解三角形的方法-高考文科数学热点专题.pdf

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1、【学习目标】 掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力 【方法总结】 1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也 较大，即AB? ab? sin Asin B. 3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两 解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“ 大边对大角且三角

2、形钝角至多一个”. 4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角. (4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定. 【三角形 解题方法类型】 （一）正余弦定理的灵活应用 例 1在中，. （1）求角的大小； （2）求的取值范围 . 【答案】（1）； （ 2） 【解析】（）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可 求解的大小； （）由（）知，得，化简，根据三角函数的 图象与性质，即可求解. 【详解】（1）因为, 由正弦定理，得， 由余弦定理， 又

3、因为，所以 （二）三角形中的中线问题 例 2在中，内角的对边分别为，若，. （）求； ()若为边的中线，且，求的面积 【答案】（）； （）. 【解析】（）根据题意，由正弦定理得，进而得到 即， 由， .由得 到， 最 后 由 正 弦 定 理 可 得 的值； （）设. 在中，由余弦定理得，解得.得到三边长， 结合（）可求 的面积 （）设. 在中，由余弦定理得 即 解得. . 的面积. 练习 1在 ABC 中，角 A，BC 的对边分别为a，b， c，已知 a2，b，2sinC5sinA （1）求 B； （2）求 BC 边上的中线长 【答案】（1）60 ； （ 2）. 【解析】（1）又 2sinC5

4、sinA，利用正弦定理可得：2c5a，又 a2，解得 c利用余弦定理即可得出B； （2）利用余弦定理求出BC 边上的中线即可 练习 2在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角 C 的大小； （2）若 A=， ABC 的面积为，M 为 BC 的中点，求AM. 【答案】 (1) (2) . 【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦 定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面 积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值 . 【详解】 (1) 由正弦定理得：即 C 为三角形的内角， 【点睛】

5、解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已 知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. （三）面积的最值问题 例 3在中，角 A,B,C 的对边分别为且. （1）若，且 ，求的值 （2）求的面积的最大值. 【答案】 (1)(2) 【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即 可求解， （2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值. （2）由余弦定理，得 因为，所以， 又因为，所以三角形的面积为，此时. 【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系， 再利用基本不等式求解是解答

6、的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 练习 1已知 ABC 的内角 A，B，C 满足 （1）求角 A； （2）若 ABC 的外接圆半径为1，求 ABC 的面积 S的最大值 【答案】（1）; （2）. 【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得； （2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，从而由 可得解 . （2）， 所以，所以（时取等号） 练习 1在 ABC 中， a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，已知(sinA+sinB)(a+b)=c (sinC+sinB). （1）求角 A； （2）若，求 ABC 周长的取值范围。 【答案】（1）

7、； （2） 【解析】（1）利用正弦定理将题目所给方程转化为边的形式，再利用余弦定理化简，可求得角的余弦值， 并求得角的大小 .（ 2）先利用余弦定理得到，利用基本不等式求得，由此求得周 长的最大值 .再根据三角形两边的和大于第三边，求得周长的范围. （五）三角形与三角函数综合 例 5已知向量，函数. （）若，求的值； （）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围 . 【答案】 ( ) () 【解析】()利用三角恒等变换化简得出， 通过配凑角的方法即可得出的值 . ()由，结合余弦定理即可得出从而，得出B 的范围即可求 得的取值范围 . ()由，得 , 从而得故 【详解】（1） 令，解得；，；

8、所以函数的单调递増区间为，. 【点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三 角函数的关系，然后求解，对于面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个 公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 （六）角的范围问题 例 6在锐角三角形ABC 中， A 2B，a，b，c 所对的角分别为A， B，C，求的取值范围 【答案】 【解析】由已知及正弦定理可解得2cosB，由，可得B，解得cosB 的范围，即可解得的 取值范围 【详解】在锐角三角形ABC 中， A，B，C90 ， 即， 30 B45 . 由正弦定理知： ， 故 的取值范围是

9、【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正 弦定理，余弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题 练习 1已知的内角的对边分别为,且 2acosCc2b. （1）若点在边上,且,求的面积； （2）若为锐角三角形 ,且,求的取值范围 . 【答案】（1）（2） 【解析】(1) 2acosCc2b， 由正弦定理化简得A .再利用正弦定理求出AB=4 ， 利用余弦定理求出AM=5 ， 最后求三角形的面积.(2)先利用余弦定理求出a=2,再利用正弦定理得到再求出 ，再求出函数的值域,得到的取值范围 . （2）由 A知,. 又， 所以 由正弦定理, 则 由

10、ABC 为锐角三角形,则 所以 b+c=4sin,即 b+c 的取值范围为. 【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质， 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质 解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数 的最值 . 【详解】（1）证明：由余弦定理得， 则 所以 由题意得， 即， 由复数相等的定义可得 ，且， 即 【点睛】本题考查三角形的边长的求法及三角形形状的判断，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查 运用求解 能力，是中档题 练习

11、 1已知向量，且函数 （1）若，求的值； （2）在中，且，求面积的最大值 【答案】（1）； （2） 【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算可得，利用正角函数的二倍角公式即可求解（2）由 ，可得，再根据余弦定理及均值不等式得，即可求出三角形面积的最值. （2）根据题意， 因为平分，所以， 由此可得， 由，则， 故即可 . （2）根据题意，因为平分， 所以，故， 变形可得，则， 所以. 练习 1在中，角所对的边分别是， 为其面积，若 （1）求角的大小； （2）设的平分线交于，.求的值 . 【答案】（1）； （ 2） 【解析】（1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解； （ 2 ） 在中 ,由 正

12、弦 定 理 得， 从 而 得， 可 得， 再 由 代入即可得解 . 【详解】（1）由得 得 练习 2在中，角所对的边分别是， 为其面积，若. （1）求角的大小； （2）设的平分线交于，.求的值 . 【答案】： （1）(2) 【解析】（I）由已知及余弦定理可求得cosB=，结合范围B（ 0， ） ，可求 B 的值 （II）由正弦定理可得sinBAD ，进而根据同角三角函数基本关系式可求cosBAD ，根据二倍角的正弦函 数公式即可求解sinBAC 的值 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三 角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中

13、档题 （十）三角形的判断问题 例 10在中，角的对边分别为，满足. ()求角的大小； ()若，试求的面积的最大值，并判断此时的形状 . 【答案】（I）； （II）等边三角形. 【解析】（I）由正弦定理可化条件为，利用三角恒等变换即可求解（II）利用余弦定理及 均值不等式可得，结合面积公式即可求出最值，根据等号成立条件知三角形形状. 【详解】 ( )由 又 由 ()由 即最大值为，当且仅当时，取得最大值， 此时为等边三角形. 练习 1在 ABC 中， a，b，c 分别为内角A，B， C 的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC (1)求角 A 的大小； (2)若 sinBsin

14、C，试判断 ABC 的形状 . 【答案】（1）； （2）等边三角形. 【解析】 （1）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA 中， 化简后求出cosA 的值，由 A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数； （2） 由 A 为 60 ， 利用三角形的内角和定理得到B+C 的度数， 用 B 表示出 C，代入已知的sinB+sinC=中， 利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及 特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B 的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值 求出 B 为 60 ，可得出三角形ABC 三个角相等，都为60 ，则三角形ABC 为等边三角形 【点睛】此题考查了三角形形状的判断，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判 定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键。