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1、1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(四川 卷) 数学(文史类 ) 1.(2016 四川 ,文 1)设 i 为虚数单位 ,则复数 (1+ i) 2=( ) A.0 B.2 C.2i D.2+ 2i 答案 C由题意 ,(1+i) 2=1+2i+i2=2i ,故选 C. 2.(2016 四川 ,文 2)设集合 A= x|1x5, Z 为整数集 ,则集合 AZ 中元素的个数是() A.6 B.5 C.4 D.3 答案 B由题意 ,AZ=1,2,3,4,5,故其中的元素个数为5,选 B. 3.(2016 四川 ,文 3)抛物线 y 2=4x 的焦点坐标是 ( ) A.(0,2) B.(0,1)
2、 C.(2,0) D.(1,0) 答案 D由题意 ,y2=4x 的焦点坐标 为(1,0),故选 D. 4.(2016 四川 ,文 4)为了得到函数y= sin的图象 ,只需把函数y= sin x 的图象上所有的点() A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 C.向上平行移动 个单位长度 D.向下平行移动 个单位长度 答案 A由题意 ,为得到函数y=sin,只需把函数y= sin x 的图象上所有点向左平行移动个 单位长度 ,故选 A. 5.(2016 四川 ,文 5)设 p:实数 x,y 满足 x1 且 y1,q:实数 x,y 满足 x+y 2,则 p 是 q 的() A.
3、充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A由题意 ,x1 且 y 1,则 x+y 2,而当 x+y 2 时不能得出x 1 且 y1.故 p 是 q 的充分不必要条件,选 A. 6.(2016 四川 ,文 6)已知 a为函数 f(x)=x 3-12x 的极小值点 ,则 a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 答案 Df(x)= 3x 2-12=3(x+ 2)(x-2),令 f(x)=0,得 x=- 2 或 x= 2, 易得 f(x)在(-2,2)上单调递减 ,在(-,-2),(2,+) 上单调递增, 2 故 f(x)极小值为f(2),由已知得a=
4、 2,故选 D. 7.(2016 四川 ,文 7)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资 金 130 万元 ,在此基础上 ,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始 超过 200 万元的年份是 () (参考数据 :lg 1.12 0.05,lg 1.3 0.11,lg 2 0.30) A.2018 年B.2019 年C.2020 年D.2021 年 答案 B设从 2015 年后第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元 , 由已知得130 (1+ 12%) n200, 1.12 n . 两边取常用对数得nlg 1
5、.12lg , n - =3.8, n 4,故选 B. 8.(2016 四川 ,文 8)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州 (现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九 韶算法求某多项式值的一个实例.若输入 n,x 的值分别为3,2,则输出 v 的值为 () A.35 B.20 C.18 D.9 答案 C程序运行如下n=3,x= 2v=1,i= 20v=1 2+ 2= 4,i= 10v=4 2+1= 9,i= 00v=9 2+ 0= 18,i=- 11,01,SPAB= |yA-yB| |xP|= = 1.
6、0 0.5,而前 4 组的频率之和为 0.04+ 0.08+ 0.15+0.21= 0.480). 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入中,有 , 变形可得sin Asin B=sin Acos B+ cos Asin B= sin(A+B ). 在 ABC 中,由 A+B+C= ,有 sin(A+B )=sin( -C)=sin C,所以 sin Asin B=sin C. (2)由已知 ,b 2+c2-a2= bc, 根据余弦定理,有 cos A= - . 所以 sin A= -. 由(1),sin Asin B= sin Acos B+cos Asin B,
7、所以 sin B= cos B+ sin B, 故 tan B= = 4. 19.(2016 四川 ,文 19)已知数列 an 的首项为1,Sn为数列 an的前 n 项和 ,Sn+ 1=qSn+ 1,其中 q0,nN * . (1)若 a2,a3,a2+a3成等差数列 ,求数列 an的通项公式 ; (2)设双曲线x 2- = 1的离心率为en,且 e2=2,求+ +. 解 (1)由已知 ,Sn+1=qSn+ 1,Sn+2=qSn+ 1+1, 8 两式相减得到an+ 2=qan+ 1,n1. 又由 S2=qS1+ 1 得到 a2=qa1, 故 an+1=qan对所有 n1 都成立 . 所以 ,数
8、列 an是首项为 1,公比为 q 的等比数列 . 从而 an=q n-1. 由 a2,a3,a2+a3成等差数列 ,可得 2a3=a2+a2+a3. 所以 a3=2a2,故 q=2. 所以 an=2n-1(n N *). (2)由(1)可知 ,an=q n-1. 所以双曲线x 2- = 1 的离心率 en= - . 由 e2= =2,解得 q=. 所以 + =(1+1)+(1+q 2)+ +1+q2(n-1) =n+ 1+q 2+ +q2(n-1) =n+ - - =n+(3 n-1). 20.(2016 四川 ,文 20)已知椭圆E:= 1(ab 0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三
9、个 顶点 ,点 P在椭圆 E 上. (1)求椭圆 E 的方程 ; (2)设不过原点O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点A,B,线段 AB的中点为M,直线 OM 与 椭圆 E 交于 C,D,证明 :|MA| |MB|=|MC| |MD|. 解 (1)由已知 ,a=2b. 又椭圆 = 1(ab 0)过点 P, 故 = 1,解得 b 2= 1. 所以椭圆 E 的方程是 +y 2=1. (2)设直线 l 的方程为y= x+m(m 0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由方程组得 x 2+2mx+2m2 -2= 0, 方程的判别式为 = 4(2-m2). 9 由 0,即 2-m 2
10、0,解得 - 1 时,g(x) 0; (3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间 (1,+ )内恒成立 . 解 (1)f(x)= 2ax- - (x0). 当 a0 时,f(x)0 时,由 f(x)= 0 有 x= . 当 x时,f(x) 0,f(x)单调递增 . (2)令 s(x)=e x-1-x,则 s(x)=ex-1-1. 当 x1 时,s(x)0,所以 e x-1x ,从而 g(x)= - 0. (3)由(2),当 x1 时,g(x)0. 当 a0,x1 时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间 (1,+)内恒成立时 ,必有 a0. 当 0 1. 由(1)有 f0, 10 所以此时 f(x)g(x)在区间 (1,+ )内不恒成立 . 当 a 时,令 h(x)=f (x)-g(x)(x1). 当 x1 时,h(x)=2ax- -e 1-xx- + - 0. 因此 ,h(x)在区间 (1,+ )单调递增 . 又因为 h(1)=0,所以当 x1 时,h(x)=f (x)-g(x)0,即 f(x)g(x)恒成立 . 综上 ,a.