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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明： 在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数 会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题 会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题. 2. 命题方向预测： 从近二年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以 选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用. 2016 年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，题型仍为选择题或填空题的形 式备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，加强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌
2、握 各种图象变换的法则. 3. 课本结论总结： （1）. 画函数图象的一般方法 描点法：当函数表达式( 或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出， 其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、 单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要 包括关键点，如极值点、与x轴的交点等 图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出， 但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对 变换单位及解
3、析式的影响 （2）常见的图象变换 平移变换： 左右平移：函数()(0)yf xh h的图象可由函数( )yf x的图象向左（+）或向右（）平移h个单 位得到； 上下平移：( )yf xb（0b）的图象可由函数( )yf x的图象向上（ +）或向下（）平移b个单位 得到； 伸缩变换 函数()(0)yfx是将函数( )yf x图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 得到； 函数( )(0)yAfxA是将函数( )yf x图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍的得到； 对称变换 函数( )yf x图象关于x轴对称得到函数( )yf x图象； 函数( )yf x图象关于y轴对称得到函数()
4、yfx图象； 函数( )yf x图象关于原点对称得到函数()yfx图象； 函数( )yf x图象关于直线 xa对称得到函数为 (2)yfax图象 翻折变换 函数 (|)yfx 的图象这样得到：函数 ( )yf x 在 y 轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右 侧的图象翻折到 y轴左侧（函数(|)yfx 为偶函数，其图象关于 y轴对称） ; 函数 |( ) |yf x 的图象是这样得到的：函数 ( )yfx 在x轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于 x轴 对称到上方（注意到函数 |( )|yf x 的函数值都大于零） 4. 名师二级结论： （1）函数图象的几个应用 判断函数的奇偶性、
5、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于y 轴对称是偶函数. 图象从左 到右上升段对应的x的取值范围是增区间，下降对应的x的取值范围是减区间 . 方程( )( )f xg x的根就是函数( )yf x与函数( )yg x图象交点的横坐标. 不等式( )( )f xg x的解集是函数( )yf x的图象在函数( )yg x图象上方的一段对应的 x的取值范围 （交点坐标要通过解方程求得） （2）函数( )yf x的图象的对称性 若函数)(xfy关于xa对称对定义域内任意x都有()f ax=()f ax对定义域内任意 x都 有( )f x=(2)fax()yf xa是偶函数； 来源 : 学科
6、网 函数)(xfy关于点（a， 0）对称对定义域内任意x都有()f ax=()f ax(2)fax= ( )f x()yf xa是奇函数； 若函数)(xfy对定义域内任意 x都有 )()(xbfaxf, 则函数)(xf的对称轴是 2 ba x； 若函数)(xfy对定义域内任意 x都有()()f xaf bx , 则函数)(xf的对称轴中心为(,0) 2 ab ； 函数(|)yfxa关于xa对称 . (3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径 图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换 函数解析式的等价变换 研究函数的性质 5. 课本经典习题： (1) 新课标 A版第 23 页，练习第2
