《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第四章 4.8.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第四章 4.8.DOC（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、+二一九高考数学学习资料+4.8解三角形应用举例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.3.解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量
2、与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别.()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系不能确定.()(3)若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北46.()(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设为坡角，那么cos .()2.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则B
3、AC_.答案130解析由已知BAD60，CAD70，BAC6070130.3.在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离是_千米.答案解析如图所示，由题意知C45，由正弦定理得，AC.4.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_ m.答案10解析如图，OA为炮台，M、N为两条船的位置，AMO45，ANO60，OMAOtan 4530，ONAOtan 303010，由余弦定理得，MN 10(m).5.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角
4、为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_.答案20米、米解析如图，依题意有甲楼的高度为AB20tan 6020(米)，又CMDB20(米)，CAM60，所以AMCM(米)，故乙楼的高度为CD20(米).题型一测量距离问题例1要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离.思维启迪将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.解如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC中，由余弦定
5、理，得AB2()222cos 75325，AB (km)，A、B之间的距离为 km.思维升华这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米.答案50解析连结OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO
6、60，由余弦定理可得OC210021502210015017 500，解得OC50 (米).题型二测量高度问题例2某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.思维启迪依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40米，此时DBF45，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB，AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40，此时DBF45，过点B作BECD于E，则AEB30
7、，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，BD20(米).BDE1801353015.在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(米).在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米).故所求的塔高为(3)米.思维升华在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_ m.答案500(1)解析过点D作DEAC交BC于
8、E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得AB500()(m).所以在RtABC中，BCABsin 45500(1)(m).题型三测量角度问题例3某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航
9、行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.思维启迪(1)根据题意列出小艇与轮船相遇时，小艇所行走路程S关于时间t的函数关系式，并求出S的最小值及小艇的速度v；(2)根据余弦定理列出小艇速度v与相遇时所用时间t的关系式.由v的范围，求出相遇时所用时间t的最小值，并求出ABC的各边大小，进一步确定航行方案.解(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S .故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，9
10、00900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时.思维升华解三角形应用题的解题技巧：首先，理清题干条件和应用背景，画出示意图；其次，把所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有关知识求解；最后，回归实际问题并检验结果.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos _.答案
11、解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.正、余弦定理在实际问题中的应用典例：(14分)如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能
12、最快截获走私船？并求出所需时间.审题视角(1)分清已知条件和未知条件(待求).(2)将问题集中到一个三角形中，如ABC和BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解.规范解答解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t(海里)，BD10t(海里)，1分在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206.BC(海里).4分又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，7分在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶.10分又在BCD中，CBD120
13、，BCD30，D30，BDBC，即10t.t小时15(分钟).13分缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.14分解斜三角形应用题的一般步骤为第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.温馨提醒(1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路.如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成
14、实际问题，即利用上述模板答题.(2)本题的易错点：不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.方法与技巧1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义.1.方向角从指定方向线到目标方向线的水平角.2.方位角从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.3.坡度坡面与水平面所成的二面角的正切值.4.仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视
15、线下方时称为俯角.A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、填空题1.如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设为坡角，那么cos _.答案解析因为tan ，所以cos .2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为_.(可用正、余弦值表示)答案2cos 10解析如图，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的
16、高度是_m.答案50解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.4.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为_m.答案50解析ACB45，CAB105，ABC1801054530.在ABC中，由正弦定理得，AB50 (m).5.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏
17、东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.答案30解析如图所示，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 (km).6.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_方向.答案北偏西10解析灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010，即北偏西10.7.如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA 60，BCD135，则BC的长为_.答案8解析在ABD中，设BDx，则BA
18、2BD2AD2 2BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解之得x116，x26(舍去).在BCD中，由正弦定理：，BCsin 308.8.某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为_.答案或2解析如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理，得x23x60，解得x或2.二、解答题9.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 m，并在点C处测
19、得塔顶A的仰角为60，求塔高AB.解在BCD中，CBD1801530135，由正弦定理，得，所以BC15 (m).在RtABC中，ABBCtanACB15tan 6015 (m).所以塔高AB为15 m.10.2011年7月11日广州惠州大亚湾石化区中海油惠州炼油厂失火，为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB15米，在A处看到着火点的仰角为60，ABC30，BAC105，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解在ABC中，可知ACB45，由正弦定理得：，解得AC15米.又CAD60，AD30，CD15，sin 105sin(4560).由正弦定理得：，解
20、得BC米.由勾股定理可得BD15米，综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为30米，15米.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若acos Bbcos Acsin C，S(b2c2a2)，则B等于_.答案45解析由余弦定理可知acos Bbcos Ac，于是sin C1，C90，从而Sab(b2c2a2)(b2b2).解得ab，因此B45.2.在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135.若ACAB，则BD_.答案2解析如图，设ABc，ACb，BCa，则由题设可知BDa，CDa，根据余弦定理可得b2()2(a)
21、22acos 45，c2()2(a)22acos 135，由题意知bc，可解得a63，所以BDa2.3.某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是_米.答案解析如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO 45，AOB75，OAB60. 由正弦定理知，AO(米).4.在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4，则塔的高度为_ m.答案15解析如图所示，依题意有PBBA30，PCBC10，在BPC
22、中，由余弦定理可得cos 2，所以230，460，在RtPCD中，可得PDPCsin 41015 m.5.为维护我国南海主权，我国海军在南海某海域进行了一场军事演习，将小岛E为中心的7海里以内海域设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45(其中sin ，090)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变船行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解(1)如图，AB40，AC10，BAC，sin .由于
23、090，所以cos .由余弦定理得BC10，所以船的行驶速度为15(海里/小时).(2)方法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.由题设有，x1y1AB40，x2ACcosCAD10cos(45)30，y2ACcosCAD10sin(45)20.所以过点B、C的直线l的斜率k2，则直线l的方程为y2x40.又点E(0，55)到直线l的距离d340AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QEAEAQ15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中，PEQEsinPQEQEsinAQCQEsi
24、n(45ABC)1537.所以船会进入警戒水域.6.(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行
25、的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理，得BCsin A500(m).乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.高考数学复习精品高考数学复习精品