《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第二章 2.6.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第二章 2.6.DOC（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、+二一九高考数学学习资料+2.6对数与对数函数1.对数的概念如果abN(a0且a1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；MnlogaM.(2)对数的性质_N_；logaaN_N_(a0且a1).(3)对数的重要公式换底公式：logaN (a，c均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3.对数函数的图象与性质a10a1时，y
2、0当0x1时，y1时，y0当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，则xy5.()(2)2log510log50.255.()(3)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.()(4)log2x22log2x.()(5)当x1时，logax0.()(6)当x1时，若logaxlogbx，则abc解析alog361log321，blog5101log521，c
3、log7141log721，显然abc.4.(2013浙江改编)已知x，y为正实数，则下列等式成立的为_.(填序号)2lg xlg y2lg x2lg y; 2lg(xy)2lg x2lg y；2lg xlg y2lg x2lg y; 2lg(xy)2lg x2lg y.答案解析2lg x2lg y2lg xlg y2lg(xy).故正确.5.函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_.答案(，)解析函数f(x)的定义域为(，)，令t2x1(t0).因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在(，)上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间是(，).题型一对数式的运算例1(
4、1)化简：_.(2)化简：_.(3)设2a5bm，且2，则m等于_.思维启迪正用或逆用对数运算性质计算，同时注意对数恒等式及换底公式的应用.答案(1)1(2)2(3)解析(1)原式1.(2) 232log0.54882log24882.(3)由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2，logm102，m210，m.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质，换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式.计算：(1)；(2)lg 2lg lg 0.2lg 40.解(1)原式；(2)原式lg 2lg lg lg
5、(2210)lg 2(12lg 2)(lg 21)(2lg 21)lg 22(lg 2)22(lg 2)22lg 2lg 211.题型二对数函数的图象和性质例2作出函数ylog2|x1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到.思维启迪从基本函数ylog2x出发，到ylog2|x|，再到ylog2|x1|.解作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示).由图知，函数ylog2|x1|的递减区间为(，1)，递增区间为(1，).思维升华(1
6、)作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象.(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想.(1)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为_.(2)不等式logax(x1)2恰有三个整数解，则a的取值范围是_.答案(1)cba(2)a解析(1)b0.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，故cb(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a1，其整数解集为2,3,4，则应满足得 a0且a1，设t(x)
7、3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立.32a0.a0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数，f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a(0,1)，还是a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数
8、的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.已知f(x)lg 是奇函数.(1)求m的值，及函数f(x)的定义域；(2)根据(1)的结果判断f(x)在(1，)上的单调性，并证明.解(1)因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)0，即lg lg lg 0.所以m2x21x21，所以m21.又当m1时，f(x)无意义，所以m1，即f(x)lg .由0，得x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，).(2)f(x)在(1，)上单调递减.证明如下：设g(x)，任取1x1x2，则g(x1)g(x2).因为1x10，x210.所以
9、g(x1)g(x2)0，所以g(x1)g(x2).所以lgg(x1)lgg(x2)，即f(x1)f(x2).所以f(x)在(1，)上单调递减.利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系为_.(2)已知a5log23.4，b5log43.6，c()log30.3，则a，b，c的大小关系是_.(3)已知函数yf(x)的图象关于y轴对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)0成立，a(20.2)f(20.2)，b(log3)f(log3)，c(log39)f(log39)，则a，b，c的大小关系是_.思维启迪(1
10、)利用幂函数yx0.5和对数函数ylog0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、log30.3log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数(x)xf(x)的单调性，再根据20.2，log3，log39的大小关系求解.解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.51，即balog0.30.31，即c1.所以balog3log43.6.方法二log3log331，且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.由于
