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1、第 2 课时解直角三角形的应用仰角、俯角 知识点 1 仰角与解直角三角形的应用 1如图 24412，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 米的B 处测得树顶A的仰角ABO ，则树OA的高度为 ( ) A. 30 tan 米 B 30sin 米 C30tan 米 D30cos米 图 24 412 2如图 24413，在塔AB前的平地上选择一点C，测得塔顶的仰角为30，从C点 向塔底走100 米到达D点，测得塔顶的仰角为45，则塔AB的高为 ( ) A50 米 B100 米 C50(31) 米 D 50(31) 米 图 24 413 3 2017邵阳如图24414 所示，运载火箭
2、从地面L处垂直向上发射，当火箭到 达A点时，从位于地面R处的雷达测得点A，R间的距离是40 km，点A的仰角是30 .n s 后，火箭到达B点，此时测得仰角是45，则火箭在这n s 中上升的高度为_ km. 图 24 414 4 教材例3 变式如图24 415，某校数学兴趣小组为测量校园里旗杆AB的高度， 在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30，再向旗杆的方向前进16 米，到 达点D处(C，D，B三点在同一直线上) ， 又测得旗杆顶端A的仰角为 45， 求旗杆AB的高度( 结 果保留根号 ) 图 24 415 知识点 2 俯角与解直角三角形的应用 5在高为100 m的楼顶测得地面
3、上某目标的俯角为，要求楼底到该目标的水平距离， 可根据题意画出如下图形，因为BAC，BC_m ，所以利用锐角三角函数的定义 可得 AB_ _m. 图 24 416 6如图 24417，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道 (B，C在同一水平 面上 ) ，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m 到达A处，在A处观察B地的俯角为30，则B，C两地之间的距离为( ) A100 3 m B 50 2 m C50 3 m D. 100 3 3 m 图 24 417 7 2016阜新如图24418，在高出海平面120 m 的悬崖顶A处，观测海面上的 一艘小船B
4、，并测得它的俯角为30，那么船与观测者之间的水平距离为_m ( 结果 用根号表示 ) 图 24 418 8 2017临沂如图24419，两座建筑物的水平距离BC30 m，从A点测得D点 的俯角 为 30，测得C点的俯角 为 60，求这两座建筑物的高度 图 24 419 9 2016巴彦淖尔如图24420，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船 突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升机和一艘正在南海巡航的渔政 船前往救援，当飞机到达海面3000 m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45，测得B 处发生险情渔船的俯角为30，此时渔政船和渔船的距离AB是( ) A3000 3 m
5、 B3000(31)m C3000(31)m D 1500 3 m 图 24 420 10 2017黄冈在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD( 如图 24421 所示 ) ，已知标语牌的高AB5 m，在地面上的点E处测得标语牌上点A的仰角为 30，在地面上的点F处测得标语牌上点A的仰角为75，且点E，F，B，C在同一直线上， 求点E与点F之间的距离 ( 计算结果精确到0.1 m ，参考数据：21.41，31.73) 图 24 421 11 2017随州 风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔 杆和叶片组成(如图 ) ，图是从图引出的平面图( 示意图
6、) 假设你站在A处测得塔杆顶 端C的仰角是55， 沿HA方向水平前进43 米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到 达最高位置， 此时测得叶片的顶端D( 点D，C，H在同一直线上)的仰角是45. 已知叶片的长 度为 35 米( 塔杆与叶片连接处的长度忽略不计) ，山高BG为 10 米，BGHG，CHAH，求塔杆 CH的高 ( 参考数据： tan55 1.4 ，tan35 0.7 ，sin55 0.8 ，sin35 0.6) 图 24 422 12如图 24423( 示意图 ) ，某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37，看台最高点B 到地面的垂直距离BC为 2.4 米，看台正前方有一垂直于地
