中考数学试题解析分类汇编汇总《44综合性问题》.pdf

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1、综合性问题 一、选择题 1. （2014?湖南永州 ,第 6 题 3 分）下列命题是假命题的是（） A不 在同一直线上的三点确定一个圆 B矩 形的对角线互相垂直且平分 C正 六边形的内角和是720 D角 平分线上的点到角两边的距离相等 考点：命 题与定理 . 分析：根 据确定圆的条件对A 进行判断； 根据矩形的性质对B 进行判断； 根据多边形的内角 和定理对C 进行判断；根据角平分线的性质对D 进行判断 解答：解 ：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，所以A 选项为真命题； B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B 选项为假命题； C、正六边形的内角和是720 ，所以 C 选项为真命题； D、角

2、平分线上的点到角两边的距离相等，所以D 选项为真命题 故选 B 点评：本 题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命 题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理 2. （2014?乐山，第 10 题 3 分）如图，点P（ 1，1）在双曲线上，过点P 的直线 l1 与坐 标轴分别交于A、B 两点，且 tanBAO=1点 M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点M 的直线 l2 与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点 D则四边形ABCD 的 面积最小值为（） A10 B8C6D不确定 考点：反 比例函数综合题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数

3、法求反比 例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题. 专题：综 合题；待定系数法；配方法；判别式法 分析：根 据条件可以求出直线l1 的解析式， 从而求出点A、点 B 的坐标； 根据条件可以求出 反比例函数的解析式为y=，从而可以设点M 的坐标为（ a，） ；设直线l2 的 解析式为y=bx+c，根据条件 “ 过点M 的直线l2 与双曲线只有一个公共点” 可以得到 b=，c=，进而得到 D 的坐标为 （0，） 、点 C 的坐标为 （2a，0） ；由 ACBD 得到 S四边形 ABCD=AC?BD， 通过化简、 配方即可得到S四边形 ABCD=8+2（ ）2，从而可以求出S四边形 ABCD

4、的最小值为 8 解答：解：设反比例函数的解析式为 y=， 点 P（ 1，1）在反比例函数y=的图象上， k=xy=1 反比例函数的解析式为y= 设直线 l1 的解析式为y=mx+n， 当 x=0 时， y=n，则点 B 的坐标为（ 0，n） ，OB=n 当 y=0 时， x=，则点 A 的坐标为（，0） ，OA= tanBAO=1， AOB=90 ， OB=OA n= m=1 点 P（ 1，1）在一次函数y=mx+n 的图象上， m+n=1 n=2 点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 的坐标为（ 0，2） 点 M 在第四象限，且在反比例函数y=的图象上， 可设点M 的坐标为（ a，） ，其中

5、 a0 设直线 l2 的解析式为y=bx+c， 则 ab+c= c=aB y=bxaB 直线 y=bx ab 与双曲线y=只有一个交点， 方程 bxab=即 bx2（+ab）x+1=0 有两个相等的实根 （+ab）24b=（+ab）2 4b=（ab）2=0 =aB b= ， c= 直线 l2 的解析式为y=x 当 x=0 时， y=，则点 D 的坐标为（ 0，） ； 当 y=0 时， x=2a，则点 C 的坐标为（ 2a，0） AC=2a（ 2）=2a+2，BD=2（）=2+ ACBD， S四边形 ABCD=AC?BD =（2a+2） （2+） =4+2（a+） =4+2 （）2+2 =8+2

6、（） 2 2（）20 ， S四边形 ABCD8 当且仅当=0 即 a=1 时， S四边形 ABCD 取到最小值 8 故选： B 点评：本 题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、根的判别式、双曲线与 直线的交点等知识，考查了用配方法求代数式的最值，突出了对能力的考查，是一道 好题 3 （ 2014?浙江绍兴 ,第 10 题 4 分）如图，汽车在东西向的公路l 上行驶，途中A，B，C，D 四个十字路口都有红绿灯AB 之间的距离为800 米， BC 为 1000 米， CD 为 1400 米，且 l 上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯 亮的

