解析几何-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编.pdf

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1、解析几何 1、 （ 2009 一试 2）已知直线:90Lxy和圆 22 :228810Mxyxy，点A在直线L上，B，C为圆 M上两点，在 ABC中，45BAC，AB过圆心 M，则点A横坐标范围为 【答案】36， 【解析】设9A aa，则圆心M到直线AC的距离sin45dAM，由直线AC与圆M相交，得 34 2 d 解得36a 2、 （ 2009 一试5）椭圆 22 22 1 xy ab 0ab上任意两点P， Q ，若 OPOQ ，则乘积OPOQ的最小值 为 【答案】 22 22 2a b ab 【解析】设cossinP OPOP， ， cossin 22 QOQOQ， 由P， Q 在椭圆上，

2、有 22 222 1cossin ab OP 22 222 1sincos ab OQ + 得 2222 1111 ab OPOQ 于是当 22 22 2a b OPOQ ab 时，OP OQ达到最小值 22 22 2a b ab 3、 （ 2010 一试 3）双曲线1 22 yx的右半支与直线100x围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐 标均为整数的点）的个数是. 【答案】 9800 4、 （ 2011 一试 7）直线012yx与抛物线xy4 2 交于BA,两点， C 为抛物线上的一点，90ACB，则 点 C 的坐标为 【答案】)2, 1(或)6, 9( 即0)(24)( 2121 2 2

3、1 2 21 4 yytyytxxtxxt， 即031614 24 ttt，即0) 14)(34( 22 tttt 显然014 2 tt，否则0122 2 tt，则点 C 在直线012yx上，从而点C 与点 A 或点 B 重合所以 034 2 tt，解得3, 1 21 tt故所求点C 的坐标为)2, 1(或)6,9( 5、 （ 2012一试 4）抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为，,A B是抛物线上的两个动点，且满足 3 AFB设线段的中点M在上的投影为N，则 | | MN AB 的最大值是 . 【答案】 1 【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得. 2 AFBF MN 在A

4、FB中, 由余弦定理得 222 2cos 3 ABAFBFAFBF 2 ()3AFBFAFBF 22 ()3() 2 AFBF AFBF 2 2 (). 2 AFBF MN 当且仅当AFBF时等号成立 . 故 MN AB 的最大值为 1. 6、 （ 2013 一试 2）在平面直角坐标系xOy 中，点AB、在抛物线 2 4yx 上，满足4OA OB，F是抛物 线的焦点 .则 OFAOFB Ss. 【答案】 2. 【解析】点 F坐标为1,0 . 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 2 1 1 4 y x， 2 2 2 4 y x，故 2 12121212 1 4 16 OA OBx x

5、y yy yy y，即 2 12 1 80 16 y y，故 12 8y y. 2 1212 111 2 224 OFAOFB SSOFyOFyOFy y. 7、 （ 2013 一试 7）若实数 , x y满足42xyxy ，则 x 的取值范围是 . 【答案】04,20 . 1 A 4 2 b a O C B 如图所示，在aOb平面内，点,a b 的轨迹是以1,2 为圆心， 5为半径的圆在,0a b的部分，即点O与弧ACB的并集 . 因此 22 02,2 5ab，从而 22 04,20xab. 8、 （ 2014 一试6）设椭圆的两个焦点是 21, F F，过点 1 F的直线与交于点QP,，若

6、| 212 FFPF，且 |4|3 11 QFPF，则椭圆的短轴与长轴的比值为_. 【答案】 2 6 7 【解析】 11 | 4,| 3,PFQF记椭圆 T的长轴，短轴的长度分别为 2a,2b, 焦距为 212 | | 2 ,F Fc2c, 则PF且由椭圆的定义知， 1212 2| | |24.aQFQFPFcPF 2121 | | |21.QFPFQFc于是PF 11 | 2 | 5HPFF HQH设为线段的中点，则， 21. F HPF且有由勾股定理知， 22222 22121 | -|QFQHF HF FF H 2222 21)5(2 )2 ,5,7ccca即（解得 2 6,bT因此椭圆

