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1、1 2018 届高三模拟考试试卷 数学 (满分 160 分，考试时间120 分钟 ) 20185 参考公式： 锥体的体积公式： V 1 3Sh，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高 一、 填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共 70 分 1. 已知集合A0，1，2， 3 ，Bx|x 2x20，则 AB_. 2. 若复数 z1i，则 z 1 z 的虚部是 _ 3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1 400 辆、 5 600 辆、 2 000 辆为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45 辆进行检验，则 应从丙种型号的产品中抽取_件 4. 设变量x
2、， y 满足约束条件 x10， xy10， xy30 则目标函数z 2x y 的最大值是 _ 5. 小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则 A，B 两首歌曲至少有一首 被播放的概率是_ 6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 _ (第 6 题) 2 (第 7 题) 7. 如图，直三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长均为 2，D 为棱 B1C1上任意一点，则三 棱锥 DA1BC 的体积是 _ 8. 已知双曲线 x 2 a 2y 2 b 21(a 0，b0)的一条渐近线方程是 y2x，它的一个焦点与抛物 线 y 220x 的焦点相同，则双曲线的方程是 _ 9. 若直线 y
3、2xb 是曲线 ye x2 的切线，则实数 b_. 10. “a1”是“函数f(x) x 1 x sin x a2为奇函数”的 _条件 (选填“充分 不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 11. 在数列 an中，若 a41，a125，且任意连续三项的和都是 15，则 a2 018_. 12. 已知直线 xyb 0 与圆 x 2y29 交于不同的两点 A， B.若 O 是坐标原点， 且|OA OB | 2 2 |AB |，则实数b 的取值范围是 _ 13. 在ABC 中，已知AB AC 2BA BC 3CA CB ，则cos C的最小值是 _ 14. 已知函数f(x) x 33
4、x21，g(x) x 2x 5 4，x0， x26x8，x0. 若方程g(f(x) a0(a 0)有 6 个实数根 (互不相同 )，则实数 a 的取值范围是 _ 二、 解答题：本大题共6 小题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤 15. (本小题满分14 分) 已知 A，B，C 是 ABC 的三个内角， 向量m(1，3)，n(cos A，sin A) ，且 mn 1. (1) 求 A 的值； (2) 若 1sin 2B cos 2B sin2B 3，求 tan C 的值 3 16. (本小题满分14 分) 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱
5、 PC 上(异于点 P，C)，平 面 ABE 与棱 PD 交于点 F. (1) 求证： ABEF； (2) 若 AF EF，求证：平面PAD平面 ABCD. 17. (本小题满分14 分) 如图， A，B，C 三个警亭有直道相通，已知A 在 B 的正北方向6 千米处， C 在 B 的正 东方向 6 3千米处 (1) 警员甲从C 出发，沿 CA 行至点 P处，此时 CBP45，求 PB 的距离； (2) 警员甲从C 出发沿 CA 前往 A，警员乙从 A 出发沿 AB 前往 B，两人同时出发，甲 的速度为3 千米 /小时，乙的速度为6 千米 /小时两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，
6、直到甲到达 A 时任务结束若对讲机的有效通话距离不超过 9千米，试求两 人通过对讲机能保持联系的总时长 4 5 18. (本小题满分16 分) 如图，已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若椭圆C 经过点 (0，3)，离心率为 1 2，直线 l 过点 F2 与椭圆 C 交于 A，B 两点 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若点 N 为 F1AF2的内心 (三角形三条内角平分线的交点 )，求 F1NF2与 F1AF2面 积的比值； (3) 设点 A，F2，B 在直线 x 4 上的射影依次为点 D，G, E连结 AE，BD ，试问：当 直线 l
