOQ=POB，OQBOBPOA=OB，又AOQ=POA，OAQOPAOAQ=APOOQB=ACB=90，ACOPCAP=APOCAP=OAQCAQ=BAPACQ=ABP=90，ACQABP故A正确（2）如图1，OBPOQB，AQOP，故C不正确（3）连接OR，如图2所示OQBC，BQ=CQAO=BO，OQ=ACOR=AB=，=2故B不正确（4）如图2，且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，ABAP，故D不正确故选：A点评：本题考查了切线的
7、性质，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识，综合性较强，有一定的难度5（2014河北第13题3分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是（）A两人都对B两人都不对C甲对，乙不对D甲不对，乙对考点：相似三角形的判定；相似多边形的性质分析：甲：根据题意得：ABAB，ACAC，BCBC，即可证得A=A，B=B，可得
8、ABCABC；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则AB=CD=3+2=5，AD=BC=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似解答：解：甲：根据题意得：ABAB，ACAC，BCBC，A=A，B=B，ABCABC，甲说法正确；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则AB=CD=3+2=5，AD=BC=5+2=7，新矩形与原矩形不相似乙说法正确故选A点评：此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用6二、填空题1. （2014黔南州，第15题5分）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DEBC若AD=4，DB=2，则的值为来源:
9、中&%国*教育出版网考点：相似三角形的判定与性质分析：由AD=3，DB=2，即可求得AB的长，又由DEBC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案解答：解：AD=4，DB=2，AB=AD+BD=4+2=6，DEBC，ADEABC，=，故答案为：点评：此题考查了平行线分线段成比例定理此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键2（2014攀枝花，第16题4分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，BE平分ABC交CD于E，且BECD，CE：ED=2：1如果BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形分析
10、：首先延长BA，CD交于点F，易证得BEFBEC，则可得DF：FC=1：4，又由ADFBCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得ADF的面积，继而求得答案解答：解：延长BA，CD交于点F，BE平分ABC，EBF=EBC，BECD，BEF=BEC=90，在BEF和BEC中，BEFBEC（ASA），EC=EF，SBEF=SBEC=2，SBCF=SBEF+SBEC=4，CE：ED=2：1DF：FC=1：4，ADBC，ADFBCF，=（）2=，SADF=4=，S四边形ABCD=SBEFSADF=2=故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质此题难
11、度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用3（2014黑龙江哈尔滨,第20题3分）如图，在ABC中，4AB=5AC，AD为ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EFAD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H若点H是AC的中点，则的值为第1题图考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质分析：解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD=CD；第2步：延长AC，构造一对全等三角形ABDAMD；第3步：过点M作MNAD，构造平行四边形DMNG由MD=BD=KD=CD，
12、得到等腰DMK；然后利用角之间关系证明DMGN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；第4步：由MNAD，列出比例式，求出的值解答：解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h=，BD=CD如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM连接DM在ABD与AMD中，ABDAMD（SAS），MD=BD=5m过点M作MNAD，交EG于点N，交DE于点KMNAD，=，CK=CD，KD=CDMD=KD，即DMK为等腰三角形，DMK=DKM由题意，易知EDG为等腰三角形，且1=2；MNAD，3=4=1=2，又DKM=3（对顶角）DMK=4，DMGN，四边形DMNG为平行四
13、边形，MN=DG=2FD点H为AC中点，AC=4CM，=MNAD，=，即，=点评：本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高4. (2014黑龙江牡丹江, 第14题3分)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为2.3m第2题图考点：相似三角形的应用专题：应用题分析：先根据同一时刻物高与影长成正比求出MN的影长，再根据此影长列出比例式即可解答：
14、解：解：过N点作NDPQ于D，又AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，QD=1.5，PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）答：木竿PQ的长度为2.3米点评：在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论5. （2014湖北荆门,第14题3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（，）第3题图考点：位似变换；坐标与图形性质分析：由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形
15、的性质，即可求得E点的坐标解答：解：正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，OA：OD=1：，点A的坐标为（1，0），即OA=1，OD=，四边形ODEF是正方形，DE=OD=E点的坐标为：（，）故答案为：（，）点评：此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键 46（2014浙江绍兴,第16题5分）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，
16、则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是4+考点：相似多边形的性质分析：根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可解答：解：在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大矩形的长与宽之比为2：1，剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为=，另外一个矩形的长为2=，宽为=，所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2（1+）=4+故答案为4+点评：本题考查了相似多边形的性质，分别求
17、出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键7三、解答题1. （2014黑龙江绥化,第21题6分）已知：ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）（1）画出ABC向下平移4个单位长度得到的A1B1C1，点C1的坐标是（2，2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）A2B2C2的面积是10平方单位考点：作图-位似变换；作图-平移变换分析：（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应
