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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明： （1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) （2）熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式 （3）熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的 灵活性 2. 命题方向预测： （1）数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和，特别是错位相减出现的机率较高题型上以 解答题为主 . （2）数列的通项公式的考查在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an，以选择、填空题为主，较为 简单，若涉及递推公式常为解答题，属中等难度题目. 3. 课本结论总结： 由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点
2、，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等 来源 :学+科+ 网 Z+X+X+K （1）构造等比数列，已知首项a1，如果递推关系为an1qanb(nN * ) 时，求数列 an 的通项公式的关键 是将an1qanb转化为an1aq(ana) 的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即qanban1qan (q1)a?a b q1( q1) ( 此种方法称为待定系数法) （2）已知a1且anan1f(n)(n2)，可以用“累加法”，得(anan1) (an1an2) , (a3a2) (a2 a1) f(n) f(n1) , f(3) f(2 ) ，即ana1f(2) f(3) , f(n
3、1) f(n) （ 3）已知a1且 an an1 f(n)(n2) ，可以用“累乘法”，得 an an1 an1 an 2, a3 a2 a2 a1 f(n) f(n 1), f(3) f(2) ，即ana1f(2) f(3) , f(n1)f(n) 4. 名师二级结论： 一种思路 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具 备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和 两个提醒 在利用裂项相消法求和时应注意： (1) 在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2) 在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后
4、面也剩下两项 三个公式： (1) 111 11n nnn ；(2) 1111 21212 2121nnnn ；(3) 1 1 1 nn nn . 5. 课本经典习题： (1) 新课标人教A版第 33 页，第 4（1）题 写出下列数列 n a的前 5 项：（ 1） 11 1 ,41(1). 2 nn aaan 来源 : 学+ 科+网 Z+X+X+K 变式题 1已知数列 n a满足 * 11 1,21(). nn aaanN求数列 n a的通项公式 (2) 新课标人教A版第 33-34 页，第 5 题 根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式. 变式题
5、1如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而 来，, ，如此类推. 设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 n a，则 6 a； 34599 1111 aaaa . 变式题 2观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（），其 通项公式为 . （1）（4） （7） （）（） A40 个 B45 个 C 50 个 D55 个来源 : 学,科, 网Z,X,X,K 6. 考点交汇展示： (1) 与函数知识交汇 【2015 高考陕西，理21】（本小题满分12 分）设 n fx是等 比数列1，x， 2 x， n x的各项和，其
6、中 0x，n，2n （I ）证明：函数 F2 nn xfx在 1 ,1 2 内有且仅有一个零点（记为 n x），且 1 11 22 n nn xx； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、 项数分别相同的等差数列，其各项和为 n gx，比较 n fx 与 n gx的大小，并加以证明 (2)与不等式交汇 【2015 高考重庆，理22】在数列 n a中， 2 111 3,0 nnnn aaaaanN （ 1）若0,2,求数列 n a的通项公式； （2）若 00 0 1 ,2 ,1,kNk k 证明： 0 1 00 11 22 3121 k a kk (3) 相似三角形的性质与数列的通项公式
7、交汇 【湖北省武汉市2015 届高三 9 月调研测试】 如图，互不相同的点 1 A， 2 A， , ， n A， , 和 1 B， 2 B， , ， n B， , 分别在角O的两条边上，所有 nn A B相互平行，且所有梯形 1!nnnn A B BA 的面积均相等设 nn OAa，若 1 1a， 2 2a，则 9 a（） A 19 B 22 C5 D2 7 【考点分类】 热点 1 求数列的通项公式 1. 若数列 an 的前n项和为 21 33 nn Sa，则数列 an的通项公式是an=_. 2. 【 2015 高考山东，理18】设数列 n a的前 n 项和为 n S. 已知233 n n S
8、. （I ）求 n a的通项公式； （II ）若数列 n b满足 3 log nnn a ba，求 n b的前 n 项和 n T . 3. 设 n a是公比为q 的等比数列 . （1）推导 n a的前 n 项和公式 ; （2）设1q, 证明数列 1 n a不是等比数列 . 4. 【 2014 高考重庆理22】设 2 11 1,22(*) nnn aaaab nN （）若1b，求 23 ,aa及数列 n a的通项公式； （）若1b，问：是否存在实数c使得 221nn aca对所有*nN成立？证明你的结论. 【方法规律】求数列的通项公式，常见的有六种类型： （1）已知数列的前几项，求其通项公式.