7、的短轴与长轴的比值为 2 6 . 7 b a 9、 （ 2016 一试 7）双曲线C的方程为1 3 2 2y x，左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过点 2 F作直线与双曲线C 的右半支交于点P，Q，使得PQF 1 =90，则PQF1的内切圆半径是 . 【答案】17 【解析】 10、 （2017 一试 3）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为 22 1 910 xy ，F为C的上焦点，A为C的 右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为. 【答案】 3 11 2 【解析】易知(3,0), F(0,1).P3cos, 10 sin),0, 2 A设的坐标是（则

8、1133 11 310sin1 3cos( 10cossin)sin(). 2222 103 11 =arctan.arctan 10. 102 OAPFOAFOFP SSS OAPF其中当时，四边形面积的最大值为 11、 （2009 一试 9）设直线:lykxm （其中k， m 为整数）与椭圆 22 1 1612 xy 交于不同两点A，B，与双 曲线 22 1 412 xy 交于不同两点 C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD ，若存在，指出这样的直 线有多少条？若不存在，请说明理由 【解析】由 22 1 1612 ykxm xy 消去y化简整理得 222 3484480kxkmxm

9、设 11 A xy， 22 B xy，则 12 2 8 34 km xx k 2 22 1 84 344480kmkm 由 22 1 412 ykxm xy 消去y化简整理得 222 32120kxkmx m 设 34C xy，44D xy，则 34 2 2 3 km xx k 2 22 2 24 3120kmkm 因为0ACBD，所以 4231 0xxxx，此时 4231 0yyyy 由 1234 xxx x 得 22 82 343 kmkm kk 所以20km或 22 41 343kk 由上式解得0k或0m当0k时，由和得2 32 3m因 m 是整数，所以 m的值为3，2，1，0，1，2，

10、3当0m ，由和得 33k 因k是整数， 所以1k，0，1于是满足条件的直线共有9 条 12、 （2010 一试 10）已知抛物线xy6 2 上的两个动点 1122 (,)(,)A xyB xy和，其中 21 xx且4 21 xx. 线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值. 【解析】解法一：设线段AB的中点为 ),( 00 yxM，则 2 ,2 2 21 0 21 0 yy y xx x， 012 2 1 2 2 12 12 12 36 66 yyyyy yy xx yy kAB. 线段AB的垂直平分线的方程是)2( 3 0 0 x y yy. （1） 依题意， 21, y

11、y是方程（ 3）的两个实根，且 21 yy，所以 222 000 44(212)4480yyy, 3232 0 y. 2 21 2 21 )()(yyxxAB 2 21 2 0 )() 3 (1(yy y 4)( 9 1 ( 21 2 21 2 0 yyyy y )122(44)( 9 1 ( 2 0 2 0 2 0 yy y C(5,0) B A x y O )12)(9( 3 2 2 0 2 0 yy . 定点)0,5(C到线段AB的距离 2 0 2 0 2 9)0()25(yyCMh. 2 0 2 0 2 0 9)12)(9( 3 1 2 1 yyyhABS ABC )9)(224)(9

12、( 2 1 3 12 0 2 0 2 0 yyy 3 2 0 2 0 2 0 ) 3 92249 ( 2 1 3 1yyy 7 3 14 . 当且仅当 2 0 2 0 2249yy，即 0 5y, 635635 (,57),(,57) 33 AB或 635635 (,( 57),(,57) 33 AB时等号成立 . 所以，ABC面积的最大值为7 3 14 . 2 2 2 212 2 11 2 )656665( 2 1 (ttttttS ABC 2 21 2 21 )5()( 2 3 tttt)5)(5)(24( 2 3 212121 tttttt 3 ) 3 14 ( 2 3 , 所以7 3

