《考点23几何体的体积和表面积-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点23几何体的体积和表面积-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、【考点剖析】 1. 最新考试说明： 1. 了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征 2. 会计算球、柱、锥台的表面积和体积( 不要求记忆公式) 2. 命题方向预测： 1. 空间几何体的表面积、体积是高考的热点，与三视图相结合往往是选择题、填空题，与平行关系、垂直 关系相结合，往往是解答题 2. 求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力 3. 课本结论总结： 1. 空间几何体的结构特征 多面体 (1) 棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形. 来源 :学科网 ZXXK (2) 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3) 棱台可由
2、平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似 多边形 . 旋转体 (1) 圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2) 圆锥可以 由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. (3) 圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底 中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得 到. (4) 球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2. 柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 来 源 : 学科网 ZXXK 几何体 表面积体积 柱体 ( 棱柱和圆 柱 ) S表面积S侧2S底VSh 锥体 ( 棱锥和圆 锥 ) 来源 :Zxxk.Com S表面积S侧S底 来源学科网 1 V=Sh
3、 3 台体 ( 棱台和圆 台 ) S表面积S侧S上S下 1 V=(S +S +S S )h 3 下下 上上 球S4R 234 V=R 3 正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面 是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均 相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的 中心 4. 名师二级结论： (1) 解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和 接点的位置，确定有关元素
4、间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个 面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线 长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的 一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图 (1) 等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形( 或几何体 ) 的面积 ( 或体积 ) 通过 已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱 锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形( 或三棱锥 ) 的高，而通过直接计算得到高的数
5、值 （2）求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构 成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积， 最后求出组合体的体积. 5. 课本经典习题： （1）必修 2 第 31 页 在长方体ABCDA B C D中，用截面截下一个棱锥CA DD, 求棱锥CA DD的体积与剩余部 分的体积之比 【答案】15： 【解析】已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCC B, 设它的底面ADD A面积为S，高为h，则 它的体积为VSh. 因为棱锥CA DD的底面积为 1 2 S，高为h，所以棱锥CA DD的体积为 111
6、. 326 CA DD VShSh余下的体积为 15 . 66 ShShSh 所以棱锥CA DD的体积与剩余部分的体积之比为15：. 【经典理由】利用几何体特征，灵活应用“等体积”，用适当的字母表示几何体的体积，“设而不求”. （2）必修 2 第 14 页 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A3a 2 B 6a 2 C 12a 2 D 24a 2 【经典理由】考察长方体外接球，说明了求多面体外接球的一般方法. 6. 考点交汇展示： (1) 体积与最值问题交汇 【2015 高考福建，文20】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，
7、垂直于圆所在 的平面，且1 （）若D为线段AC的中点，求证C平面D； （）求三棱锥PABC体积的最大值； （）若2BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值 (2) 体积、面积与三视图交汇 【2015 高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、 1 3 B、 2 3 C、 1 2 3 D、 2 2 3 (3) 体积与基本不等式交汇 已知正三棱柱内接于一个半径为2 的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为 A6 B C3 D2 【考点分类】 热点 1 表面积计算问题 1. 【2015 高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A3 B
8、4 C24 D34 2. 【 2014 高考江苏卷第8 题】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为 12 ,S S，体积为 12 ,V V，若它们的侧面 积相等且 1 2 9 4 S S ，则 1 2 V V 的值是 . 3. 【 2014 浙江高考理第3 题】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( ) A. 90 2 cm B. 129 2 cm C. 132 2 cm D. 138 2 cm 4. 【2014 大纲高考理第8 题】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该 球的表面积为（） A 81 4 B16 C 9 D 27 4 【方法规律】
9、1在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理 2以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几 何体中各元素间的位置关系及数量关系 3圆 柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积 与底面圆的面积之和. 【解题技巧】 几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系. 【易错点睛】 (1) 熟记常见图形的面积公式 (2) 注意把直观图中的面积转换为平面图形的面积进行求解 例 1 已知三棱锥ABCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面
10、积为_. 【易错点】 不会用转换的思想把三棱锥ABCD的外接球看成正方体ANDMFBEC的外接球 热点 2 体积计算问题 1. 【2015 高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则a . 2. 【2015 高考新课标1，文 6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“ 今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？” 其意思为： “ 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆 为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）
11、（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛 3. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，则该棱柱体积的最大值为（） A 3 32 B 2 33 C33 D36 4. 【 2014 陕西高考理第5 题】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则 该球的体积为（） 32 . 3 A .4B.2C 4 . 3 D 【方法规律】 1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和 旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解 2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体
12、积计算常用 的方法，应熟练掌握 3等积变换法： 利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时， 可选择容易计算的方式来计算； 利用“等积法”可求“点到面的距离”. 【解题技巧】 求几何体的体积，要注意分割与补形. 将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. 【易错点睛】 熟记常见几何体的体积公式 例 1：三棱锥ABCS的顶点都在同一球面上，且4,22SCBCSBACSA，则该球的体积为 A 3 256 B 3 32 C16D64 【易错点】不能根据已知条件结合勾股定理找出球的半径。 【热点预测】 1. 四面体BCDA中，,5,4BDADACBCCDAB则四面体外接球的表面积为
13、（） A33 B43 C36 D 18 2. 三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球O的表面上， SA平面 ABC ，ABBC ，又 SA=AB= BC=1，则球 O的表面 积为 ( ) (A) 3 2 (B) 3 2 (C) 3 (D) 12 3. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（） A. 1 B. 2C. 1 3 D. 2 3 4. 一个棱长都为a的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为 A. 27 3 aB. 2 2 aC. 211 4 aD. 24 3 a 5.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面ACD 1截球 O的截面面积
14、为（） A 6 B 3 C 3 6 D 3 3 6. 【 2015 高考新课标2，理 9】已知 A,B 是球 O的球面上两点， AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC体积的最大值为36，则球 O的表面积为 ( ) A36 B.64 C.144 D.256 7. 【 2015 高考山东，理7】在梯形ABCD中， 2 ABC，/ /,222ADBC BCADAB . 将梯 形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（） （A） 2 3 （B） 4 3 （C） 5 3 （D）2 8. 在棱锥 P-ABC中 ， 侧棱PA、PB 、PC两两垂直，Q为底面ABC
15、内一点，若点 Q到三个侧面的距离分别为 2、2、2 2， 则以线段 PQ为直径的球的表面积为. 来 源 :学 科 网 9. 【 2015 高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则a . 10. 【2015 江苏高考， 9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为 4的圆锥和底面半径为2、高为 8 的圆柱各 一个 .若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面 半径为 11. 【2015 高考安徽， 文 19】 如图，三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，1,1,2,60PAABACBAC o . （）求三棱锥P-ABC 的体积； （）证明：在线段PC 上存在点M，使得 ACBM，并求 PM MC 的值 . 12. 【2015 高考北京，文18】（本小题满分14 分）如图，在三棱锥VC中，平面V平面C， V为等边三角形， CC且CC2，分别为，V的中点 （I ）求证：V/平面C； （II ）求证：平面C平面V； （III）求三棱锥VC的体积