7、时间与绿灯亮的时间也相同若绿灯刚亮时，甲汽车从A 路口以每小时30 千米的速度 沿 l 向东行驶，同时乙汽车从D 路口以相同的速度沿l 向西行驶， 这两辆汽车通过四个路口 时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（） A50 秒B45 秒C40 秒D35 秒 考点：推理与论证 分析：首先求出汽车行驶各段所用的时间，进而根据红绿灯的设置，分析每次绿灯亮的时间， 得出符合题意答案 解答：解：甲汽车从A 路口以每小时30 千米的速度沿l 向东行驶，同时乙汽车从D 路口 以相同的速度沿l 向西行驶， 两车的速度为：=（m/s） ， AB 之间的距离为800 米， BC 为 1000 米， CD

8、为 1400 米， 分别通过AB，BC，CD 所用的时间为：=96（s） ，=120（s） ，=168 （s） ， 这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯， 当每次绿灯亮的时间为50s 时，=1，甲车到达B 路口时遇到红灯，故A 选项错误； 当每次绿灯亮的时间为45s 时，=3，乙车到达C 路口时遇到红灯，故 B 选项错误； 当每次绿灯亮的时间为40s 时，=5，甲车到达C 路口时遇到红灯， 故 C 选项错误； 当每次绿灯亮的时间为35s 时，=2，=6，=10， =4，=8， 这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D 选项正确； 则每次绿灯亮的时间可能设置为：35 秒 故选： D 点评：

9、此题主要考查了推理与论证，根据题意得出汽车行驶每段所用的时间，进而得出由选 项分析得出是解题关键 二、填空题 1. （2014?湖南永州 ,第 16 题 3 分）小聪，小玲，小红三人参加“ 普法知识竞赛 ” ，其中前5 题是选择题，每题10 分，每题有A、B 两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案 和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按15 题的顺序排列）是BABBA 题号 答案 选手 1 2 3 4 5 得分 小聪BAABA40 小玲BABAA40 小红ABBBA30 考点：推 理与论证 . 分析：根 据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2 个错误，首先从三人答案相同的 入手

10、分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析 解答：解 ：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2 个错误 第 5 题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与 已知矛盾，则第5 题的答案是A； 第 3 个第 4 题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1， 2 正 确，则 1 的答案是： B，2 的答案是： A； 则小红的错题是1 和 2，则 3 和 4 正确，则3 的答案是： B，4 的答案是： B 总之，正确答案（按15 题的顺序排列）是BABBA 故答案是： BABBA 点评：本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每

11、个题目只有A 和 B 两个答案是关键 2. （2014?乐山，第15 题 3 分）如图在正方形ABCD 的边长为3，以 A 为圆心， 2 为半径 作圆弧以D 为圆心， 3 为半径作圆弧若图中阴影部分的面积分为S1、S2则 S 1S2= 9 考点：整 式的加减 . 分析：先 求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A 为圆心， 2 为半径作圆弧以 D 为圆心， 3 为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可 解答：解 ： S正方形 =3 3=9， S扇形 ADC=， S扇形 EAF= ， S1S2= （ S正方形 S扇形 ADC ）= （ 9）=9 故答案为：9 点评：本 题考查的是整式的加减

12、，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键 3 （2014?四川广安 ,第 16 题 3 分）如图，在直角梯形ABCD 中， ABC=90 ，上底 AD 为， 以对角线 BD 为直径的 O 与 CD 切于点 D，与 BC 交于点 E，且 ABD 为 30 则图中阴 影部分的面积为 （不取近似值） 考点：切线的性质；直角梯形；扇形面积的计算 分析：连接 OE，根据 ABC=90 ，AD=，ABD 为 30 ，可得出 AB 与 BD，可证明 OBE 为等边三角形，即可得出C=30 阴影部分的面积为直角梯形ABCD 的面积三角 形 ABD 的面积三角形OBE 的面积扇形ODE 的面积 解答：

13、解：连接OE，过点 O 作 OF BE 于点 F ABC=90 ，AD=， ABD 为 30 ， BD=2， AB=3， OB=OE， DBC=60 ， OF=， CD 为 O 的切线， BDC=90 ， C=30 ， BC=4， S 阴影=S梯形 ABCDSABDSOBES 扇形 ODE = = = 故答案为 点评：本题考查了切线的性质、直角梯形以及扇形面积的计算，要熟悉扇形的面积公式 4 （2014?四川绵阳 ,第 16 题 4 分）如图，O 的半径为1cm，正六边形ABCDEF 内接于 O， 则图中阴影部分面积为cm2 （结果保留 ） 考点：正多边形和圆 分析：根据题意得出COW ABW

