《全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题5：定值问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题5：定值问题.doc（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题5：定值问题6. （2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8理解与作图：（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学
2、给我们的启发证明（2）中的猜想【答案】解：（1）作图如下： （2）在图2中， ，四边形EFGH的周长为。 在图3中，四边形EFGH的周长为。猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。（3）延长GH交CB的延长线于点N，。又FC=FC，RtFCERtFCM（ASA）。EF=MF，EC=MC。同理：NH=EH，NB=EB。MN=2BC=16。，。GM=GN。过点G作GKBC于K，则。四边形EFGH的周长为。矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）根据网格结构，作出相
3、等的角即可得到反射四边形。（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明RtFCE和RtFCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GKBC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。7. （2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.（
4、1）若点A、B、C均在半径为R的O上，i）如图一，当A=45时，R=1，求BOC的度数和BC的长度； ii）如图二，当A为锐角时，求证sinA= ；（2）.若定长线段BC的两个端点分别在MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当MAN=60，BC=2时，分别作BPAM，CPAN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由. 【答案】解：（1）i）A=45， BOC=90（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。又R=1，由勾股定理可知BC=。 ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。 可知ECBC（直径所对的圆周角为90）
5、， 且E=A（同弧所对的圆周角相等）。 故sinA=sinA=。 （2）保持不变。理由如下：如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在RtAPC中，CK=AP=AK=PK。同理得：BK=AK=PK。CK=BK=AK=PK。点A、B、P、C都在K上。由（1）ii）sinA=可知sin60=。AP=（为定值）。【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。【分析】（1）i）根据圆周角定理得出BOC=2A=90，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则E=A，CE=2R，利用sinA=sinE= ，得出即可。（2）首先证
6、明点A、B、P、C都在K上，再利用sinA= ，得出AP= （定值）即可。8. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60
7、。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就
8、会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S四边形
9、AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。9. （2012四川成都12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 (a，b，c为常数，且a0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平
10、行的直线交抛物线于两点，试探究是否为定值，并写出探究过程【答案】解：（1）经过点（3，0），解得。直线解析式为。令x=0，得。C（0，）。抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（3，0），另一交点为B（5，0）。设抛物线解析式为y=a（x+3）（x5），抛物线经过C（0，），=a3（5），解得。抛物线解析式为y= （x+3）（x5），即。（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则ACEF且AC=EF，如答图1。（i）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EFG。又COA=EOF=900，AC=EF，CAOEFG（AAS）。EG
11、=CO=，即yE=。，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）。E（2，），SACEF=。（ii）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，同理可求得E（），SACEF=。（3）要使ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可。如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）。B（5，0），C（0，），直线BC解析式为。xP=1，yP=3，即P（1，3）。令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3k，联立得x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3。y1=kx1+3k
12、，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2）。根据勾股定理得：M1M2=，M1P=，M2P=。M1PM2P=M1PM2P=M1M2。=1为定值。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）把点A的坐标代入即可求出的值。由抛物线的对称轴和点A的坐标可得抛物线与x轴另一交点B的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式。（2）分点E在x轴上方和下方两种情况讨论即可。（3）设出M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得M1、M2两点坐标的关系：x1+x2=24k，x1x2=4k3，y1=kx1+3k，y2=kx2+3k， y1y2=k（x1x2）。由勾股定理表示出M1M2、M1P和M2P，化简即可求证。