9、常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等. 根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力. （2）已知数列前n项和 n S，或前 n 项和 n S与 n a的关系求通项 . 利用 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn 虽然已知 n a求 n S时，方法千差万别，但已知 n S求 n a时，方法却相对固定. （3）已知递 推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等. （4）对于 1 1nn aa aqab (1,0)qb型，求 n a，其关键是确定待定系数，使 1 () nn aq a 1 b q
10、（5）对于 1 1 ( ) nn aa aaf n 型，求 n a，可用 111221 ()()() nnnnn aaaaaaaa的方法 . （6）对于 1 1 ( ) nn aa af n a 型，求 n a，可用 32 1 121 n n n aaa aa aaa 的方法 . 【易错点睛】已知 n S求 n a时，忽略1n的情况 例数列 n a前n项和为 n S，且 11 1 1, 3 nn aaS，求数列 n a的通项公式 热点 2 数列求和 1. 【2015 江苏高考， 11】数列 n a满足1 1 a，且1 1 naa nn （ * Nn），则数列 1 n a 的前 10 项 和为
11、2. 【2015 高考天津，理18】（本小题满分13 分）已知数列 n a满足 212 ()*,1,2 nn aqa qqnNaa为实数，且1 ，且 233445 ,aa aa aa+成等差数列 . (I) 求q的值和 n a的通项公式； (II)设 * 22 21 log , n n n a bnN a ，求数列 n b的前n项和 . 3. 【 2014 高考江西理17】 已知首项都是1 的两个数列（），满足 . （1）令，求数列的通项公式； （2）若 1 3 n n b，求数列的前 n 项和 4. 【 2014 高考山东理19】 已知等差数列 n a的公差为2，前n项和为 n S，且 12
12、4 ,S S S成等比数列 . （）求数列 n a的通项公式； （）令 1 1 4 ( 1) n n nn n b a a ，求数列 n b的前n项和 n T. 【方法规律】 数列求和的常用方法 1公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 (1) 等差数列的前n项和公式： 1 1 1 Sn=n 22 n n aan n ad （）（） ； (2) 等比数列的前n项和公式： 1 11 ,1 S = (1) ,1. 11 n n n na q aa qaq q qq 2倒序相加法 如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的 前n项和即可
13、用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的 3错位相减法 来源: 学科网 ZXXK 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即 可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的 4裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 5分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分 别求和而后相加减 6并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1) nf (n) 类型，可采用两项合并 求解 【易错点睛
14、】 1. 题意理解不透，忽视隐含条件 例 1一个数列 an，当n为奇数时，an5n 1，当n为偶数时，2 2 n n a ，则这个数列的前2m项和为 _ 2. 错位相减求和时项数处理不当致误 例 2已知数列 an是首项为a1 1 4 ，公比q 1 4 的等比数列，设bn23 1n 4 log a (nN *) ，数列 cn满足 cnanbn. (1) 求数列 bn 的通项公式； (2) 求数列 cn 的前n项和Sn. 【热点预测】 1. 已知函数 2 cosf nnn，且1 , n af nf n则 123100 aaaa（） A.100B.0 C.100 D.10200 2.【福建省安溪八中
15、2014 届高三 12 月月考数学】 数列 n a满足： 11 1 12 nn n anaa n ，且当时， ， 5 a则 ( ) A 1 5 B 1 6 C5 D6 3. 已知函数 2 cosfnnn，且1 , n af nf n则 123100 aaaa（） A.100B.0 C.100 D.10200 4.数列 na 满足 1 4 3 a， 2* 1 1(N ) nnn aaan，则 122013 111 m aaa 的整数部分是（） A BCD 5. 已知数列 n a满足 1 0a， 1 211 nnn aaa，则 13 a（） A.143 B.156 C.168 D.195 6. 已
16、知等差数列 n a的通项公式为 644 , 5 n n a设 112 |() nnnn AaaanN，则当 n A取最小 值时，n的取值为（） A.16 B.14 C.12 D.10 7.在数列 n a中，1 1 a，2 2 a，若22 12nnn aaa，则 n a等于（） （A） 5 6 5 2 5 1 3 nn（B）495 23 nnn（C）22 2 nn（ D）452 2 nn 8.【2015 高考新课标2， 理 16】 设 n S是数列 n a的 前n项和，且 1 1a， 11nnn aS S，则 n S_ 9. 【山东省淄博市2014 届高三 3 月模拟考试】已知在平面直角坐标系中
17、有一个点列： 1222 0,1 ,(,)PP xy， , ， * (,) nnn PxynN若点(,) nnn P xy到点 111 , nnn Pxy 的变化关系为： 1 1 nnn nnn xyx yyx * nN，则| 20142013P P等于 10. 下面图形由小正方形组成，请观察图1 至图 4 的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数 是_. 11. 【湖北 省武汉市2015 届高三 9 月调研测试】（本小题满分12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a，0 n a， 1 1 nnn a aS，其中为常数 （1） 证明： 2nn aa； （2）当为何值时
18、，数列 n a为等差数列？并说明理由 12. 已知向量 1* 1 (,2 ),(2,), nn nn paqanN 向量 p 与q垂直，且 1 1.a （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 nb 满足 2 log1 nn ba，求数列 nnab 的前n项和 n S. 13. 【2015 高考新课标1，理 17】 n S为数列 n a 的前n项和 . 已知 n a0， 2 nn aa=43 n S. （）求 n a 的通项公式； （）设 1 1 n nn b a a , 求数列 n b的前n项和 . 14. 【2015 高考广东，理21】数列 n a满足 * 12 1 2 24 2 n n n aananN， (1) 求 3 a 的值； 来源: 学+ 科+网 (2) 求数列 n a前n项和 n T； (3) 令 11 ba， 1 111 12 23 n nn T ban nn ，证明：数列 n b的前n项和 n S满足 nSnln22