7、面的旗杆DE，在B点用测角仪测 得旗杆的最高点E的仰角为33，已知测角仪BF的高度为1.2 米，看台最低点A与旗杆底 端D之间的距离为15 米( 点C，A，D在同一条直线上) (1) 求看台最低点A到最高点B的坡面距离AB； (2) 一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G，H之间的距离为1.2 米，下端挂 钩H与地面的距离为1 米，要求用 30 秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速 度( 精确到 0.01 米/ 秒) ( 参考数据： sin37 0.60 ，cos37 0.80 ，tan37 0.75 ，sin33 0.54 ，cos33 0.84 ， tan33 0.65)
8、 图 24423 教师详答 1C 解析 在 RtABO中，AOB90，ABO，BO30 米，AOBOtan 30tan ( 米) 故选 C. 2C 解析 在 RtABD中， ADB 45，BDAB. 在 RtABC中， ACB 30， tan ACB AB BC tan30 3 3 ， BC3AB. 设ABx米， CD100 米，BC (x100)米， x1003x， 解得x 50(31) 即塔AB的高为 50(31) 米 故选 C. 3(20 320) 4解：由题意可得CD16 米 ABCBtan30 ，ABBDtan45 ， CBtan30 BDtan45 ， (CDBD) 3 3 BD1
9、， 即(16 BD) 3 3 BD， 解得BD(8 3 8) 米， ABBDtan45 (8 3 8) 米 答：旗杆AB的高度是 (8 3 8) 米 5100 BCtan 100 tan 6A 解析 因为 tan30 AC BC ， 所以BC100 3 3 100 3(m) 7120 3 8解：延长CD交AM于点E，可得DEAM. 在 RtAED中，AEBC30 m， 30， EDAEtan30 10 3 m. 60，BAC90 60 30 . 在 RtABC中，BAC30，BC30 m， AB BC tan30 30 3 m， CDECEDABED30 310 320 3(m) 答：建筑物A
10、B的高度为30 3 m，建筑物CD的高度为20 3 m. 9 C 解析 由题意可知CEBD， CBA 30，CAD45，且CD3000 m， ADCD3000 m. 在 RtBCD中，BD CD tan CBA 3000 3 3 3000 3(m) ， ABBDAD3000 330003000(31)m. 故选 C. 10 解析 如图，作FHAE于点H. 由题意可知HAFHFA45，推得AHHF. 设 AHHFx m，则EF2x m，EH3x m在 RtAEB中，由E 30，AB5 m，推得AE 2AB10 m，可得x3x10，解方程即可 解：如图，作FHAE于点H. HAFAFBE75 30
11、 45， HFA 90 45 45， 即HAFHFA 45， AHHF. 设AHHFx m，则EF2x m，EH3x m. 在 RtAEB中， E30，AB5 m， AE2AB 10 m，x3x10， 解得x 5 35， EF2x10 3107.3( m) 答：点E与点F之间的距离约为7.3 m. 11 解析 作BEDH于点E，知GHBE，BGEH10，设AHx，则BEGH43x， 由CHAHtan CAHtan55 x，知CECHEHtan55 x10，根据BEDE，可得 关于x的方程，解之即可 解：如图，作BEDH于点E， 则GHBE，BGEH10. 设AHx，则BEGHGAAH43x.
12、在 RtACH中，CHAHtan CAHtan55 x， CECHEHtan55 x10. DBE 45， BEDECEDC， 即 43xtan55 x1035， 解得x45， CHtan55 x1.4 4563( 米) 答：塔杆CH的高约为63 米 12 解析 (1)根据正弦的定义计算即可； (2) 作FPED于点P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可 解： (1) 在 RtABC中，AB BC sin BAC 4.00 米 (2) 作FPED于点P， AC BC tan BAC 3.20 米， 则CD3.2 1518.20( 米) ， FPCD18.20 米， EPFPtan EFP11.83 米 DPBFBC3.60 米， EDEPDP15.43 米， EGEDGHHD13.23 米， 则红旗升起的平均速度为13.2330 0.44( 米/ 秒) 答：红旗升起的平均速度约为0.44 米/ 秒