解析几何理-高考理科数学试题专题分类汇编.pdf

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1、解析几何 1 【 2018 年浙江卷】双曲线的焦点坐标是 A. ( -，0) ，(，0) B. (-2，0)，(2 ，0) C. (0，-) ，(0，) D. (0，-2) ， (0 ，2) 【答案】 B 点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐 近线方程为. 2 【 2018 年理数天津卷】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线 与双曲线交于A，B两点 . 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的 方程为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即 可确定双曲线方程

2、. 详解：设双曲线的右焦点坐标为（c0） ，则，由可得：，不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：， ，则，则，双曲线的离心率： ，据此可得：，则双曲线的方程为. 本题选择C选项 . 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准 方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方 程， 求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出 的值即 可. 3 【 2018 年理北京卷】在平面直角坐标系中，记d 为点 P（cos，sin ）到直线的距离，当 ， m变化时， d 的最大值

3、为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 C 点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相 关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 4 【 2018 年理新课标I 卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N. 若OMN为直角三角形，则|MN|= A. B. 3 C. D. 4 【答案】 B 【解析】 分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到， 根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得

4、知两种情况求 得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立， 求得，利用两点间距离同时求得的值 . 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的 倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为， 分别与两条渐近线和联立，求得， 所以， 故选 B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点 是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线 方程， 利用直角三角形的条件得到直线的斜率， 结合过右焦点的条件，利用点

5、斜式方程写出直线的方程， 之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 5 【 2018 年理新课标I 卷】设抛物线C：y 2=4x 的焦点为F，过点（ 2，0）且斜率为的直线与C交于M， N两点，则= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】 D 详解：根据题意，过点（2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立， 消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得 ，故选 D. 点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先 需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助 于抛物线的方程求得，

6、最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求 得结果，也可以不求点M 、N的坐标，应用韦达定理得到结果. 6【2018 年全国卷理】 设是双曲线（） 的左、右焦点，是坐标原点 过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为 A. B. 2 C. D. 【答案】 C 点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。 7 【 2018 年全国卷理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则 面积的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面

7、积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点，, 则，点 P在圆 上，圆心为（2， 0） ， 则圆心到直线距离， 故点 P到直线 的距离的范围为，则，故答案选A. 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。 8 【 2018 年理数全国卷II 】已知，是椭圆的左，右焦点，是 的左顶点， 点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】 D 点睛： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据 的关系消掉得到的关系式， 而建立关于的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何

8、性质、 点的坐标的范围等. 9 【 2018 年理数全国卷II 】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程 为，选 A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 10 【2018 年浙江卷】已知点P(0 ，1)，椭圆+y 2=m (m1) 上两点A，B满足=2，则当m=_ 时，点B横坐标的绝对值最大 【答案】 5 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为 在深刻认识运动变化的

9、过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个( 或者多个 ) 变量的函数，然后借助 于函数最值的探求来使问题得以解决. 11 【2018 年理数天津卷】 已知圆的圆心为C，直线( 为参数 ) 与该圆相交于A， B两点，则的面积为 _. 【答案】 【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积 即可 . 详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即 ，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：， 则. 点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含 有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代

10、数法 12 【2018 年理北京卷】已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐 近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 _； 双曲线N的离心率为 _ 【答案】 2 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭 圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的 倾斜角为， 点睛： 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据 的关系消掉得到的关系式， 而建立关于的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等. 13 【2018 年江苏卷】在平面直

11、角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，以AB为直 径的圆C与直线l交于另一点D若，则点A的横坐标为 _ 【答案】 3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与 联立解得点D的横坐标所以. 所以， 由得或， 因为，所以 点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的 一类综合问题. 通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一 般方法 . 14 【2018 年江苏卷】 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近 线的距离

12、为，则其离心率的值是_ 【答案】 2 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a. 15 【2018 年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧 ( 不含y轴) 一点，抛物线C：y 2=4x 上存在不同的两点A， B满足PA，PB的中点均在C上 （）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； （）若P是半椭圆x 2+ =1(xb0) 的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为， 点A的坐标为，且. （I ）求椭圆的方程； （II ）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点 ) ，求k的值 . 【答案】 ( )；( )或 详解：

13、（） 设椭圆的焦距为2c， 由已知知， 又由a 2=b2+c2， 可得 2a=3b 由已知可得， ， 由，可得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为 （）设点P的坐标为（x1，y1） ，点Q的坐标为（x2，y2） 由已知有y1y20，故又 因为，而OAB= ，故由，可得 5y1=9y2由方程组 消去x，可得易知直线AB的方程为x+y2=0，由方程组消去 x，可得由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=，两边平方， 整理得，解得， 或所以，k的值为或 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1) 注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭 圆的条件； (2) 强化有关直线与椭圆

14、联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、 斜率、三角形的面积等问题 17 【2018 年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2） 过点Q（ 0，1）的直线l与抛物线C有两 个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N （）求直线l的斜率的取值范围； （）设O为原点，求证：为定值 【答案】 (1) 取值范围是（- ， -3 ）（ -3 ，0）（ 0， 1）(2) 证明过程见解析 详解：解：（）因为抛物线y 2=2px 经过点P（1， 2） ，所以 4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y 2=4x 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方

15、程为y=kx+1（k0） 由得 依题意，解得 k0） 设A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由得，故 所以由题设知，解得k=1（舍去），k=1 因此l的方程为y=x 1 （2）由（ 1）得AB的中点坐标为（3，2） ，所以AB的垂直平分线方程为，即 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ，则解得或 因此所求圆的方程为或 点睛：确定圆的方程方法 (1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2) 待定系数法： 若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方 程组， 从而求出的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件

