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1、【学习目标】 掌握正、余弦定理,能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形,培养运算求解能力 【方法总结】 1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 2.由正弦定理容易得到:在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也 较大,即AB? ab? sin Asin B. 3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时,利用正弦定理求解时,要注意判断三角形解的情况(存在两 解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“ 大边对大角且三角
2、形钝角至多一个”. 4.利用余弦定理,可以解决以下三类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其余角; (3)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角. (4)由余弦值确定角的大小时,一定要依据角的范围及函数值的正负确定. 【三角形 解题方法类型】 (一)正余弦定理的灵活应用 例 1在中,. (1)求角的大小; (2)求的取值范围 . 【答案】(1); ( 2) 【解析】()由正弦定理,求得,再由余弦定理,求得,即可 求解的大小; ()由()知,得,化简,根据三角函数的 图象与性质,即可求解. 【详解】(1)因为, 由正弦定理,得, 由余弦定理, 又
3、因为,所以 (二)三角形中的中线问题 例 2在中,内角的对边分别为,若,. ()求; ()若为边的中线,且,求的面积 【答案】(); (). 【解析】()根据题意,由正弦定理得,进而得到 即, 由, .由得 到, 最 后 由 正 弦 定 理 可 得 的值; ()设. 在中,由余弦定理得,解得.得到三边长, 结合()可求 的面积 ()设. 在中,由余弦定理得 即 解得. . 的面积. 练习 1在 ABC 中,角 A,BC 的对边分别为a,b, c,已知 a2,b,2sinC5sinA (1)求 B; (2)求 BC 边上的中线长 【答案】(1)60 ; ( 2). 【解析】(1)又 2sinC5
4、sinA,利用正弦定理可得:2c5a,又 a2,解得 c利用余弦定理即可得出B; (2)利用余弦定理求出BC 边上的中线即可 练习 2在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c,且. (1)求角 C 的大小; (2)若 A=, ABC 的面积为,M 为 BC 的中点,求AM. 【答案】 (1) (2) . 【解析】(1)利用正弦定理,结合同角三角函数的关系化简已知的等式,得到三边的关系式,再利用余弦 定理表示出的值,可求角的大小;(2)求得,为等腰三角形,由三角形面 积公式可求出的值,再利用余弦定理可得出的值 . 【详解】 (1) 由正弦定理得:即 C 为三角形的内角, 【点睛】
5、解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已 知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. (三)面积的最值问题 例 3在中,角 A,B,C 的对边分别为且. (1)若,且 ,求的值 (2)求的面积的最大值. 【答案】 (1)(2) 【解析】(1)由余弦定理可得,解得,又由且,联立方程组,即 可求解, (2)由余弦定理,又由,求得,即可求解面积的最大值. (2)由余弦定理,得 因为,所以, 又因为,所以三角形的面积为,此时. 【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用,其中解答中合理利用余弦定理,得到的关系, 再利用基本不等式求解是解答
6、的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题. 练习 1已知 ABC 的内角 A,B,C 满足 (1)求角 A; (2)若 ABC 的外接圆半径为1,求 ABC 的面积 S的最大值 【答案】(1); (2). 【解析】(1)利用正弦定理将角化为边可得,再由余弦定理即可得; (2)由正弦定理,可得,由基本不等式利用余弦定理可得,从而由 可得解 . (2), 所以,所以(时取等号) 练习 1在 ABC 中, a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边,已知(sinA+sinB)(a+b)=c (sinC+sinB). (1)求角 A; (2)若,求 ABC 周长的取值范围。 【答案】(1)
7、; (2) 【解析】(1)利用正弦定理将题目所给方程转化为边的形式,再利用余弦定理化简,可求得角的余弦值, 并求得角的大小 .( 2)先利用余弦定理得到,利用基本不等式求得,由此求得周 长的最大值 .再根据三角形两边的和大于第三边,求得周长的范围. (五)三角形与三角函数综合 例 5已知向量,函数. ()若,求的值; ()在中,角对边分别是,且满足,求的取值范围 . 【答案】 ( ) () 【解析】()利用三角恒等变换化简得出, 通过配凑角的方法即可得出的值 . ()由,结合余弦定理即可得出从而,得出B 的范围即可求 得的取值范围 . ()由,得 , 从而得故 【详解】(1) 令,解得;,;