14、，进而得出图中阴影部分面积为：S扇形OBC进而得出答 案 解答：解：如图所示：连接BO， CO， 正六边形ABCDEF 内接于 O， AB=BC=CO=1， ABC=120 ， OBC 是等边三角形， COAB， 在 COW 和 ABW 中 ， COW ABW（AAS） ， 图中阴影部分面积为：S扇形OBC= = 故答案为： 点评：此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题 关键 5 （2014?四川绵阳 ,第 17 题 4 分）如图，在正方形ABCD 中，E、F 分别是边BC、CD 上的 点， EAF=45 ， ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边

15、长为2 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 分析：根据旋转的性质得出EAF=45，进而得出FAE EAF ，即可得出 EF+EC+FC=FC+CE+EF= FC+BC+BF =4，得出正方形边长即可 解答：解：将 DAF 绕点 A 顺时针旋转90 度到 BAF位置， 由题意可得出：DAF BAF， DF =BF， DAF = BAF， EAF=45， 在 FAE 和 EAF 中 ， FAE EAF （SAS） ， EF=EF， ECF 的周长为4， EF+EC+FC=FC+CE+EF= FC+BC+BF=4 ， 2BC=4， BC=2 故答案为： 2 点评：此题主

16、要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 FAE EAF是解题关键 6 （ 2014?重庆 A,第 17 题 4 分）从 1，1，2 这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那 么，使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、 y 轴围成的三角形的面积为，且使关于x 的不等式组有解的概率为 考点：概率公式；解一元一次不等式组；一次函数图象上点的坐标特征 分析：将 1，1，2 分别代入y=2x+a，求出与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积，将1，1， 2 分别代入，求出解集，有解者即为所求 解答：解：当 a=1 时， y=2x+a 可化为 y=2x1，与 x 轴交点为（， 0

17、） ，与 y 轴交点为 （0， 1） ， 三角形面积为 1=； 当 a=1 时， y=2x+a 可化为 y=2x+1，与 x 轴交点为（，0） ，与 y 轴交点为（ 0，1） ， 三角形的面积为 1=； 当 a=2 时， y=2x+2 可化为 y=2x+2，与 x 轴交点为（ 1，0） ，与 y 轴交点为（ 0，2） ， 三角形的面积为 2 1=1（舍去）； 当 a=1 时，不等式组可化为，不等式组的解集为，无 解； 当 a=1 时，不等式组可化为，解得，解集为，解 得 x=1 使关于 x 的一次函数y=2x+a 的图象与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积为，且使关于x 的不 等式组有解的概率

18、为P= 故答案为 点评：本题考查了概率公式、解一元一次不等式、一次函数与坐标轴的交点，有一定的综 合性 7 （ 2014?江西，第 14 题 3 分）在 RtABC 中， A90 ，有一个锐角为60 ，BC=6若 P 在直线 AC 上（不与点A， C 重合），且 ABP30 ，则 CP 的长为 _. 【答案】43，23，6. 【考点】直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，分类讨论思想 【分析】根据题意画出图形，分三种情况进行讨论，利用直角三角形的性质，解直角三角 形或者用勾股定理进行解答 【解答】 解：分四种情况讨论： 如图 1：当 C=60 时， 当 C=60 时， ABC=30 ，P 点

19、在线段AC 上， ABP 不可能等于30 ，只能是 P 点与 C 点重合，与条件相矛盾。 如图 2：当 C=60 时， ABC=30 ，P 点在线段CA 的延长上。 RtABC 中， BC6， C=30 ， AC 1 2 BC 1 2 63. 在 ABC 和 ABP 中， ABP=ABC30 ，ABAB， CAB=PAB90 ABC ABP， ACAP3， CPACAP 336. 如图 3：当 ABC=60 时， C=30 ，P 点在线段AC 上。 RtABC 中， BC6， C=30 ， AB 1 2 BC 1 2 63. ABP30 ， AP 1 2 BP， PBC ABC ABP60 3