16、列 出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值 优质模拟试题 22 【江西省南昌市2018 届三模】“在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数 的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”已知对勾函数是双曲线， 它到两 渐近线距离的积是, 根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】 A 显然当时，当时，综上， 符合定义 .同理可知B,C，D不符合定义 . 故选 A. 点睛：本题考查双曲线的定义，利用定义验证选项是否符合，是基础题. 23 【江西省重点中学协作体2018 届二模】设分别是双曲线的左、右焦

17、点， 是的右支上的点，射线平分, 过原点作的平行线交于点, 若, 则双曲线 的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】分析：用特殊值法，让点M无限接近右顶点，则T 点无限接近于原点O ，由此可得出的关系 . 详解：当M接近右顶点时，射线MN接近与轴垂直， OT接近于轴，即 T 接近于点O ，于是，由 得，故选 B. 点睛：本题考查利用双曲线的性质求双曲线的离心率，求解时要结合图形进行分析，即使画不出图形（画 不出准确的图形） ，思考时也要联想到图形，当涉及双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的 基本量时，要理清它们的关系，挖掘韹内存联系. 求离心率问题应先将用有关

18、的一些量表示出来，再利用 其中的一些关系构造出关于的等式，从而解出. 24 【山东省济南市2018 届二模】已知抛物线, 过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线 为两切线的交点为坐标原点若, 则直线与的斜率之积为（） A. B. C. D. 【答案】 A 详解 : 设 A,B, 因为所以切线PA的方 程为所以切线 PB的方程为联立切线 PA,PB 的方程解之得x=a+b,y=ab, 所以 P（a+b,ab ）. 所以故答案为： A 点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基 础知识的掌握能力和分析推理能力.(2) 解答本题的关键是解题的思路，由

19、于与切线有关，所以一般先设切 点，先设A,B,再求切线PA,PB方程，求点P坐标，再根据得到最后求 直线与的斜率之积 . 如果先设点P的坐标，计算量就大一些. 25 【山东省济南市2018 届二模】设椭圆的左、右焦点分别为, 点 . 已知动点在椭圆上 , 且点不共线 , 若的周长的最小值为, 则椭圆的离心率为 （） A. B. C. D. 【答案】 A 详解：的周长为 ， 故选： A 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率( 或离心率的取值范围) ，常见有两种方法： 求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式， 结合b 2a2 c 2 转化为a， c的

20、齐次式， 然后等式 ( 不等式 ) 两边分别除以a或a 2 转化为关于e的方程 ( 不等式 ) ，解方程 ( 不等式 ) 即可得 e(e的取值范围 ) 26 【南省郑州市2018 届三模】 已知为椭圆上一个动点， 过点作圆的两条切线， 切点分别是，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】 C 详解：如图，由题意设，则， ，设，则 ，当且仅当，即时等 号成立， 此时又当点P在椭圆的右顶点时，此时 最大，且最大值的取值范围是故选 C 点睛：圆锥曲线中的最值或范围问题将几何问题和函数、不等式的问题综合在一起，考查学生的综合应用 能力，此类题目具有一定的难度解题时首先要根据题意设出相关的参

21、数，把所求的最值表示为该参数的 函数，然后根据目标函数的特征选用函数或不等式的知识求解最值即可 27 【河北省唐山市2018 届三模】已知是抛物线上任意一点，是圆上任意一点， 则的最小值为（） A. B. 3 C. D. 【答案】 D 详解：设点的坐标为，由圆的方程可得圆心坐标， ，是圆上任意一点， 的最小值为，故选 D. 点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有 关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、 配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 28 【福建省

22、厦门市2018 届三模】若双曲线的渐近线与圆无交点， 则的离心率的取值范围为_ 【答案】 【解析】分析：根据圆心到直线的距离大于半径，列不等式，结合可得离心率的取值范围. 详解：曲线的渐近线与圆无交点，圆心到直线的距 离大于半径，即， 即的离心率的取值范围为，故答案为. 点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题 时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐 近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 求离心率问题应先将用 有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关

23、系构造出关于的不等式，从而求出的范围 . 本题是利用点到 直线的距离大于圆半径构造出关于的不等式，最后解出的范围 . 29 【河南省洛阳市2018 届三模】已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为， ，抛 物线上的点在，之间（不包括点，点） ，过点作直线的垂线，垂足为. （1）求直线斜率的取值范围； （2）求的最大值 . 【答案】 (1);(2). 详解：（1）由题可知，设，所以 ，故直线斜率的取值范围是. （2）直线，直线，联立直线，方程可知点的横坐标为 ， ，所以，令， ，则，当时，当时 ，故在上单调递增，在上单调递减 .故，即的最 大值为. 点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的

24、位置关系，考查弦长公式与距离公式的应用，属于中档 题 30【 湖南省益阳市2018届 5月统考】已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于， 两点，直线 与抛物线交于，两点在轴的两侧 . （1）证明：为定值； （2）求直线的斜率的取值范围； （3） 已知函数在（） 处取得最小值， 求线段的中点到点 的距离的最小值（用表示） . 【答案】（1）见解析（ 2）. （ 3）（或）. 详解：（1）证明：由题意可得，直线的斜率存在，故可设的方程为（） ， 联立得，则，则为定值 . （2） 解： 由 （1） 知， 则， 即. 联立得，两点在轴的两侧， ，即. 由及可得或， 故直线 的斜率的取值范围为. （3）解：设，则， ，. 又， 故点的轨迹方程为（或）. 点睛：本题主要考查抛物线的性质，中点坐标公式，抛物线与直线的位置关系和点的轨迹方程的知识，难 度较大。