8、所以函数的单调递増区间为,. 【点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三 角函数的关系,然后求解,对于面积公式,一般考查哪个角就使用哪一个 公式,与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 (六)角的范围问题 例 6在锐角三角形ABC 中, A 2B,a,b,c 所对的角分别为A, B,C,求的取值范围 【答案】 【解析】由已知及正弦定理可解得2cosB,由,可得B,解得cosB 的范围,即可解得的 取值范围 【详解】在锐角三角形ABC 中, A,B,C90 , 即, 30 B45 . 由正弦定理知: , 故 的取值范围是
9、【点睛】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式,余弦函数的图象和性质的应用,熟练掌握正 弦定理,余弦函数的图象和性质是解题的关键,属于中档题 练习 1已知的内角的对边分别为,且 2acosCc2b. (1)若点在边上,且,求的面积; (2)若为锐角三角形 ,且,求的取值范围 . 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 2acosCc2b, 由正弦定理化简得A .再利用正弦定理求出AB=4 , 利用余弦定理求出AM=5 , 最后求三角形的面积.(2)先利用余弦定理求出a=2,再利用正弦定理得到再求出 ,再求出函数的值域,得到的取值范围 . (2)由 A知,. 又, 所以 由正弦定理, 则 由
10、ABC 为锐角三角形,则 所以 b+c=4sin,即 b+c 的取值范围为. 【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换,考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角函数的图像和性质, 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质 解答,求复合函数的最值,一般从复合函数的定义域入手,结合三角函数的图像一步一步地推出函数 的最值 . 【详解】(1)证明:由余弦定理得, 则 所以 由题意得, 即, 由复数相等的定义可得 ,且, 即 【点睛】本题考查三角形的边长的求法及三角形形状的判断,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查 运用求解 能力,是中档题 练习
11、 1已知向量,且函数 (1)若,求的值; (2)在中,且,求面积的最大值 【答案】(1); (2) 【解析】(1)根据向量数量积的坐标运算可得,利用正角函数的二倍角公式即可求解(2)由 ,可得,再根据余弦定理及均值不等式得,即可求出三角形面积的最值. (2)根据题意, 因为平分,所以, 由此可得, 由,则, 故即可 . (2)根据题意,因为平分, 所以,故, 变形可得,则, 所以. 练习 1在中,角所对的边分别是, 为其面积,若 (1)求角的大小; (2)设的平分线交于,.求的值 . 【答案】(1); ( 2) 【解析】(1)由余弦定理可得,代入题中条件即可得解; ( 2 ) 在中 ,由 正
12、弦 定 理 得, 从 而 得, 可 得, 再 由 代入即可得解 . 【详解】(1)由得 得 练习 2在中,角所对的边分别是, 为其面积,若. (1)求角的大小; (2)设的平分线交于,.求的值 . 【答案】: (1)(2) 【解析】(I)由已知及余弦定理可求得cosB=,结合范围B( 0, ) ,可求 B 的值 (II)由正弦定理可得sinBAD ,进而根据同角三角函数基本关系式可求cosBAD ,根据二倍角的正弦函 数公式即可求解sinBAC 的值 【点睛】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式在解三 角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中
13、档题 (十)三角形的判断问题 例 10在中,角的对边分别为,满足. ()求角的大小; ()若,试求的面积的最大值,并判断此时的形状 . 【答案】(I); (II)等边三角形. 【解析】(I)由正弦定理可化条件为,利用三角恒等变换即可求解(II)利用余弦定理及 均值不等式可得,结合面积公式即可求出最值,根据等号成立条件知三角形形状. 【详解】 ( )由 又 由 ()由 即最大值为,当且仅当时,取得最大值, 此时为等边三角形. 练习 1在 ABC 中, a,b,c 分别为内角A,B, C 的对边,且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC (1)求角 A 的大小; (2)若 sinBsin
14、C,试判断 ABC 的形状 . 【答案】(1); (2)等边三角形. 【解析】 (1)利用余弦定理表示出cosA,然后根据正弦定理化简已知的等式,整理后代入表示出的cosA 中, 化简后求出cosA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数; (2) 由 A 为 60 , 利用三角形的内角和定理得到B+C 的度数, 用 B 表示出 C,代入已知的sinB+sinC=中, 利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及 特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,由B 的范围,求出这个角的范围,利用特殊角的三角函数值 求出 B 为 60 ,可得出三角形ABC 三个角相等,都为60 ,则三角形ABC 为等边三角形 【点睛】此题考查了三角形形状的判断,正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,等边三角形的判 定,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键。