20、0 =30 C， PC=PB， 在 RtABP 中， 222 ABAPPB， 2 PB 221 3() 2 PB，解得 PB=23 PCPB23. 如图 4：当 ABC=60 时， C=30 ，P 点在线段CA 的延长线上。 ABP=30 ， ABC=60 ， PBC 是直角三形 . C=30 ， PB 1 2 PC. 在 RtPBC 中， PC 2PB2BC2, BC6，PB= 1 2 PC, PC 2(1 2 PC) 262，解得 PC4 3。 综上所述， CP 的长为 23、 43和 6。 三、解答题 1. （2014?黑龙江绥化 ,第 26 题 9 分）在菱形ABCD 和正三角形BGF

21、 中， ABC=60 ，P 是 DF 的中点，连接PG、PC （1）如图 1，当点 G 在 BC 边上时，易证：PG=PC （不必证明） （2）如图 2，当点 F 在 AB 的延长线上时，线段PC、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜 想，并给与证明； （3）如图 3，当点 F 在 CB 的延长线上时，线段PC、PG 又有怎样的数量关系，写出你的 猜想（不必证明） 考点：四边形综合题 分析：（1） 延长 GP 交 DC 于点 E， 利用 PED PGF， 得出 PE=PG， DE=FG， 得到 CE=CG， CP 是 EG 的中垂线，在RTCPG 中， PCG=60 ，所以 PG=PC （2）延

22、长 GP 交 DA 于点 E，连接 EC，GC，先证明 DPE FPG，再证得 CDE CBG，利用在RTCPG 中， PCG=60 ，所以 PG=PC （3）延长 GP 到 H，使 PH=PG，连接 CH、DH ，作 MEDC，先证 GFP HDP ， 再证得 HDC GBC，在在 RTCPG 中， PCG=60 ，所以 PG=PC 解答： （1）提示：如图1：延长 GP 交 DC 于点 E， 利用 PED PGF，得出 PE=PG，DE=FG， CE=CG， CP 是 EG 的中垂线， 在 RTCPG 中， PCG=60 ， PG=PC （2）如图 2，延长 GP 交 DA 于点 E，连接

23、 EC，GC， ABC=60 ， BGF 正三角形 GFBCAD， EDP= GFP， 在 DPE 和 FPG 中 DPE FPG（ASA） PE=PG，DE=FG=BG， CDE=CBG=60 ，CD=CB， 在 CDE 和 CBG 中， CDE CBG（ SAS ） CE=CG， DCE =BCG， ECG= DCB=120 ， PE=PG， CPPG， PCG=ECG=60 PG=PC （3）猜想： PG=PC 证明：如图3，延长 GP 到 H，使 PH=PG，连接 CH，CG，DH ，作 MEDC P 是线段 DF 的中点， FP=DP， GPF= HPD， GFP HDP， GF=H

24、D， GFP =HDP ， GFP+ PFE=120 ， PFE=PDC， CDH=HDP+PDC=120 ， 四边形ABCD 是菱形， CD=CB， ADC =ABC=60 ，点 A、B、G 又在一条直线上， GBC=120 ， 四边形BEFG 是菱形， GF=GB， HD =GB， HDC GBC， CH=CG， DCH =BCG， DCH+HCB=BCG+HCB=120 ， 即 HCG=120 CH=CG，PH=PG， PGPC， GCP=HCP=60 ， PG=PC 点评：本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条 件正确的构建出相关的全等三角形是解题的

25、关键 2. （2014? 黑龙江绥化 ,第 27 题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC 的顶点 C 的坐标是（ 2，4） ，动点 P 从点 A 出发，沿线段AO 向终点 O 运动，同时动点Q 从点 B 出发，沿线段BC 向终点 C 运动点P、Q 的运动速度均为1 个单位，运动时间为t 秒过 点 P 作 PEAO 交 AB 于点 E （1）求直线AB 的解析式； （2）设 PEQ 的面积为S，求 S与 t 时间的函数关系，并指出自变量t 的取值范围； （3）在动点 P、Q 运动的过程中，点H 是矩形 AOBC 内（包括边界）一点，且以B、Q、E、 H 为顶点的四边形是菱形，直