7、 题 下图中哪几个图象与下述三个事件分别吻合的最好？请你为剩下的那个图象写出一个事件. (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到作业本在上学； (2)我骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间； (3)我出发后，心情轻松，缓缓前进，后来为了赶时间开始加速. 【经典理由】本题主要考查了图象识别，与高考题中的图象识别题很类似 (2) 新课标 A版第 25 页，习题1.2 B组第 1 题 函数( )rfp的图象如图所示（图中曲线l与直线m无限接近，但永不相交）. 函数()rfp的定义域是什么？ 函数()rfp的值域是什么？ r取何值时，只有唯一的p与之对应
8、？ 【经典理由】本题主要考查了图象应用，与高考题中的图象识应用很类似 6. 考点交汇展示： (1) 与参数范围问题交汇 例 1【 2015 高考安徽，理9】函数 2 axb fx xc 的图象如图所示，则下列结论成立的是（） （A）0a，0b，0c（B）0a，0b，0c （C）0a，0b，0c（D）0a，0b，0c (2) 与函数性质交汇 例 2【 2014 届山东菏泽3 月模拟考】下列四个图中，函数 10ln1 1 x y x 的图象可能是（） 来源:Zxxk.Com A B C D (3) 与函数零点问题交汇 例 3【 2015 高考湖南，文14】若函数 ( )|22| x f xb有两个
9、零点，则实数b的取值范围是 _. （4）与不等式交汇 例 4 【2014 年高考原创预测卷三】不等式 2 (1)logaxx在(1,2)x内恒成立，实数a的取值范围为 （） A.(1,2 B. 2 ,1 2 （） C(1，2) D(2，2) 【考点分类】 热点 1 函数图象的识别 1.【 2014 高考福建卷第4 题】若函数log(0,1) a yx aa且的图象如右图所示，则下列函数图象正确的 是（） O -1 x y O -1 x y -1 x y -1 x y O O DC B A y=loga(-x) y=(-x) a y=x a y=a -x -1 -3 11 3 O OO O 1
10、y x 1 x y 1 x y x y 2. 【 2014 浙江高考文第8 题】在同意直角坐标系中，函数xxgxxxf a a log)(),0()(的图象可能是 （） 3. 【 2015 高考新课标2，理 10】如图，长方形ABCD的边2AB，1BC，O是AB的中点，点P沿着 边BC，CD与DA运动，记BOPx 将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数( )f x， 则( )yf x 的图象大致为（） D P C B O A x (D) (C)(B) (A) x y 42 3 4 22 3 424 y xx y 42 3 4 22 3 424 y x 4. 函数 3 31 x x y 的图象
11、大致是（） 【方法规律】 1. 识图常用的方法 (1) 定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升( 或下降 ) 的趋势，利用这一特征分析解 决问题 (2) 定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题 (3) 函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题. （4）利用函数本身的性能或特殊点（与x、y轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证. 2. 函数图象的识辨可从以下方面入手： (1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
12、 (4) 从函数的周期性，判断图象的循环往复 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项 【解题技巧】 函数图象的分析判断主要依据两点： 一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等； 二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项 【易错点睛】 1. 函数图象左右平移平移的长度单位是加在x上，而不是加在x上，处理左右平移问题要注意平移方向与 平移的长度单位. 2. 在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错. 例 已知定义域为0,1上的函数( )f x图象如下图左图所示，则函数(1)fx的图象可能是（） 【错解】 先将( )fx的图象沿y 轴对折得到()f
13、x的图象， 再将所得图象向左平移1 个长度单位就得到函数 (1)fx 的图象，故选A. 【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在x上，而不是加在x上，本例因 (1)fx= (1)fx，故先做对称变换后，应向右平移1 长度单位 . 【预防措施】先将所给函数化为()fxa形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移 单位 . 【正解】 因(1)fx= (1)fx, 先将( )f x的图象沿 y 轴对折得到()fx的图象，再将所得图象向右平 移 1 个长度单位就得到函数(1)fx的图象，故选B. 热点 2 函数图象的应用 1. 【2015 高考安徽，文14】在平面直角坐标系xO
14、y中，若直线ay2与函数1|axy的图像只有一 个交点，则a的值为 . 2. 对任意实数 a，b定义运算“” ： ,1, ,1, b ab ab a ab 设 2 ( )(1)(4)f xxxk，若函数( )fx 的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是 ( ) （A）( 2,1)（B）0,1 （C） 2,0)（D） 2,1) 3. 【2014 高考湖北卷文第15 题】如图所示， 函数)(xfy的图象由两条射线和三条线段组成. 若Rx， )1()(xfxf，则正实数a的取值范围是 . 4. 【2014 高考江苏卷第13 题】已知( )fx是定义在R上且周期为3 的函数，当0,3x时， 21