13、14 ABC S, 当且仅当5)( 21 2 21 tttt且4 2 2 2 1 tt，即 , 6 57 1 t 6 57 2 t, 635635 (,57),(,57) 33 AB或 635635 (,( 57),(,57) 33 AB时等号成立 . 所以，ABC面积的最大值是7 3 14 . 13、 （2011 一试 11）作斜率为 3 1 的直线l与椭圆 C ：1 436 22 yx 交于BA,两点（如图所示） ，且)2,23(P在 直线l的左上方 （1）证明： PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若 60APB ，求 PAB的面积 【解析】（1） 设直线l： mxy 3 1 ，

14、),(),( 2211 yxByxA 将mxy 3 1 代入1 436 22 yx 中，化简整理得036962 22 mmxx 上式中，分子 )23)(2 3 1 ()23)(2 3 1 ( 1221xmxxmx )2(26)(22( 3 2 2121 mxxmxx)2(26)3)(22( 2 369 3 2 2 mmm m 01226263123 22 mmmm， 从而，0 PBP A kk 又 P 在直线l的左上方，因此，APB 的角平分线是平行于y 轴的直线，所以PAB 的内切圆的圆心在直线 23x上 （2）若60APB时，结合（ 1）的结论可知3,3 PBP A kk 直线 PA的方程

15、为：)23(32xy， 代入1 436 22 yx 中，消去 y 得0)3313(18)331(6914 2 xx 它的两根分别是 1 x和23，所以 14 )3313(18 23 1 x，即 14 )3313(23 1 x所以 7 )133(23 |23|)3(1| 1 2 xPA 同理可求得 7 )133(23 | PB y x O P A B 1 | | sin 60 2 1 3 2(331) 3 2(331)3117 3 . 277249 PAB SPAPB 所以 14、 （2012一试 11）如图 5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且6OBOD （）求证：| |O

16、AOC为定值； （）当点 A在半圆 22 (2)4xy（24x）上运动时，求点C的 轨迹 (2)设( , ),(22cos,2sin),C x yA其中(), 22 XMA则 2 XOC. 因为 2 222 (22cos)(2sin)8(1cos )16cos, 2 OA所以4cos 2 OA 由(1) 的结论得cos5, 2 OC所以cos5. 2 xOC从而sin5tan 5,5. 22 yOC 故点C的轨迹是一条线段, 其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)AB 15、（2013 一试 11）（本题满分20 分） 在平面直角坐标系xOy 中， 椭圆的方程为 22 22 10 xy

17、ab ab ， 12 AA、 分别为椭圆的左、右顶点， 12 FF、分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于 1 A和 2 A的任意一点 .若平面 中两个点 QR、满足 11 QAPA， 22 QAPA, 11 RFPF, 22 RFPF，试确定线段QR 的长度与b的大小关系， 并给出证明 . 【解析】令 22 cab，则 1 ,0Aa， 2 ,0A a， 1 ,0Fc， 2 ,0Fc. 设 00 ,P xy， 11 ,Q x y， 22 ,R xy，其中 22 00 22 1 xy ab ， 0 0y. 由 11 QAPA， 22 QAPA可知 111010 0AQA Pxaxay y， 1

18、 221010 0A Q A Pxaxay y 2 根据 11 RFPF, 22 RFPF，同理可得 22 0 0 0 , xc Rx y . 因此 22222 00 000 xaxcb QR yyy ， 由于 0 0,yb ，故 QRb（其中等号成立的充分必要条件是 0 yb ，即点P为 0, b ） . 16、 （2014 一试 9） （本题满分16 分）平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上一个动点，满足条件：过P 可作抛物线xy4 2 的两条切线，两切点连线 P l与PO垂直 . 设直线 P l与PO，x轴的交点分别为RQ,， （1）证明：R是一个顶点 . （2）求 | | QR PQ

19、 的最小值 . 【解析】(1) 设P 点的坐标为(a,b)(0)b, 易知0a, 记两切点AB，的坐标为 1122 ,),),x yxy（则 PAPB，的方程分别为 1122 2()12()2yyxxyyxx（）（ ） 而点 P的坐标为 (a,b) 同时满足（ 1） （2） ， 故 A， B的坐标均满足方程by=2(x+a)(3)，故（ 3）就是直线AB的方程 . 直线 PO与 AB的斜率分别为 22 =-1,a=-2 bb POAB aba b 与，由知，故 从而（ 3）即为 2 y=(2),x b 故 AB与 x 轴的交点 R是定点（ 2,0 ）. (2) 因为 a=-2，故直线PO的斜率

