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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明： （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 （3）了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题 （4）掌握平面向量的正交分解及坐标表示 来源: 学 # 科#网Z#X#X#K （5）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 （6）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2. 命题方向预测： （1）平面向量的线性运算是考查重点共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点题型以选择题、填 空题为主，常与解析几何相联系. （2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点
2、向量的坐标运算可能单独命题， 更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见常以选择题、填空题的形式出现， 难度为中、低档. 3. 课本结论总结： （1）向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小. 零向量： 模为 0 的向量， 记作0， 其方向为任意的， 所以0与任意向量平行， 其性质有：0a=0，0+a=a. 单位向量：模为1 个长度单位的向量，与a方向相同的单位向量为 a |a | . 相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b. 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为 -a，有 -(- a)= a. (2) 向量的线性运算 向量
3、运算定义法则 (或几何意义 ) 运算律 加法求两个向量和的运算 来源 :学| 科 |网 (1) 交换律：ab ba. (2)结合律： (a b) ca(b c) 减法 求a与b的相反向量b的 和的运算叫做a与b的差 三角形法则 aba(b) 数乘 求实数 与向量a的积的 运算 (1)| a| | |a| ；(2) 当 0时，a的方向与a的方 向相同； 当 0时，a的方 向与a的方向相反；当 0 时， a0 ( a) ( )a；( )aa a；(ab) ab (3) 平面向量基本定理 若a、b是平面内不共线的向量，向量c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对,x y，使xyc =a +b. (4
4、) 共线向量 共线向量概念：若两个非零向量a、b的方向相同或相反，则称a与b共线，也叫a与b平行，规定零向 量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 共线向量定理：ab（b0）存在唯一实数，使得a=b. 若a=（ 1 x， 1 y） ，b=（ 2 x， 2 y） ，则ab 1 x 2 y- 2 x 1 y=0. (5) 平面向量的基本运算 若a=（ 1 x， 1 y） ，b=（ 2 x， 2 y） ，则ab=（ 1 x 2 x， 1 y 2 y） ， a=（ 1 x， 1 y） ， 若 A（ 1 x， 1 y） ，B（ 2 x， 2 y） ，则AB=（ 2 x- 1 x，
5、 2 y- 1 y）. 4. 名师二级结论： （1）若 A 、B、C三点共线且OAOBOC，则=1. （2）若向量,a b不共线，xayb，则0xy （3）C是线段 AB中点的充要条件是 1 () 2 OCOAOB. (4) 若 1122 (,),(,)A x yB xy，则线段AB的中点坐标为（ 1212 , 22 xxyy ）. (4)G 是 ABC的重心的充要条件为0GAGBGC. (5) 若 ABC的三个顶点坐标分别为 112233 (,),(,),(,)A x yB xyC x y，则 ABC重心坐标为 123123 (,) 33 xxxyyy (6) 已知 1122 (,),(,)
6、A x yB xy，且ACCB，则点 C的坐标为 1212 (,) 11 xxyy . 5. 课本经典习题： (1) 新课标 A版第 92 页，习题A组第 12 题 在 ABC中， 1 4 ADAB，DE BC，且与边 AC相交于点 E，ABC的中线 AM与 DE相交于点N，设ABa， AC=b，用a，b分别表示向量,AE BC DE DB EC DN AN. 【经典理由】本题考查了平面向量的加法、减法、实数与向量积等线性运算，具有代表性. (2) 新课标 A版第 101 页，练习第7 题 已知 A（2,3 ）， B（4，-3），点 P在线段 AB的延长线上，且 3 | 2 APPB , 求点
7、 P的坐标 . 【经典理由】本题考查了平面向量实数与向量积的坐标运算及数形结合思想，是经典题型. 6. 考点交汇展示： 来源: 学科网 (1) 三角函数交汇 【2015 届北京重点中学8 月测试 10】设0 2 ，sin2 ,cosa ， cos ,1b ，若ab，则 tan . (2) 与平面几何交汇 【2015 高考北京，理13】在ABC中，点M， N 满足2AMMC ， BNNC 若 MNxAByAC ， 则 x ；y 【考点分类】 热点 1 平面向量的线性运算 1.【2015 高考新课标1，文 2】已知点(0,1),(3,2)AB，向量( 4, 3)AC，则向量BC ( ) （A）(
8、7, 4)（B）(7, 4)（C）( 1,4)（ D）(1,4) 2. 【2015 江苏高考， 6】 已知向量a=)1 ,2(， b=)2, 1(, 若 ma+nb=)8, 9(Rnm,), 则nm的值为 _. 3.【 2014 福建 , 文 10】设 M 为平行四边形ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一 点，则 OAOBOCOD等于 （） 2.3.4AOMB OMC OMDOM 4. 【 2014 上海 , 文 14】已知曲线C： 2 4xy，直线 l：x=6.若对于点A（m，0）,存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得0APAQ，则 m 的取值范围为
