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1、+二一九高考数学学习资料+9.1直线的方程1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是90的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式经过两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)如果x1x2，那么直线的斜率公式为k(x1x2).2.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的
2、直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1；(2)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1；(3)若x1x20，且y1y2时，直线即为y轴，方程为x0；(4)若x1x2，且y1y20时，直线即为x轴，方程为y0.4.线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐
3、标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示.()(7)不经过原点的直线都可以用1表示.()(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()2.如果AC0，
4、且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_.答案45或135解析由|k|tan |1，知：ktan 1或ktan 1.又倾斜角0，180)，45或135.4.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点.则直线l的倾斜角的取值范围为_.答案解析直线l的斜率k1m21.若l的倾斜角为，则tan 1.又0，)，.5.过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.答案xy10或4x3y0解析若直线过原点，则k，yx，即4x3y0.若直线不过原点.设1，即xya.a3(4)1，xy10.题型一直线的倾斜角与
5、斜率例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.思维启迪本题考查斜率求解公式以及k与的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论.答案1,10，)解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，为锐角.又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为0，).思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当时，斜
6、率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0).(1)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_.(2)直线xcos y20的倾斜角的范围是_.答案(1)(2)解析(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有，解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.(2)由xcos y20得直线斜率kcos .1cos 1，k.设直线的倾斜角为，则tan .结合正切函数在上的图象可知，0或.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线
7、过点(5,10)，且到原点的距离为5.思维启迪本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为，则sin (00，b0)，将点P(3,2)代入得12 ，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3) (k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(3)解由l的方程，得A，B(0,12k).依题意得解得k0.SOAOB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方
8、程为x2y40.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(5分)与点M(4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.思维启迪解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解.解析当截距不为0时，设所求直线方程为1，即xya0，点M(4,3)与所求直线的距离为5，5，a75.所求直线方程为xy750或xy750.当截距为0时，设所求直线方程为ykx，即kxy0.同理可得5，k.所求直线方程为yx，即4x3y0.综上所述，所求直线方程为xy750或xy750或4x3y0.答案xy750或xy750或4x3y0温馨提醒在选用直线方程时常易忽视的情况有(1)选用点斜式与斜
9、截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用截距式时，忽视截距为零的情况；(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2.求斜率可用ktan (90)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.失误与防范
10、1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程AxByC0求它的方向向量为(B，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1，k2，k3的大小关系为_.(用“”连接)答案k1k3k2解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k31或者0即可，解得1a或者a0.综上可知，实数a的取值范围是(，)(0，).8.若ab0，且A(a,
11、0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_.答案16解析根据A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0，b0)，将(1,4)代入得1，ab(ab)()5()9，当且仅当b2a，即a3，b6时，截距之和最小，直线方程为1，即2xy60.4.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_.答案3解析直线AB的方程为1，设P(x，y)，则x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即当P点坐标为时，xy取最大值3.5.设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线
12、段AB相交，则b的取值范围是_.答案2,2解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值.b的取值范围是2,2.6.与两坐标轴正方向围成面积为2平方单位的三角形，并且在两轴上截距之差为3的直线方程为_.答案x4y40或4xy40解析设直线方程为1(a0，b0)，由题意知解得或直线方程为y1或x1.7.直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点.(1)当PAPB最小时，求l的方程；(2)当OAOB最小时，求l的方程.解依题意，l的斜率存在，且斜率为负.设l：y4k(x1)(k0).令y0，可得A(1，0)；令x0，可得B(0,4k).(1)PAPB (1k2)4(k)8.(注意k0)当且仅当k且k0即k1时，PAPB取最小值.这时l的方程为xy50.(2)OAOB(1)(4k)5(k)9.当且仅当k且k0，即k2时，OAOB取最小值.这时l的方程为2xy60.高考数学复习精品高考数学复习精品