7、 的倾斜角变化时，直线AE 与 BD 是否相交于定点T？若是，请求出定点T 的坐标； 若不是，请说明理由 6 19. (本小题满分16 分) 已知函数 f(x) ln xaxa，aR. (1) 若 a 1，求函数f(x) 的极值； (2) 若函数 f(x) 有两个零点，求a的取值范围； (3) 对于曲线yf(x) 上的两个不同的点 P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)，记直线 PQ 的斜率为 k，若 yf(x) 的导函数为f (x)，证明： f x1x2 2 k. 7 20. (本小题满分16 分) 已知等差数列an和等比数列 bn均不是常数列，若 a1b11，且 a1，2a2， 4a4
8、成等比 数列， 4b2，2b3，b4成等差数列 (1) 求 an和bn的通项公式； (2) 设 m，n 是正整数，若存在正整数i，j，k(i j k)，使得 ambj ，a manbi ，a nbk成等差 数列，求mn 的最小值； (3) 令 cn an bn，记 cn的前 n 项和为 Tn， 1 an 的前 n 项和为 An.若数列 pn 满足 p1 c1， 且对 ? n2，nN *，都有 p n Tn1 n A ncn，设 pn的前 n 项和为 Sn，求证： Sn 44ln n. 8 2018 届高三模拟考试试卷(十九 ) 数学附加题 (满分 40 分，考试时间30 分钟 ) 21. 【选
9、做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做2 题，每小题10 分，共 20 分若多 做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 A. (选修 41：几何证明选讲) 在 ABC 中，已知AC 1 2AB， CM 是 ACB 的平分线， AMC 的外接圆交 BC 边于 点 N，求证： BN 2AM. B. (选修 42：矩阵与变换) 已知矩阵 M 12 2x 的一个特征值为3，求 M 的另一个特征值 C. (选修44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆C： 2 2cos 和直线l： 4( R)相交于 A，B 两点，求 线段 AB 的长 D. (选修 45：不等式选讲
10、) 9 已知 a0， b0，a b1，求证： 1 2a1 4 2b1 9 4. 【必做题】第22，23 题，每小题10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤 22. 如图，设 P1 ，P 2， P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现任选其中三个不 同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S. (1) 求 S 3 2 的概率； (2) 求 S 的分布列及数学期望E(S) 23. 设集合A，B是非空集合M 的两个不同子集 (1) 若 Ma1，a2，且 A 是 B 的子集，求所有有序集合对(A ，B)的个数； (2) 若 Ma1，a2，a3， an，且 A 的元素个
11、数比B 的元素个数少，求所有有序集 合对 (A ，B)的个数 10 2018 届高三模拟考试试卷 数学参考答案及评分标准 1. 0 ，12. 1 2 3. 104. 55. 7 10 6. 47. 23 3 8. x 2 5 y 2 20 1 9. 2ln 210. 充分不必要11. 912. (3 2，66，3 2)13. 2 3 14. 1， 5 4 15. 解： (1) 因为 mn1，所以 (1，3) (cos A，sin A) 1，即3sin A cos A1， (2 分) 则 2 sin A 3 2 cos A 1 2 1，即 sin A 6 1 2.(4 分) 又 00， 当 a0
12、 时， f(x)0 ，f(x) 在(0， )上单调递增，无极值；(2 分 ) 当 a0 时， x 0， 1 a ， f(x)0 ，f(x)在 0， 1 a 上单调递增， x 1 a， ，f(x)0，g(x) 在(1， )上单调递增， 函数 g(x)有最小值g(1)0. 若要使函数f(x)有两个零点，必须满足a0 且 a1.(6 分) 下面证明 a0 且 a 1 时，函数有两个零点 13 因为 f(1)0，所以下面证明f(x) 还有另一个零点 当 00， f 1 a 2 2ln a a 1 a 2aln aa 2 1 a 2aln aa 2 1 a . 令 h(a)2aln aa 21(0h(1
13、)0，则 f 1 a 2 1 时， f 1 a aln a 10， f 1 e a aa 1 e aa a 1 e aa，可得 1 e a1) ，则 h(t) （t1） 2 （1t） 2t0， 2 m2，则有 mn6； 所以 mn 的最小值为6， 当且仅当 ji1，ki2，且 m4， n2 或 m3， n3 时取得. (10分) (3) 由题意，得p2 c1 2 1 1 2 c2 ，p 3 c1 c 2 3 1 1 2 1 3 c3， Snp1p2p3 pn 1 1 2 1 3 1 n (c1c2c3 cn)(11 分 ) 1 1 2 1 3 1 n Tn. Tnc1c2c3 cn ， 1 2
