《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第三章 3.2.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第三章 3.2.DOC（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、+二一九高考数学学习资料+3.2导数在研究函数中的应用1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数的极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，
2、则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在区间(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0
3、点为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点.()2.函数f(x)x22ln x的单调减区间是_.答案(0,1)解析f(x)2x(x0).当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数.3.如图是yf(x)的导函数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3是f(x)的极小值点.其中正确的判断是_.(填序号)答案解析f(x)在2，1上是小于等于0的，f(x)在2，1上是减函数；f(1)0且在x0两侧的导数值为左负右
4、正，x1是f(x)的极小值点；对， 不对，由于f(3)0.4.若函数f(x)在x1处取极值，则a_.答案3解析f(x).因为f(x)在x1处取极值，所以1是f(x)0的根，将x1代入得a3.5.函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_.答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立.a3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.思维
5、启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论.解f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上单调递增，若a0，exa0，exa，xln a.因此当a0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是ln a，).(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立.aex在x(2,3)上恒成立.又2x3，e2exe3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)1，求f(x)的单调区间.解f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，当x0，故f(x)在区间(，2)上是增函数；当2x2a时，f(x)2a时，f(x)0，故f(
6、x)在区间(2a，)上是增函数.综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数.(2)若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_.答案(，1解析转化为f(x)x0在1，)上恒成立，即bx(x2)在1，)上恒成立，令g(x)x(x2)(x1)21，所以g(x)min1，则b的取值范围是(，1.题型二利用导数研究函数的极值例2设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值.思维启迪由条件x为yf(x)图象的对称轴及f(1)0求得
7、a，b的值，再由f(x)的符号求其极值.解(1)因为f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.从而f(x)62b，即yf(x)关于直线x对称，从而由题设条件知，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2).令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数.从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6.思维升华(1)导函数的零
8、点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.解(1)当a2时，f(x)x36x23x1，f(x)3x212x33(x2)(x2).当x(，2)时，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递增；当x(2，2)时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增.综上，f(x)的单调增区间是(，2)和(
9、2，)，f(x)的单调减区间是(2，2).(2)f(x)3x26ax33(xa)21a2.当1a20时，f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1a20时，f(x)0有两个根x1a，x2a.由题意，知2a3，或2a3，无解，的解为a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围.思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)g(1)且f(1)g(1)；(2)可以列表观察h(x)在(，2上的变化情况，然后确定k的取值范围.解(1)f(x)
10、2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为28；当3k1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.解(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为
11、f(2)4，所以切线方程为y6x8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa).令f(x)0，得到x11，x2a.当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a1时，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0单调递减极小值3a1单调递增28a324a2得g(a)3a1.综上所述，f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)利用导数求函数的最值问题典例：(14分)已知函数f
12、(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.思维启迪(1)解方程f(x)0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k1和区间0,1的关系求最值.规范解答解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.2分f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).7分(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；9分当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调
13、递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.12分综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.14分用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最
14、大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范.温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间0,1上的最值，属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面，不准确的情况.(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.方法与技巧1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.失误与防范1.注意定义域优先的原则，求
15、函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点.A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、填空题1.函数f(x)x的单调减区间为_.答案(3,0)，(0,3)解析f(x)1，令f(x)0，解得3x0或0x0，令y0，得x0，则a0，所以顶点在第一象限.3.设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围为_.答案a0时，ex1，aex1.4.设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的
16、取值范围是_.答案10)，当x0时，有00且a13，解得12或a0，a2或aa，则实数a的取值范围是_.答案(，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f()，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a.8.(2013福建改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是_.(填序号)xR，f(x)f(x0)；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点.答案解析错，因为极大值未必是最大值.错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点.对，函
17、数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点.对，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点.二、解答题9.已知函数f(x)ln x.求函数f(x)的极值和单调区间.解因为f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1).10.已知函数f(x)x2bsin x2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数
18、f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围.解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x)0.即x2bsin x(x)2bsin(x)0，即2bsin x0，所以b0，所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)aln x，g(x)x22xaln x，g(x)2x2.函数g(x)在(0,1)上单调递减，在区间(0,1)内，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立.(2x22x)在(0,1)上单调递减，a4为所求.B组专项能力提升(时间：3
19、5分钟)1.已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则f(2 014)与e2 014f(0)的大小关系为_.答案f(2 014)e2 014f(0)解析令g(x)，则g(x)()0，所以函数g(x)是单调减函数，所以g(2 014)g(0)，即，故f(2 014)e2 014f(0).2.如图是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则xx等于_.答案解析由图象可得f(x)x(x1)(x2)x3x22x，又x1、x2是f(x)3x22x20的两根，x1x2，x1x2，故xx(x1x2)22x1x2()22.3.已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值
20、范围是_.答案(0,1)(2,3)解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.4.已知函数f(x)的定义域为3，)，且f(6)2.f(x)为f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示.若正数a，b满足f(2ab)2，则的取值范围是_.答案(，)(3，)解析由导函数的图象可以看出f(x)在(3,0)上为减函数，在0，)上为增函数，由f(2ab)2可得f(2ab)2时，对任意的x2且xa，恒有f(x)f(a)f(a)(xa)；函数f(x)有且只有一
21、个零点.其中真命题为_.(填序号)答案解析f(x)3x24x4(3x2)(x2)，可得f(x)在(，)上为增函数，在(，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，故错误；f(x)极小值f(2)15，故正确；在(2，)上，f(x)为“下凸”函数，又a2，xa，当xa时，有f(a)恒成立；当xa时，有f(a)f(a)(xa)，故正确；f(x)极大值f()0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对于任意x0,1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x0,1，f(x)xex0，
22、且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.当a1时，对于任意x0,1有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.当0a0.若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g()2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，由g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，得a.则当a时，g(0)g(1)0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.高考数学复习精品高考数学复习精品