《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第十二章 12.6.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第十二章 12.6.DOC（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、+二一九高考数学学习资料+12.6离散型随机变量的均值与方差1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称V(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)V(aXb)a2V(X).(a，b为常数)3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)_p_，V
2、(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，则E(X)_np_，V(X)np(1p).1.某射手射击所得环数X的概率分布为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为_.答案0.79解析P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.2.设随机变量的分布列为P(k)(k2,4,6,8,10)，则V()_.答案8解析E()(246810)6，V()(4)2(2)20222428.3.已知X的概率分布为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为_.答案解析E(X)(1)01.E(Y)2E(X)323.4
3、.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则V(X)_.答案解析由题意知取到次品的概率为，XB(3，)，V(X)3(1).5.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是_.答案0.7解析E(X)10.700.30.7.题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得
4、分数之和，求的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若E()，V()，求abc.思维启迪首先列出随机变量的所有可能的取值，然后计算的每个取值的概率.解(1)由题意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的概率分布为23456P(2)由题意知的概率分布为123P所以E()，V()222.化简得解得a3c，b2c，故abc321.思维升华(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的概率分布，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意性质的应用：若随机变量X的均值为E(X)，
5、则对应随机变量aXb的均值是aE(X)b，方差为a2V(X).袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4).现从袋中任取一球，表示所取球的标号.(1)求的概率分布、均值和方差；(2)若ab，E()1，V()11，试求a，b的值.解(1)的概率分布为01234PE()012341.5.V()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由V()a2V()，得a22.7511，即a2.又E()aE()b，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或题型二二项分布的均值、方差例2(2012
6、四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布及均值E().思维启迪利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1P()1p，解得p.(2)由题意，得P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3.所以，随机变量的概率分布为0123P故随机变量的均值E()0123.(或B(3，)，E()3.)思维升华求随机变量的均值与方差时，可首
7、先分析是否服从二项分布，如果B(n，p)，则用公式E()np；V()np(1p)求解，可大大减少计算量.假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的概率分布；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的均值.解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4，XB(4,0.5)，P(X0)C()4，P(X1)C()4，P(X2)C()4，P(X3)C()4，P(X4)C()4，X的概
8、率分布为X01234P(2)Y的所有可能取值为3,4，则P(Y3)P(X3)，P(Y4)1P(Y3)，Y的均值为E(Y)34.题型三均值与方差的应用例3现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)
9、求X1，X2的概率分布和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围.思维启迪(1)求概率分布，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；(2)由E(X1)E(X2)，找出关于p的不等式，即可求出p的范围.解(1)X1的概率分布为X11.21.181.17PE(X1)1.21.181.171.18.由题设得XB(2，p)，即X的概率分布为X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3
10、.(2)由E(X1)1.18，整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3.因为0p1，所以当E(X1)E(X2)时， p的取值范围是0p0.3.思维升华(1)解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.X15%10%P0.80.2 A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的概率分布分别为X22%8%12%P0.20.50.
11、3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差V(Y1)，V(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，100x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.解(1)由题设可知Y1和Y2的概率分布为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)50.8100.26，V(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)20.280.5120.38，V(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)f
12、(x)VV2V(Y1)2V(Y2)x23(100x)2(4x2600x31002).当且仅当x75时，f(x)3为最小值.离散型随机变量的均值与方差问题典例：(14分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；(3)设P2，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次.设表示摸出红球的总次数，求的概率分布和均值.思维启迪(1)概率的应
13、用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球.(2)利用方程的思想，列方程求解.(3)求概率分布和均值，关键是求的所有可能值及每个值所对应的概率.规范解答解(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x104.3分(2)由已知，得，解得P2.6分(3)的所有可能值为0,1,2,3.P(0)，P(1)C，P(2)C2，P(3)2.10分所以的概率分布为0123P12分所以E()0123.14分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值.第二步：求每一个可能值所对应的概率.第三步：列出离散型随机变量的概率分布.第四步：求均值和方差.第五步：反思回顾.查看关键点、
14、易错点和答题规范.温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的概率分布、均值.(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3)问中，不明确写出的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范.方法与技巧1.均值与方差的常用性质.掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；V(ab)a2V()；(2)若B(n，p)，则E()np，V()np(1p).2.基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值 、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质
15、求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.失误与防范1.在没有准确判断梕分布模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.已知随机变量的分布列为P(k)，k1,2,3，n，则P(25)_.答案解析P(25)P(3)P(4)P(5).2.已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X)6.3，则a的值为_.X4a9P0.50.1b答案7解析由概率分布的性质知：0.50.
16、1b1，b0.4.E(X)40.5a0.190.46.3，a7.3.(2013湖北改编)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的 油漆面数为X，则X的均值E(X)_.答案解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)123.4.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为_.答案200解析记“不发芽的种子数为”，则B(1 000,0.1)，所以E()1 000
17、0.1100，而X2，故E(X)E(2)2E()200.5.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为_.答案2.376解析X的所有可能取值为3,2,1,0，其概率分布为X3210P0.60.240.0960.064E(X)30.620.2410.09600.0642.376.6.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为X012P答案0.10.60.3解析P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3.7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，
18、公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的均值为_元.答案500解析a12a14a11，a1，E()700560420500(元).8.签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的均值为_.答案5.25解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由均值的定义可求得E(X)5.25.二、解答题9.某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾
19、客，既要付购买费，也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人.(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为，求的概率分布和均值.解(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则P(A)，P(B).因为事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B).故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.(2)据题意，得的可能取值为0,1,2.其中P(0)P(B)，P(1)，P(2)P(A).所以的概率分布为012P所以E()012.10.为了某项大型活
20、动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，.这三项测试能否通过相互之间没有影响.(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的概率分布与均值.解(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MP，NP，MNP.P(A)P(MN)P(MP)P(NP)P(MNP).所以，A能够入
21、选的概率为.(2)记表示该训练基地得到的训练经费，则的所有可能值为0,3 000,6 000,9 000,12 000.P(0)4，P(3 000)C3，P(6 000)C22，P(9 000)C3，P(12 000)C4，的概率分布为03 0006 0009 00012 000PE()3 0006 0009 00012 0008 000(元).所以，该基地得到训练经费的均值为8 000元.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为_.答案解析由已知得，3a2
22、b0c2，即3a2b2，其中0a，0bE(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.方法二(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)(1)(1)，P(X2)(1)，P(X3)(1)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的概率分布如下： X1024PX2036P所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.高考数学复习精品高考数学复习精品