14、Tn 1 2c1 1 2c2 1 2cn . ，得 1 2Tn1 1 2 1 4 1 8 1 2 n1 n 2 n 22 1 2 n n 1 2 n ，(12 分) 解得 Tn4(n 2) 1 2 n 1 1) ，则 f (x) 1 x 1 x 2x1 x 2 0， 所以f(x) 在(1， )上单调递增，有f(x)f(1) 0，可得ln x1 1 x. (14 分) 当 k2，且 kN * 时， k k11，有 ln k k11 k1 k 1 k， 所以 1 2ln 2 1， 1 3ln 3 2， 1 nln n n1， 可得 1 1 2 1 3 1 n1ln 2 1ln 3 2 ln n n
15、1 1ln n， 所以 Sn4 1 1 2 1 3 1 n44ln n. (16 分) 16 2018 届高三模拟考试试卷 数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 证明：在 ABC 中，因为 CM 是 ACB 的平分线，所以 AC BC AM BM. 又 AC 1 2AB ，所以 AB BC 2AM BM .(4 分 ) 因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点B 的弦， 所以 BM BABN BC，即 AB BC BN BM .(8分) 由可知 2AM BM BN BM ，所以BN2AM.(10 分) B. 解： 矩阵 M 的特征多项式为f( ) 1 2 2 x ( 1)( x)4. (
16、3 分) 因为 13 是方程 f( )0 的一个根， 所以 (31)(3x)40，解得 x1. (6 分) 由( 1)( 1)40，解得 1 或 3，所以 2 1. (10 分) C. 解： 圆 C： 2 2cos 的直角坐标方程为x 2y22 2x0，即 (x2)2y2 2. 直线 l： 4( R)的直角坐标方程为 yx，即 xy0.(6 分) 圆心 C(2，0)到直线 l 的距离 d | 20| 2 1. (8 分) 所以 AB 2（ 2） 2 1 22. (10 分) D. 证明： (证法 1)因为 a0，b0，ab 1， 所以 1 2a 1 4 2b1 (2a1)(2b1)14 2b1
17、 2a 1 4（2a1） 2b1 52 2b1 2a1 4（ 2a1） 2b 1 9. (8 分) 而(2a1)(2b1)4，所以 1 2a1 4 2b1 9 4. (10 分) (证法 2)因为 a0，b0，由柯西不等式得 1 2a1 4 2b1(2a 1)(2b1) 1 2a1 2a1 4 2b1 2b1 2 (12) 29. (8 分) 17 由 ab1，得(2a1) (2b1)4, 所以 1 2a1 4 2b1 9 4.(10 分) 22. 解： (1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C 3 6种不同选法， 其中 S 3 2 的为有一个角是30的直角三角形(如 P1P4P5)
18、，共 6212 种， 所以 P S 3 2 12 C 3 6 3 5. (3 分) (2) S 的所有可能取值为 3 4 ， 3 2 ， 33 4 . S 3 4 的为顶角是120的等腰三角形(如 P1P2P3)，共 6 种，所以 P S 3 4 6 C 3 6 3 10. (5 分) S 33 4 的为等边三角形(如 P1P3P5)，共 2 种，所以P S 3 3 4 2 C 3 6 1 10. (7 分) 又由(1)知 P S 3 2 12 C 3 6 3 5，故 S的分布列为 S 3 4 3 2 3 3 4 P 3 10 3 5 1 10 所以 E(S) 3 4 3 10 3 2 3 5
19、 33 4 1 10 9 3 20 .(10 分) 23. 解： (1) 若集合 B 含有 2 个元素，即Ba1 ， a 2 ， 则 A?，a1 ，a2，则 (A， B)的个数为 3； 若集合 B 含有 1 个元素，则B 有 C 1 2种，不妨设 Ba1，则 A?， 此时 (A，B)的个数为C 1 2 12. 综上， (A，B)的个数为5. (3 分) (2) 集合 M 有 2 n 个子集，又集合A，B 是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n1). (5 分 ) 若 A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B) 的个数为 C 0 n
20、(C 0 n1)C 1 n(C 1 n1)C 2 n(C 2 n1) C n n(C n n1) (C 0 n) 2(C1 n) 2 (C2 n) 2 (Cn n) 2(C0 n C 1 n C 2 n C n n). (7 分) 又(x1) n(x 1) n 的展开式中 xn的系数为(C0 n) 2 (C 1 n) 2 (C 2 n) 2 (Cn n) 2， 且(x1)n(x1)n(x1)2n的展开式中 xn的系数为Cn 2n， 所以 (C0 n) 2(C1 n) 2(C2 n) 2 (Cn n) 2 C n 2n. 18 因为 C 0 nC 1 nC 2 n C n n 2 n，所以当 A 的元素个数与 B 的元素个数一样多时， 有序集合对 (A ，B)的个数为C n 2n2 n.(9 分) 所以当 A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为 2 n（2n1）（ Cn 2n 2 n） 2 2 2nCn 2n 2 .(10 分)