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1、+二一九高考数学学习资料+第七节直接证明与间接证明来源:1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点.知识梳理一、直接证明1综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)P1P2Pn(结论)特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法2分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和
2、已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)B1B2BnA(已知)特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法二、间接证明假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立这样的证明方法叫反证法反证法是一种间接证明的方法1反证法的解题步骤：否定结论推演过程中引出矛盾肯定结论2反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立3反证法证明一个命题常采用以下步骤：(1)假定命题的结论不成立；(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定
3、理矛盾；(3)由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；(4)肯定原来命题的结论是正确的，即“反设归谬结论”4一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：第一，问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；第二，命题是以否定命题的形式叙述的；第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的基础自测1设ta2b，sab21，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()Ats BtsCts Dts解析：因为stab2
4、1a2b(b1)20，所以st.答案：D2对任意的锐角，下列不等式成立的是()Asin()sin sin 来源:Bcos()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos 答案：D3定义运算法则如下：abab，ablg a2lg b.若M2，N，则MN_.来源:数理化网解析：由定义运算法则可知，M2 4，Nlg()2lglg 2lg 51，MN5.答案：54(2013保定模拟)若P，Q，a0，则P、Q的大小关系是_解析：分析法，要证PQ，需证P2Q2即可来源:答案：PQ1(2012新课标全国卷)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC
5、1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小(1)证明：在RtDAC中，ADAC，得ADC45.同理：A1DC145CDC190，得：DC1DC.又DC1BD，DCBDDDC1平面BCDDC1BC.(2)解析：DC1BC，CC1BC，DC1CC1C1BC平面ACC1A1BCAC.取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O，C1H.A1C1B1C1C1OA1B1，平面A1B1C1平面A1BDC1O平面A1BDC1OBD.OHBD，C1OOHOBD平面C1OHC1HBD得：点H与点D重合，且C1DO是二面角A1BDC1的平面角设ACa，则C1O，C1Da2C1OC1
6、DO30，即二面角A1BDC1的大小为30.2(2013江苏卷)已知向量a(cos ，sin )，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值(1)证明：由|ab|，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0，即ab0，因此ab.(2)解析：由已知条件又0，coscos cos()，则，sin sin()1，所以sin ，得或，当时，(舍去)，当时，.1(2013惠州一模)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABAC，ABACAA12，点M，N分别为A1B和B1C1的中点(1)证明
7、：MN平面A1ACC1；(2)求二面角NMCA的正弦值(1)证明：如图所示，取A1B1的中点P，连接MP，NP.又因为点M，N分别为A1B和B1C1的中点，所以NPA1C1，MPB1B，因为NP平面MNP，A1C1平面MNP，所以NP平面A1ACC1；同理MP平面A1ACC1；又MPNPP，所以平面MNP平面A1ACC1；所以MN平面A1ACC1；(2)解析：侧棱与底面垂直可得A1AAB，A1AAC，及ABAC，可建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,2,2)，N(1,1,2)，M(1,0,1)所以
8、(1,2，1)，(1，1,2)，(0,2,0)设平面ACM的法向量为n1(x1，y1，z1)，则令x11，则z11，来源:所以n1(1,0，1)设平面NCM的法向量为n2(x2，y2，z2)，则令x23，则y21，z21.所以n2(3,1，1)所以cosn1，n2.设二面角NMCA为，则sin .故二面角NMCA的正弦值为.2设数列是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn.(1)已知a11，d2，求当nN*时，的最小值；当nN*时，求证：0，. (2)解析：对nN*，关于m的不等式ama1(m1)dn的最小正整数解为cn3n2，当n1时，a1(c11)da11；当n2时，恒有 即 从而 d，1a1.当d，1a1时，对nN*且n2时，当正整数mcn时，有a1n.故存在这样的实数a1且a1的取值范围是.高考数学复习精品高考数学复习精品