9、 . 【方法规律】 1.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况： 来源: 学|科| 网 （1）零向量的方向及与其他向量的关系. （2）单位向量的长度与方向. 2.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上. 3.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小 4.在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾 相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结 合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解. 5.当M是线段 AB的中点时，则OM= 1 () 2 OAOB
10、是中点公式的向量形式，应当做公式记忆. 6.当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题. 来源:学科网 【解题技巧】 1. 进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三 角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来 2. 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在向量线性运算中同样适用运用上述法则可简化运算 3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决
11、在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟 练运用平面几何的一些性质定理. 4. 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点一般地，已知有向线段两端点 的坐标，应先求出向量的坐标解题时注意利用向量相等( 横、纵坐标分别相等) 建立方程 ( 组)的思想 【易错点睛】 1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是 考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性 2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. 3. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息
12、；两个向量共线有方向相 同、相反两种情况 例 1 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为( 1,0) ，(3,0) ， (1， 5) ，求第四个顶点的坐标 【错解】设A( 1,0) ，B(3,0)，C(1 ， 5)，D(x，y) 2 分 因为四边形ABCD为平行四边形，则ADBC ，而AD(x1，y) ，BC ( 2， 5) 由ADBC ，得 x 1 2， y 5. x 3， y 5. D(3， 5)，故第四个顶点坐标为（-3，-5 ） 【错因分析】此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解实际上， 题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形
13、【预防措施】认真阅读试题，分析满足条件的各种情况，若满足条件的情况有多种，需要分类讨论，分类 讨论时，要做到不重不漏. 【正解】如图所示，设A(1,0) ，B(3,0) ，C(1， 5) ，D(x，y) 2 分 若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD1 BC ，而 AD1 (x1，y) ，BC (2， 5) 由AD1 BC ，得 x1 2， y 5. x 3， y 5. D1( 3， 5) 若四边形ACD 2B为平行四边形，则AB CD 2. 而AB (4,0) ，CD2 (x1，y5) x14， y50. x5， y 5. D2(5 ， 5) 若四边形ACBD3为平行四边形，则AD3 CB
14、 . 而AD3 (x1，y) ，CB (2,5) ， x12， y5， x 1， y 5. D3(1,5) 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为( 3， 5) 或(5 ， 5)或(1,5) 热点 2 共线向量问题 1. 【 2014 辽宁 , 文 5】设, ,a b c是非零向量，已知命题P：若0a b，0b c，则0a c；命题q：若 / / , / /ab bc，则/ /ac，则下列命题中真命题是（ ） ApqBpqC()()pqD()pq 2. 已知向量(1,),(,2),am bm, 若 ab 则实数m等于（） (A) 2(B) 2 (C) 2 或2(D) 0 【方法规律】 1.向量
15、共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向 量，要注意待定系数法和方程思想的应用. 2.对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量 共线且有公共点时，才能得出三点共线. 3.若 A、B、 C三点共线且OAOBOC，则=1. 【解题技巧】 1. 一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a( R)，然后结合其他条件列出关 于 的方程，求出 的值后代入a即可得到所求的向量 2. 如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则ab的充要条件 是x1y2x
16、2y1”解题比较方便 【易错点睛】 若a( 11 ,x y) ，b( 2 x， 2 y) ，则ab的充要条件不能表示成 11 22 xy xy ，因为 2 x， 2 y有可能等于0， 所以应表示为 1221 0x yx y. 例 已知 (2, )ak , (1, (1)bkk k ，且 ab，求实数 x的值 . 【错解】因为 (2, )ak , (1, (1)bkk k ，且a b，所以 2 1(1) k kk k ，解得k=-3. 【错因分析】已知a( 11 ,x y) ，b( 2 x， 2 y) ，错误将 11 22 xy xy 当做ab的充要条件，因为 2 x， 2 y有 可能等于0.
