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1、 【2013北京24题】在ABC中，AB=AC，BAC=（060），将线段 BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD。（1）如图 1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC=45，求的值。解：（1）AB=ACABC=ACBBAC+ABC+ACB=180，BAC=ABC=90-ABC=ABD+DBC，且DBC=60ABD=30-（2）ABE是等边三角形。证明如下：连接AD、CD、ED。BC=BD，DBC=60BCD是等边三角形BD=CDAB=AC，AD=ADABDACDBAD=CAD
2、=BAC=ACD=ABD=30-ABE=DBC=60DBE+ABD=DBE+CBECBE=ABD=30-BCE=150BEC=180-BCE-CBE=BEC=BAD=BC=BDABDEBC（AAS）AB=EBABE是等腰三角形ABE=60ABE是等边三角形（3）BCE=150，BCD=60DCE=BCE-BCD=90DEC=45DCE是等腰直角三角形CE=CDBC=CDBC=CECBE=BEC由(2)知，CBE=30-，BEC=30-=30【2013北京25题】对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A、B，使得APB=60，则称P为C的关联点。已知点D（，），E（
3、0，-2），F（2，0）（1）当O的半径为1时， 在点D、E、F中，O的关联点是 过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO=30，若直线l上的点P（m，n）是O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。解：（1） 点D、E是O的关联点 在的计算中发现，对于点D，在O上有无数对满足条件的点A、B；而对于点E，在O上有且只有一对点A、B满足条件。由此可知，当直线l上的点P位于以点O为圆心，半径长为2的圆内或圆上（令该圆为O）时，点P是O的关联点GFO=30 tanGFO=OF=2 OG=2，点G的坐标为（0，2），且点G在O上设直线l的解
4、析式为y=kx+b，则 解得k=-，b=2直线l的解析式为y=-x+2点P坐标为（m，-m+2）设直线l于O的另一个交点为H，过点H作HKx轴于K，连接OH，则HK=-m+2，OK=mHK2+OK2=OH2(-m+2)2+m2=4，即m2-m=0解得m=0(此为点G)或点H坐标为（，1）当P在线段GH上时，点P是O的关联点m的取值范围为0m（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，要使该圆的半径最小，则该圆的圆心应在线段EF的中点M处。可知，当E、F都刚好是M的关联点时，线段EF上的其它点也一定是M的关联点，且此时M的半径也最小。过点F作M的切线，切点为N，连接MN。则MNF=30OE=2
5、，OF=2EF=MN=FM=EF=1此时，r=1这个圆的半径r的取值范围为r1【2013上海24题】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，AOB=120。（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标解：（1）过点A作AHx轴于H。AOB=120 AOH=60AO=2OH=AOcosAOH=2=1AH=AOsinAOH=2=点A坐标为（-1，）OB=2 点B坐标为（2，0）将点A、B坐标代入抛物线解析式得： 解得a=，b=-抛物线的表达式为y=
6、x2-x（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，则N（1，0）当x=1时，y=-=-顶点M坐标为（1，-）ON=1，MN=tanMON=MON=30AOM=AOB+MON=150（3）OA=OB，AOB=120ABO=30当点C在x轴上，且ABC与AOM相似时，点C在点B的右侧，且ABC=150ABC=AOM=150当ABCAOM时，存在如下两种情况： 当，即BC=时AB=OM=OA=2BC=2OC=OB+BC=2点C坐标为（4，0） 当，即BC=时则BC=6OC=OB+BC=8点C坐标为（8，0）故，当ABCAOM时，点C坐标为（4，0）或（8，0）【2013上海25题】在矩形ABCD中，点P
7、是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M。已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y。（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的P和以QC长为半径的Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值。解：（1）ADBC APB=MBQQMBP A=BMQ=90ABPMQBM是PB的中点 MB=PBBQ=AB=5，AP=xPB2=AP2+AB2=x2+25y=Q在BC边上13，即x2-26x+2501x25P在AD边上 0x131x13y关于x的函数解析式为y=(1x13)
8、（2）当P与Q外切时，AP+QC=PQBQ=PQ=y QC=13-yx+13-y=y，即2y=x+13= x+13解得x=经检验，x=是分式方程的根故，当P与Q外切时，x=（3）连接PE、QE。EFPQEFQ=C=90EF=EC=4，EQ=EQRtEFQRtECQFQ=QC=13-yPF=PQ-FQ=BQ-FQ=y-13+y=2y-13PE2=PF2+EF2=(2y-13)2+16DE=CD-EC=1，PD=AD-AP=13-xPE2=PD2+DE2=(13-x)2+1(2y-13)2+16=(13-x)2+1(-13)2+16=(13-x)2+1整理得13x2-130x+125=0解得x=或
9、【2013天津25题】在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E在OB上，且OAE=OBA（1）如图，求点E的坐标；（2）如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB、BE。 设AA=m，其中0m2，试用含m的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值时点E的坐标； 当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标(直接写出结果即可)。解：（1）OAE=OBA，AOE=AOB=90AOEBOA点A（-2，0），点B（0，4）OA=2，OB=4OE=点E的坐标为（0，1）（2） 连接EE。AO=2，AA=mOA=AO-AA=2-mOB=4AB2=OA2+OB2=(2-