20、 12 . 24 bb PRkk，直线的斜率设 =OPR，则为锐角，且 22 12 12 1 ()() 1|182 8 24 | |2 2 |tan2|2| 24 bb k kPQbb bb QRkkbb | 2 22 2. | PQ b QR 当时，的最小值为 17、（2015 一试 11） ( 本题满分20 分) 在平面直角坐标系xOy中, 12 ,F F分别是椭圆 2 2 1 2 x y的左 , 右焦点 , 设不经过焦点 1 F的直线l与椭圆C交于两个不同的点,A B, 焦点 2 F到直线l的距离为d. 如果直线 11 , ,AF l BF的斜率成等差数列, 求d的取值范围 . 由于点

21、A、B不重合，且直线l 的斜率存在，故 12 ,x x是方程（ 1）的两个不同实根，因此有（1）的判别式 22222 =4)4(21)(22)8(21)0kmkmkm（， 即 22 21.(2)km 由直线 11 AFlBF、 、的斜率 12 12 11 yy k xx 、 、依次成等差数列， 12 1122 12 +2 , 11 yy kykxm ykxm xx 又，所以 122112 )(1)(1)2 (1)(1).kxm xkxm xk xx（ 化简并整理得 12 )(2)0mkxx（ 假如mk，则直线L 的方程为y=kx+k, 即 l 经过点 1 1,0F （-），不符合条件. 因此必

22、有 12 2=0xx，故由方程（ 1）及韦达定理知， 12 2 41 ()2,.(3) 212 km xxmk kk 即 由 222 1 2321= 2 kmk k （ ）、（ ）知，（）化简得 2 2 1 4 k k ，这等价于 2 | |. 2 k 反之当 m,k 满足（ 3及） 2 | 2 k时， l 必不经过点 1 F（否则将导致,mk与（ 3）矛盾）， 注意到 2 | 2 k，令 2 1 1t k ，则(1,3),t上式可改写为 2 1313 ()().(4) 222 t t tt d= 考虑到函数 13 ( )() 2 f tt t 在1,3上单调递减，故由（4）得( 3)(1),

23、fdf即(3,2)d 18、 （2016 一试 11） （本题满分20 分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动 点. 以F为焦点，O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C 的切线，且PQ =2.圆 21,C C均与直线OP相切于点P，且均与轴相切. 求点F的坐标，使圆 1 C与 2 C的面 积之和取到最小值. 【解析】 设抛物线C的方程是)0(2 2 ppxy，点Q的坐标为)0)(0,(aa，并设 21,C C的圆心分别为 ),(),( 222111 yxOyxO. 设直线PQ的方程为)0(mamyx，将其与C的方程联立，消去

24、 x可知022 2 papmyy. 因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为0244 22 pamp，解得 p a m 2 . 进而可知， 点P的坐标为)2,(),(paayx PP . 于是 )2(22 2 1|0|1| 2 apapa p a ymPQ P . 由PQ=2可得 424 2 paa 结合，就有 22 21 342apaayy 由 21 ,OPO 共线，可得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 y y NO MO PO PO yy yy ypa pay P P . 化简得 2121 2 2 yy pa yy 令 2 2 2 1 yyT，则圆 21,C C的面积之和为T. 根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况. 根据、可知， 21 2 2 2 121 2 21 2 2 4 2)(yyyy pa yyyyT 2 22 222 2 1 )2)(34( )34(2)34( 44 4 a aa aa a . 作代换 2 1at，由于02444 2 paat，所以0t. 于是 4324 1 324 1 3 )1)(13( t t t t t tt T. 上式等号成立当且仅当 3 3 t，此时 3 1 11ta，因此结合得， 33 1 33 3 3 1 1 1 2 2 tt a ap 从而F的坐标为)0, 33 1 ()0, 2 ( p .