18、点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出A2B2C2的面积解答：解：（1）如图所示：C1（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，A2B2C2是等腰直角三角形，A2B2C2的面积是：20=10平方单位故答案为：10点评：此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键2. （2014湖北宜昌,第21题8分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作O，O与边BC相交于点F，O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB（1）求证：ADE
19、CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求O与ABCD的面积之比考点：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质分析：（1）根据平行四边形的性质得出A=C，ADBC，求出ADE=CDF，根据相似三角形的判定推出即可；（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出=，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分别求出O的面积和四边形ABCD的面积，即可求出答案解答：（1）证明：CD是O的直径，DFC=90，四边形ABCD是平行四边形，A=C，ADBC，ADF=DFC=90，DE为O的切线，DEDC，EDC=90，ADF=EDC=9
20、0，ADE=CDF，A=C，ADECDE；（2）解：CF：FB=1：2，设CF=x，FB=2x，则BC=3x，AE=3EB，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=3x，AB=DC=4y，ADECDF，=，=，x、y均为正数，x=2y，BC=6y，CF=2y，在RtDFC中，DFC=90，由勾股定理得：DF=2y，O的面积为（DC）2=DC2=（4y）2=4y2，四边形ABCD的面积为BCDF=6y2y=12y2，O与四边形ABCD的面积之比为4y2：12y2=：3点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运
21、用性质进行推理和计算的能力3. （2014湖南衡阳,第26题8分）将一副三角尺（在RtABC中，ACB=90，B=60；在RtDEF中，EDF=90，E=45）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C（1）求ADE的度数；（2）如图，将DEF绕点D顺时针方向旋转角（060），此时的等腰直角三角尺记为DEF，DE交AC于点M，DF交BC于点N，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由考点：旋转的性质；相似三角形的判定与性质.分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出ACD=A，再求出ADC=1
22、20，再根据ADE=ADCEDF计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出PDM=CDN，再根据然后求出BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BCD=60，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CPD=60，从而得到CPD=BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出DPM和DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值解答：解：（1）ACB=90，点D为AB的中点，CD=AD=BD=AB，ACD=A=30，ADC=180302=120，ADE=ADCEDF=12090=30；（2）EDF=90，PDM+EDF=CDN+EDF=90，PDM=CDN，B=60，B
23、D=CD，BCD是等边三角形，BCD=60，CPD=A+ADE=30+30=60，CPD=BCD，在DPM和DCN中，DPMDCN，=，=tanACD=tan30，的值不随着的变化而变化，是定值点评：本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点4. （2014湖南永州,第21题8分）如图，D是ABC的边AC上的一点，连接BD，已知ABD=C，AB=6，AD=4，求线段CD的长考点：相似三角形的判定与性质.专题：计算题分析：由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比
24、例，将AB与AD长代入即可求出CD的长解答：解：在ABD和ACB中，ABD=C，A=A，ABDACB，=，AB=6，AD=4，AC=9，则CD=ACAD=94=5点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键5. （2014乐山，第23题10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点OM为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1（1）求BD的长；（2）若DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.专题：计算题分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线
25、平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形BCN相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到NC=2MN，根据三角形MND与三角形DNC高相等，底边之比即为面积之比，由三角形DCN面积求出MND面积，进而求出三角形DCM面积，表示出平行四边形ABCD面积与三角形MCD面积，即可求出平行四边形ABCD面积解答：解：（1）平行四边形ABCD，ADBC，AD=BC，OB=OD，DMN=BCN，MDN=NBC，MNDCNB，=，M为AD中点，MD=AD=BC，即=，=，即BN=2
26、DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x1，x+1=2（x1），解得：x=3，BD=2x=6；（2）MNDCNB，且相似比为1：2，MN：CN=1：2，SMND：SCND=1：4，DCN的面积为2，MND面积为，MCD面积为2.5，S平行四边形ABCD=ADh，SMCD=MDh=ADh，S平行四边形ABCD=4SMCD=10点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键6（2014黑龙江哈尔滨,第28题10分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且ACBD，ADB=CAD+ABD，BAD=3CBD（1）求
27、证：ABC为等腰三角形；（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论 第1题图考点：相似形综合题分析：（1）根据等式的性质，可得APE=ADE，根据等腰三角形的性质，可得PAD=2，根据直角三角形的性质，可得AEB+CBE=90，根据等式的性质，可得ABC=ACB，根据等腰三角形的判定，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得ABE=ACD，根据等腰三角形的性质，可得GND=GDN，根据对顶角的性质，可得AGF的
28、度数，根据三角形外角的性质，AFG的度数，根据直角三角形的性质，可得BF与MH的关系，根据等腰三角形的性质，可得FRM=FMR，根据平行线的判定与性质，可得CBD=RMB，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据线段的和差，可得BR=BFFR，根据等量代换，可得答案解答：（1）证明：如图1，作BAP=DAE=，AP交BD于P，设CBD=，CAD=，ADB=CAD+ABD，APE=BAP+ABD，APE=ADE，AP=ADACBDPAE=DAE=，PAD=2，BAD=3BAD=3CBD，3=3，=ACBD，ACB=90CBE=90=90ABC=180BACACB=90，ACB=ABC，ABC为等腰