15、( )2 2 f xxx，若函数( )yf xa在区间3,4上有 10 个零点（互不相同） ，则实数a的取值范 围是 . 【方法规律】 1研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想 2有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解 3方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解 【解题技巧】 1. 为了更好的利用函数图象解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两 点： (1) 熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、 反比例函数、 指数函数、对数函数、幂函数、形如 1 yx x 的函数； (2) 掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周
16、期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过 程. 2利用函数的图象研究函数的性质 从图象的最 高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向 趋势，分析函数的单调性、周期性等 3利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解 对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即 为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围 或参数的值 【易错点睛】 一个函数的图象关于原点(y轴 ) 对称与两个函数的图象关于原点(y轴) 对称不同，前者是自身对称，且为奇 ( 偶) 函数，后
17、者是两个不同的函数对称 例 已知函数( )yf x的定义域为R ，则函数(2)yfx与函数(2)yf x的图象关于（） A直线y=0 对称 B.直线x=0 对称 C.直线2y对称 D.直线x=2 对称 【错解】函数定义在实数集上，且(2)(2)fxf x， 函数( )yfx的图象关于直线x=0 对称，故选B. 【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题. 【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函 数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法. 【正解】函数(2)yf x的图象是将函数( )yf x的图象向右平移2 个单位得到， 而函数
18、(2)yfx= (2)fx的图象是先将( )yf x的图象关于 x=0 对称变换得到()yfx 的图 象，再将()yfx的图象向右平移2 个单位得到，因此函数(2)yf x与函数(2)yfx关于x=2 对称，故选D. 【热点预测】 1. 若实数x，y满足 |x1| ln 1 y 0，则y关于x的函数图象的大致形状是( ) 2. 已知函数 1 ln1 fxyfx xx ，则的图象大致为（） 3. 偶函数)(xf满足)1()1(xfxf, 且在 1 ,0x时， 2 )(xxf，则关于x的方程 x xf 10 1 )(在 3, 2上的根的个数是 来源:Z|xx|k.Com A3 B4 C5 D6 4
19、. 已知函数sin ,yxxcosyxx，cosyxx，2 x yx的部分图象如下，但顺序被打乱， 则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是 A.B. C.D. 5. 若函 数yf(x)(xR)满足f(x1) f(x) ， 且x 1,1 时f(x) 1x 2. 函数 g(x) (0) 1 (0) lgx x x x ， 则 函数h(x)f(x) g(x) 在区间 5,4 内的零点的个数( ) A7 B8 C9 D10 6. 函数 121 ( )4cos2( 35) 32 x yxx，则此函数的所有零点之和等于（） A.4 B.8 C.6 D.10 7. 已知函数( )yf x是周期
20、为2 的周期函数，且当 1,1x时， | | ( )21 x f x，则函数 ( )( )|lg|F xf xx的零点个数是（） A9 B10 C11 D18 8. 已知函数 0, ( ) (1)0, xxx f x f xx 其中 x表示不超过x的最大整数，（如 1.12,3,）. 若直线(1)(0)yk xk与函数( )yf x的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（） A 1 1 ,) 5 4 B 1 1 , ) 4 3 C 1 1 ,) 3 2 D(0,1 9. 若函数( )f x满足 1 ( )1 (1) f x f x ，当 x 0 ，1 时，( )f xx，若在区间 (-1 ，1 上，方程 ( )20f xmxm有两个实数解，则实数m的取值范围是（） A0m 1 3 B0m 1 3 C 1 3 ml D 1 3 m1 来源:Zxxk.Com 10. 已知定义在R上的函数( )yf x对任意的x满足(1)( )f xfx，当 -l xl 时， 3 ( )f xx函 数 log,0, ( ) 1 ,0 ax x g x x x 若函数( )( )( )h xf xg x在6,上有 6 个零点，则实数a的取值范围是 （） A 1 (0,)(7,) 7 B 1 1 ,7,9 9 7 C 1 ,1,1,9 9 D 1 1 ,7,9 9 7