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1、+二一九高考数学学习资料+10.2排列与组合1.排列(1)排列的定义：从n个不同的元素中取出m (mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.(3)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1).(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，An(n1)(n2)21n！.排列数公式写成阶乘的形式为A，这里规定0！1.2.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素
2、中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示.(3)组合数的计算公式：C，由于0！1，所以C1.(4)组合数的性质：CC_；CC_C_.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)(n1)！n！nn！.()(5)AnA.()(6)kCnC.()2.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友
3、1本，则不同的赠送方法共有_种.答案10 解析方法一不同的赠送方法有10(种).方法二从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本.由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C4(种)赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C6(种)赠送方法.因此共有4610(种)赠送方法.3.(2012大纲全国改编)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不
4、相同，则不同的排列方法共有_种.答案12解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法.再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有AA112(种)不同的排列方法.4.用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_.答案48解析分两步：(1)先排个位有A种排法.(2)再排前三位有A种排法，故共有AA48种排法.5.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有_种.答案14解析有1名女生：CC8.有2名女生：CC6.不同的选派方案有8614(种).题型一排列
5、问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间.思维启迪这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑).解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A种，故共有6A241 920(种)排法.方法二(位置分析法)中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有AA336720241
6、 920(种)排法.方法三(等机会法)9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A241 920.方法四(间接法)A3A6A241 920(种).(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有AA10 080(种)排法.(3)(插空法)先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有AA2 880(种)排法.思维升华本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路.用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位
7、位置上的五位数？解本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有A3种方法.又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法A3(种).十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法A6(种).根据分步计数原理，第二类中所求五位数的个数为AAA54.由分类计数原理，符合条件的五位数共有245478(个).题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有1
8、5种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维启迪可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984(种).某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 1
9、00(种).恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种).至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种).至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这
10、两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法共有CCC24(种).(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为CC，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C，因此满足条件的不同选法为CCC30(种).题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1
11、个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维启迪把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCCA144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是
12、同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法.故共有C(CCAA)84(种)放法.思维升华排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.(1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有_种(2)(2013重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人
13、组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_.(用数字作答)答案(1)18(2)590解析(1)先放1、2的卡片有C种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有A种，故共有CC18种.(2)分三类：选1名骨科医生，则有C(CCCCCC)360(种).选2名骨科医生，则有C(CCCC)210(种)；选3名骨科医生，则有CCC20(种).骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.排列、组合问题计算重、漏致误典例：(5分)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_
14、种.易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有CC2 736种不同取法.上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复.解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有CCCCC1 136(种).方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：CC1 136(种).答案1 136温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后
15、分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.(2)“至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.方法与技巧1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合
16、问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.失误与防范1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.3.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、填空题1.(2012课标全国改编)将2名教师，4名学生分成2个小
17、组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_种.答案12解析利用分步计数原理和组合数公式求解.分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C6(种)选派方法.由分步计数原理得不同的选派方案共有2612(种).2. 10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为_.答案420解析从后排抽2人的方法种数是C；前排的排列方法种数是A.由分步计数原理知不同调整方法种数是CA420.3.某台小型晚会由
18、6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种.答案42解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法.依分类计数原理，知共有ACA42(种)编排方案.4.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有_种.答案21解析当第一组开关有一个接通时，电路接通有C(CCC)14(种)方式；当第一组开关有两个接通时，电路接通有C(CCC)7(种)方式.
19、所以共有14721(种)方式.5.(2012山东改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_.答案472解析利用分类计数原理和组合的概念求解.分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C3C22012208(种).由分类计数原理知不同的取法有264208472(种).6.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有_种. 答案60解析可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、
20、B两人只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的排法共有A60(种).7.(2013北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_.答案96解析将5张参观券分成4堆，有2个连号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A种分法，不同的分法种数共有4A96.8.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_.答案8解析先把两奇数捆绑在一起有A种方法，再用插空法共有个数ACA8.9.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，
21、而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有_种.答案24解析甲、乙排在一起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2AA24(种).二、解答题10.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共
22、有CCC6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有CCCCCCCC14 656(种).方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C(CC)14 656(种).B组专项能力提升(时间：25分钟)1.(2012北京改编)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_.答案18解析当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有CC6(种)方法；当选2时
23、，先从1,3,5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，其余2个数字全排列，共有CCA12(种)方法.依分类计数原理知共有61218(个)奇数.2.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有_种.答案4 320解析先将7盆花全排列，共有A种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5AA(种)，故所求摆放方法有A5AA4 320(种).3.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同
24、的排列方式的种数有_.(用符号表示)答案AAA解析先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有AAA种.4.(2013浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答).答案480解析分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有2(AACAACAA)480(种).5.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴省运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有
25、_种(用数字作答).答案1 080解析先分组再分配，共有A1 080(种)分配方案.6.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有_种(用数字作答).答案96解析甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法.乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法.丙传第一棒，共有CA种方法.由分类计数原理得，共有AACA96(种)方法.7.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8种卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有_种(用数字作答).答案432解析取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144,2233,1234.所取卡片是1144的共有A种排法.所取卡片是2233的共有A种排法.所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法ACACACAA16A(种)，共有排法18A184321432(种).高考数学复习精品高考数学复习精品