10、m)2+16=m2-4m+20由题意可知，四边形AAEE是平行四边形AA=EE=mBE=OB-OE=4-1=3BE2=EE2+BE2=m2+9AB2+BE2=m2-4m+20+m2+9=2m2-4m+29（0m2）AB2+BE2=2(m-1)2+27当m=1时，AB2+BE2有最小值，最小值为27点E的坐标为（1，1） 作点E关于直线y=4的对称点D，连接BD，直线y=4与DE交于点C。AB+BE= AB+BD根据“两点之间线段最短”可知，当点A、B、D在同一直线上时，AB+BE就取得最小值。BCx轴BCDAODBC=EE=m，DC=CE=BE=3AO=AO+OO=AO+EE=2-m+m=2D
11、O=DC+CE+EO=3+3+1=7，得m=点E的坐标为（，1）【2013天津26题】已知抛物线y1=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线l，顶点为点M。若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x-103y1=ax2+bx+c00（1）求y1与x之间的函数关系式；（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l，A为直线l上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）。 求y2与x之间的函数关系式 当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1y2恒成立，求t的取值范围。解：（1）由表知，抛物线过点（-1，0）和（3，0）设抛物线解析式为y1=a(
12、x+1)(x-3)抛物线过点（0，）=-3a，得a=-y1与x之间的函数关系式为y1=-x2+x+（2）由y1=-x2+x+得，y1=-(x-1)2+3对称轴直线l为x=1，顶点M坐标为（1，3） 由题意知，AM、BP互相垂直平分四边形ABMP是菱形PAl，即PAx轴 PA=PM=|y2-t|过点P作PQl于Q，则PQ=|x-1|，QM=|y2-3|PM2=PQ2+QM2(y2-t)2=(x-1) 2+(y2-3) 2化简得：(6-2t)y2=x2-2x+10-t2由题知，当t=3时，点C、M重合，BP与l平行，不满足题意，故t3y2与x之间的函数关系式为：y2=x2-x+(t3) 当6-2t
13、0，即t3时，抛物线y2开口向上由y2=(x-1)2+知，其顶点M的坐标为（1，）3 M在点M的下方结合图像可知，不满足y1y2恒成立当6-2t0，即t3时，抛物线y2开口向下则y1-y2=-(x-1)2+3-(x-1)2-=(x-1)2+若3t-11=0，即t=，y1-y2=0，y1y2成立若3t-110，要使y1y2恒成立，则对于任一x应有y=(x-1)2+0恒成立0 03-t0 3t-110，即t故，t的取值范围为t【2013重庆25题】如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）。（1）求点B的坐标；（2）已知a=1
14、，C为抛物线与y轴的交点。 若点P在抛物线上，且SPOC=4SBOC，求点P的坐标； 设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。解：（1）由题意知，点A、B关于直线x=-1对称点A的坐标为（-3，0）点B的坐标为（1，0）（2）抛物线过点A、B，且a=1抛物线的解析式为y=(x+3)(x-1)= x2+2x-3当x=0时，y=-3点C的坐标为（0，-3） 过点P作PHOC于点H。SPOC=OCPH，SBOC=OCOB又SPOC=4SBOCPH=4OB=4xP=4或-4当x=4时，y=(4+3)(4-1)=21当x=-4时，y=(-4+3)(-4-1)=5点P的
15、坐标为（4，21）或（-4，5） 设直线AC的解析式为y=kx+b，则 解得直线AC的解析式为y=-x-3设点Q的坐标为（m，-m-3）点Q在线段AC上-3m0QDx轴，即QDy轴点D的坐标为（m，m2+2m-3）QD=-m-3-（m2+2m-3）=-m2-3m=-(m+)2+当m=-时，QD长度最大，最大值为【2013重庆26题】已知，如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，ADBD，以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作RtAED，EAD=30，AED=90。（1）求AED的周长；（2）若AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到A0E0D0，当A0D0与BC重合
16、时停止运动。设移动时间为t秒，则A0E0D0与BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，请写出t的取值范围；（3）如图，当AED停止运动后得到BEC，将BEC绕点C按顺时针方向旋转(0180)，在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q。是否存在这样的，使BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由。解：（1）AD=BC=6，EAD=30，AED=90DE=AD=6=3AE=ADcos30=6=3AED的周长=AD+DE+AE=9+3（2） 当0t时，D0H=t，HK=tS=D0HHK = 当t时，A
17、0H=6-t，HK=(6-t)则SA0HK=A0HHK=(6-t)2SA0D0E0=S= 当t6时，过点D0作D0FBC于F。易得D0H=BF=t，HB=D0F=(6-t)，BM=12-2t，BK=(6-t)，FN=6-t，则S矩形BFD0H=BFHB=t(6-t)SKBM=BMBK=(6-t)2SD0FN=FND0F=(6-t)2S=t(6-t)-(6-t)2-(6-t)2=（3）在四边形CE1PE中，E=CE1P=90+E1PE=180E1PE+BPQ=180 =BPQ当BQ=PQ时，=BPQ=PBQ=30当BQ=BP时，=BPQ=PBQ=75当BP=PQ时，=BPQ=120故，当=30、75、120时，BPQ为等腰三角形