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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 48 正态分布 【考纲要求】 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【命题规律】 在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5 分，在解答题中结合其他知识考查属中等题. 【典型高考试题变式】 正态分布 例 1.【2017 课标 1】为了 监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 来源 学科网 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件 的尺寸服从正态分布 2 ( ,)N （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在 (3 ,
2、3 )之外的零件数， 求 (1)P X 及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3 ,3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 来源 学科网 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx ， 1616 222 11 11 ()(16)0.
3、212 1616 ii ii sxxxx，其中 i x为抽取的第i 个零件的尺寸， 1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值 ?，用样本标准差s作为 的估 计值?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ? ?(3 ,3 )之外的数据， 用剩下的 数据估计和（精 确到 0.01 ） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N，则 (33 )0.997 4PZ ， 16 0.997 40.959 2，0.0080.09 【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命 (单位：年 )服从正态分布，且使用寿命不少于2 年的概率为0.8， 使用寿命不少于6 年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了
4、两个该种品牌的摄像头，则在4 年内这两个摄 像头都能正常工作的概率为_ 学￥科网 【变式2】 【广西南宁2017 届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机 记录了该店1 月份中 5 天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：C）的数据，如 下表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （1）求出y与x的回归方程 ? ?ybxa； （2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地1 月份某天的最低气温为6 C，请用所求回归方程预测 该店当日的销售量； （3）设该地 1 月份的日最低气温X 2 ,N，其中近似为样本平均数x， 2 近似为样本方
5、差 2 s， 求(3.813.4)PX. 附：回归方程 ? ?ybxa中， 1 2 2 1 ? n ii i n i i x ynxy b xn x ， ? ?aybx. 103.2，3.21.8， 若X 2 ,N，则()0 . 6 8PX， (22 )0.9544PX . 【数学思想】 数形结合思想 转化与化归思想.来源 学 #科#网 Z#X#X#K 【温馨提示】 曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x 对称的区间上概率相同 P(Xa)1P(Xa)，P(X a)P(X a) 【典例试题演练】 1.【2017 云南大理统测】2016 年 1 月某校高三年级1600 名学生
6、参加了教育局组织的期末统考，已知数 学考试成绩 2 100,XN （试卷满分为150 分） 统计结果显示数学考试成绩在80 分到 120 分之间的 人数约为总人数的 3 4 ，则此次统考中成绩不低于120 分的学生人数约为（） A80 B100 C120 D200 2.【2017 年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布 2 (102,4 )N，则 114 分以上的成绩 所占的百分比为（附：0.6826,220.9544PXPX,(3P 3 )0.9974X) A.0.3%B.0.23%C.1.3%D.0.13% 3. 【2017 山西晋城市模拟考试】已知 4 6 2 1 x x
7、 展开式中的常数项为a,且1,1XN,则3PXa （）学科！网 (附：若随机变量 2 ,XN, 则 00 0068.26,2295.44PXPX , 0 0 3399.74PX) A0.043B0.0215C0.3413D0.4772 4.设随机变量服从正态分布N（ 3，7） ，若p（ a+2 ）=p（ a2） ，则a= （） A1 B 2 C3 D4 5.已知随机变量X 服从正态分布N（3， 1） ，且 P（ l X 5）=0 682 6 ，则(5)P X（） A0158 8 B0158 7 C0158 6 D0158 5 6.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布 2
8、100,5N，且(110)0.96P，则 (90100)P的值为（） A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0. 46 7.【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布), 1( 2 N，若2.0) 1(P，则函 数 322 1 ( ) 3 f xxxx没有极值点的概率是（） A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8 8.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x) 1 8 e 8 )10( 2 x (xR)，则这个正态总体 的平均数与标准差分别是( )学科 *网 A.10 与 8 B.10 与 2 C.8 与 10 D.2 与 10 9.已
9、知三个正态分布密度函数i(x) 1 2 i e （xi） 2 2 2 i (xR，i1，2， 3)的图象如图所示，则( ) A.123，123 B.123，123 C.123，1 23 D.123，123 10.(2017 石家庄模拟)设XN(1， 2)，其正态分布密度曲线如图所示，且 P(X 3) 0.022 8 ，那么向正方 形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( ) 附：(随机变量 服从正态分布N(1， 2)，则 P( ) 0.682 6 ，P( 2 2 )0.954 4) A12 076 B13 174 C14 056 D7 539 11. 【201
10、7 年原创押题预测卷02 （山东卷）】已知(,4)XN m，且(2)()P XmP Xm，则若 (2)0.72P X，则(12)PX. 12.【2017 四川资阳模拟】 已知随机变量X服从正态分布N(2， 2) ，且P(0 X 2) 0.3 ， 则P(X4)_ 13. 【2017 湖北省 黄石市调研】已知随机变量服从正态分布 2 0,N，且220.4P，则 2P_ 学￥科网 14. 【2017广东省汕头市模拟】为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机 抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 /mm58 59 61 62 63 64 65 66 6
11、7 68 69 70 71 73 合计 件数1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 来源 学科网 ZXXK 100 经计算，样本的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值. （ 1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等 式进行评判（P表示相应事件的概率） ； 6826.0)(XP ； 9544.0)22(XP；9974.0)33(XP. 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足 其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级 . （ 2）将直
12、径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品. （）从设备M的生产流水线上随意抽取2 件零件，计算其中次品个数Y的数学期望)(YE； （）从样本中随意抽取2 件零件，计算其中次品个数Z的数学期望)(ZE. 15.(2014 新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测 量结果得如下频率分布直方图： （1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代 表)； （2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N( ， 2)，其中 近似为样本平均数 x， 2 近似为样本方差s2. 利用该正态分布，求P(187.8Z212.2) ； 某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X表示这100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2) 的产品件数利用的结果，求EX. 附：150 12.2. 若ZN( ， 2)，则 P( Z )0.682 6 ，P( 2 Z 2 )0.954 4.