17、【预防措施】正确记忆和运用ab的充要条件，已知a( 11 ,x y) ，b( 2 x， 2 y) ，则ab的充要条件 是 1221 0x yx y 0. 【正解】因为(2, )ak,(1, (1)bkk k，且ab，2 (1)(1)0k Kk k，解得k=-3 或k=0. 【热点预测】 1.【2015 届广东揭阳一中、潮州金山中学联考】已知平面向量(1,2)a，(2,)yb，且 /ab，则2ab= （） A(5, 6) B(3,6) C(5,4) D(5,10) 2.【2014 北京 , 文 3】已知向量 2,4a ， 1,1b ，则2a b （） A.5,7B.5,9C.3,7D.3,9 3
18、. 【2014 届陕西榆林市二模】已知向量i与j不共线， 且,ABimj ADnij，若,A B D三点共线， 则实数,m n满足的条件是（） .1mn.1mn.1mn.1mn 4. 已知m、Rn，a、b、c是共起点的向量，a、b不共线，bnamc，则a、b、c的终点共线 的充分必要条件是（） A1nm B0nm C1nm D1nm 5. 【2014 届北京海淀区二模】已知向量AC，AD和AB在正方形网格中的位置如图所示，若 ACABAD，则 （） A.2 B.2 C.3 D.3 C D B A 6.【2014 全国 1, 文 6】设FED,分别为ABC的三边ABCABC,的中点，则 FCEB
19、 （） A.AD B. AD 2 1 C. BC 2 1 D. BC 7. 【2015 届广东深圳五校联考】已知a , 2a，b1,1a，则“a 2”是“ab”的（ ） A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 8. 设,A B C D是平面直角坐标系中不同的四点，若(),ACABR (),ADABR 且 11 2，则称,C D是关于,A B的“好点对” 已知,M N是关于,A B的“好点对”, 则下面说法正确 的是（） AM可能是线段AB的中点 B,M N可能同时在线段BA延长线上 C,M N可能同时在线段AB上 D,M N不可能同时在线段AB的延长线上 9
20、. 【 2015 届江苏扬州中学8 月考 12】已知ABC是边长为4 的正三角形，D、P是ABC内部两点，且满 足 11 (), 48 ADABACAPADBC，则 APD的面积为 10. 已知向量)3 ,2(a，)2, 1 (b，且ba,满足() / /()abab，则实数_ 11. 在ABC中，点 D在线段 BC的延长线上，且CDBC2，点 O在线段 CD上（与点C,D 不重合）若 ACxABxAO)1 (则 x 的取值范围是 _. 12. 【2014 届河北衡水中学一模】在ABC中， P是 BC 边中点，角A，B， C 的对边分别是a，b，c， 若0cACaPAbPB，则 ABC的形状为
21、 13. 【2014 届福建高考压轴】设 a是已知的平面向量，向量a，b,c在同一平面内且两两不共线，有如下四 个命题 : 给定向量 b, 总存在向量c, 使abc; 给定向量 b和c, 总存在实数和, 使abc; 给定单位向量 b和正数, 总存在单位向量c和实数, 使abc; 若 a=2，存在单位向量b、c和正实数，, 使abc，则633 其中真命题是_. 14. 【2014 高考陕西文第18题】 在直角坐标系xOy中， 已知点(1,1), (2,3),(3,2)ABC， 点(, )Pxy在ABC 三边围成的区域（含边界）上，且(,)OPmABnAC m nR . （1）若 2 3 mn，求|OP； （2）用, x y表示mn，并求mn的最大值 .