11、y5x为增函数，5log23.45log43.6.即5log23.4()log30.35log43.6，故acb.(3)因为函数yf(x)关于y轴对称，所以函数yxf(x)为奇函数.因为xf(x)f(x)xf(x)，且当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0，则函数yxf(x)在(，0)上单调递减；因为yxf(x)为奇函数，所以当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减.因为120.22,0log31，log392，所以0log320.2ac.答案(1)bacb(3)bac温馨提醒(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相
12、应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0.对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论.2.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.3.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y1交点的横坐标进行判定.失误与防范1.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMlo
13、ga|M|(N*，且为偶数).2.指数函数yax (a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.计算(lg lg 25)_.答案20解析(lg lg 25)(lg )10121020.2.函数y的定义域是_.答案x|0x1或1x2解析要使函数有意义只需要，解得0x1或1x2，定义域为x|0x1或1c解析alog23log2log23，blog29log2log23，ab.又
14、函数ylogax(a1)为增函数，alog23log221，clog32c.4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式f(logx)0的解集为_.答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，它的图象关于y轴对称.f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由f0，得f0.f()0 x2或0xf(a)，则实数a的取值范围是_. 答案(1,0)(1，)解析f(a)f(a)或或a1或1a0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1.又yax3在1,3上恒为正，a30，即a3.7.已知函数f(x)则使函数f(x)
15、的图象位于直线y1上方的x的取值范围是_.答案x|12解析当x0时，3x11x10，10时，log2x1x2，x2.综上所述，x的取值范围为12.8.若log2a1时，log2a0log2a1，0，1a21a，a2a0，0a1，a1.当02a1时，log2a1.1a0，1a21a，a2a0，a1，此时不合题意.综上所述，a.二、解答题9.已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集.解(1)要使函数f(x)有意义.则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1.(2)
16、由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01，解得0x0的x的解集是x|0xkg(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为x1,4，所以log2x0,2，故函数h(x)的值域为0,2.(2)由f(x2)f()kg(x)得(34log2x)(3log2x)klog2x，令tlog2x，因为x1,4，所以tlog2x0,2，所以(34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立，当t0时，kR；当t(0,2时，k恒成立，即k4t15，因为4t12，当且仅当4t，即t时取等号，所以4t15的最小值为3，综上，k(，3)
17、.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.已知函数f(x)则f(2log23)的值为_.答案解析因为2log234，所以f(3log23).2.函数yloga(x3)1 (a0且a1)的图象恒过点A，若点A在直线mxny10上(其中mn0)，则的最小值为_.答案8解析yloga(x3)1 (a0且a1)的图象恒过点A(2，1)，A(2，1)在直线mxny10上，即2mn1.(2mn)4428，当且仅当4m2n2时取等号.3.已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_.答案(10,12)解析作出f(x)的大致图象.由图象知，要使f(a)f(b)f(c)
18、，不妨设abc，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10c0，且a1)，若f(x1x2x2 015)8，则f(x)f(x)f(x)_.答案16解析f(x1x2x2 015)loga(x1x2x2 015)8，6.已知函数f(x)loga(ax1) (a0且a1).求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.证明(1)由ax10，得ax1，当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0，)，此时函数f(x)的图象总在y轴的右侧；当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(，0)，此时函数f(x)的图象总在y轴的左
19、侧.函数f(x)的图象总在y轴的一侧.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)图象上的任意两点，且x11时，由(1)知0x1x2，1，011.01，y1y20.又x1x20.当0a1时，由(1)知x1x21，110.1，y1y20.又x1x20.函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.7.设f(x)|lg x|，a，b为实数，且0a1.(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)2f()所得到的关于b的方程g(b)0，存在b0(3,4)，使g(b0)0.(1)解由f(x)1得，lg x1，所以x10或.(2)证明结合函数图象，由f(a)f(b)可判断a(0,1)，b(1，)，从而lg alg b，从而ab1.又1(因b).(3)证明由已知可得b()2，得4ba2b22ab，得b224b0，g(b)b224b，因为g(3)0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0(3,4)，使g(b0)0.高考数学复习精品高考数学复习精品