29、三角形；（2）2MH=FM+CD证明：如图2，由（1）知AP=AD，AB=AC，BAP=CAD=，ABPACD，ABE=ACDACBD，GDN=90，GN=GD，GND=GDN=90，NGD=180GNDGDN=2AGF=NGD=2AFG=BADAGF=32=FN平分BFM，NFM=AFG=，FMAE，FMN=90H为BF的中点，BF=2MH在FB上截取FR=FM，连接RM，FRM=FMR=90ABC=90，FRM=ABC，RMBC，CBD=RMBCAD=CBD=，RMB=CADRBM=ACD，RMBDAC，BR=CDBR=BFFR，FBFM=BR=CD，FB=FM+CD2MH=FM+CD点评
30、：本题考查了相似形综合题，（1）利用了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质；（2）相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，利用的知识点多，题目稍有难度，相似三角形的判定与性质是解题关键7. (2014黑龙江牡丹江, 第28题10分)如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB于点D点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止设运动时间为t秒（1）求线段CD的长；（2）设CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在
31、运动过程中是否存在某一时刻t，使得SCPQ：SABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（3）当t为何值时，CPQ为等腰三角形？第2题图考点：相似形综合题；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质、专题：综合题分析：（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长（2）过点P作PHAC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用SCPQ：SABC=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能
32、直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t解答：解：（1）如图1，ACB=90，AC=8，BC=6，AB=10CDAB，SABC=BCAC=ABCDCD=4.8线段CD的长为4.8（2）过点P作PHAC，垂足为H，如图2所示由题可知DP=t，CQ=t则CP=4.8tACB=CDB=90，HCP=90DCB=BPHAC，CHP=90CHP=ACBCHPBCAPH=tSCPQ=CQPH=t（t）=t2+t存在某一时刻t，使得SCPQ：SABC=9：100SABC=68=24，且SCPQ：SABC=9：100，（t2+t）：24=9：100整理得
33、：5t224t+27=0即（5t9）（t3）=0解得：t=或t=30t4.8，当t=秒或t=3秒时，SCPQ：SABC=9：100（3）若CQ=CP，如图1，则t=4.8t解得：t=2.4若PQ=PC，如图2所示PQ=PC，PHQC，QH=CH=QC=CHPBCA解得；t=若QC=QP，过点Q作QECP，垂足为E，如图3所示同理可得：t=综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，CPQ为等腰三角形点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用等腰三角形的三线合一巧妙地将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键8.
34、（2014湖北黄石,第24题9分）AD是ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y0）（1）如图1，当ABC为等边三角形且=30时证明：AMNDMA；（2）如图2，证明： +=2；（3）如图3，当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M，交射线AC于点N，设AG=nAD，AM=xAB，AN=yAC（x，y0），猜想：+=是否成立？并说明理由第3题图考点：相似形综合题分析：（1）利用“两角法”证得两个三角形相似；（2）如图1，过点C作CFAB交MN于点F，构建相似三角形：CFNAMN，利用该相
35、似三角形的对应边成比例求得通过证CFDBMD得到BM=CF，利用比例的性质和相关线段的代入得到，即；（3）猜想：+= 成立需要分类讨论：如图乙，过D作MNMN交AB于M，交AC的延长线于N由平行线截线段成比例得到，易求，利用（2）的结果可以求得；如图丙，当过点D作M1N1MN交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得解答：（1）证明：如图1，在AMD中，MAD=30，MDA=60AMD=90在AMN中，AMN=90，MAN=60，AMN=DMA=90，MAN=MDA，AMNDMA；（2）证明：如图甲，过点C作CFAB交MN于点F，则CFNAMN易证CFDBMD，BM=CF，即；（3）猜想
36、：+= 成立理由如下：如图乙，过D作MNMN交AB于M，交AC的延长线于N，则，即，由（2）知如图丙，当过点D作M1N1MN交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得点评：本题考查了相似三角形的综合题型此题涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等此题的难点在于辅助线的作法，解题时，需要认真的思考才能理清解题思路9(2014陕西,第21题8分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过
37、帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？考点：相似三角形的应用分析：根据题意求出BAD=BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出BAD和BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可解答：解：由题意得，BAD=BCE，ABD=CBE=90，BADBCE，=，即=解得BD=13.6米答：河宽
38、BD是13.6米点评：本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点10(2014陕西,第24题8分)如图，O的半径为4，B是O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作O的切线BD，切点为D，延长BO交O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C（1）求证：AD平分BAC；（2）求AC的长考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质菁优网来源:zzs&tep.*co#m%分析：（1）首先连接OD，由BD是O的切线，ACBD，易证得ODAC，继而可证得AD平分BAC；（2）由ODAC，易证得BODBAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AC
39、的长解答：（1）证明：连接OD，BD是O的切线，ODBD，ACBD，ODAC，2=3，OA=OD，1=3，1=2，即AD平分BAC；（2）解：ODAC，BODBAC，解得：AC=点评：此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用11（2014浙江绍兴,第20题8分）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题（1）
40、如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长考点：相似三角形的应用；二次函数的最值分析：（1）设PN=2ymm，则PQ=ymm，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答解答：解：（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，由条件可得APNABC，=，即=，解得y=，PN=2=（mm），答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；