26、接写出t 值和与其对应的点H 的坐标 考点：一次函数综合题 分析：（1）依据待定系数法即可求得； （2）有两种情况：当0t 2 时， PF=4 2t，当 2t4时， PF=2t4，然后根据面 积公式即可求得； （3）依据菱形的邻边相等关系即可求得 解答：解： （1） C（2，4） ， A（0，4） ，B（2，0） ， 设直线 AB 的解析式为y=kx+b， ， 解得 直线 AB 的解析式为y=2x+4 （2）如图 2，过点 Q 作 QFy 轴于 F， PEOB， = 有 AP=BQ=t，PE=t，AF=CQ=4t， 当 0t2 时， PF=42t， S=PE? PF= t（42t）=tt2，

27、即 S=t2+t（0t2） ， 当 2t4时， PF=2t4， S=PE? PF= t（2t4）=t2t（ 2t4 ） （3）t1= ，H1（，） ， t2=208，H2（ 104 ，4） 点评：本题考查了待定系数法求解析式，平行线的性质，以及菱形的性质和三角形的面积公 式的应用 3. （2014?湖北宜昌 ,第 21 题 8 分）已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形，以CD 为直 径作 O， O 与边 BC 相交于点F， O 的切线 DE 与边 AB 相交于点E，且 AE=3EB （1）求证： ADE CDF ； （2）当 CF：FB=1：2 时，求 O 与?ABCD 的面积之比 考点：

28、切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质 分析：（1）根据平行四边形的性质得出A=C，ADBC，求出 ADE=CDF ，根据相 似三角形的判定推出即可； （2）设 CF=x， FB=2x，则 BC=3x，设 EB=y，则 AE=3y， AB=4y， 根据相似得出=， 求出 x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分别求出 O 的面积和四边形ABCD 的面 积，即可求出答案 解答：（1）证明： CD 是 O 的直径， DFC =90 ， 四边形 ABCD 是平行四边形， A=C，ADBC， ADF =DFC =90 ， DE 为 O 的切线， DEDC， EDC=90 ， A

29、DF =EDC=90 ， ADE=CDF ， A=C， ADE CDE； （2）解： CF：FB=1：2， 设 CF=x， FB=2x，则 BC=3x， AE=3EB， 设 EB=y，则 AE=3y，AB=4y， 四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC=3x，AB=DC=4y， ADE CDF ， =， =， x、y 均为正数， x=2y， BC=6y，CF=2y， 在 RtDFC 中， DFC=90 ， 由勾股定理得：DF =2y， O 的面积为 ?（DC） 2= ? DC 2= （4y） 2=4y2， 四边形 ABCD 的面积为BC? DF=6y?2y=12y2， O 与四边形 AB

30、CD 的面积之比为4y 2：12 y2= ：3 点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考 查学生综合运用性质进行推理和计算的能力 4. （2014?随州， 第 24 题 10 分）已知两条平行线l1、l2之间的距离为 6，截线 CD 分别交 l1、 l2于 C、 D 两点，一直角的顶点 P 在线段 CD 上运动（点P 不与点 C、D 重合） ，直角的两 边分别交l1、l2与 A、B 两点 （1）操作发现 如图 1，过点 P 作直线 l3l1，作 PEl1，点 E 是垂足，过点B 作 BFl3，点 F 是垂足此 时，小明认为PEA PFB，你同意吗？为什么

31、？ （2）猜想论证 将直角 APB 从图 1 的位置开始，绕点P 顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当 AE 满足什么条件时，以点P、A、B 为顶点的三角形是等腰三角形？在图2 中画出图形，证 明你的猜想 （3）延伸探究 在（ 2）的条件下，当截线CD 与直线 l1所夹的钝角为150 时，设 CP=x，试探究：是否存 在实数 x，使 PAB 的边 AB 的长为 4？请说明理由 考点：几何变换综合题 分析：（1） 根据题意得到： EPA+APF=90 ， FPB+APF=90 ， 从而得到 EPA=FPB， 然后根据 PEA=PFB=90 证得 PEA PFB； （2） 根据 APB=90

32、 得到要使 PAB为等腰三角形， 只能是 PA=PB， 然后根据当AE=BF 时， PA=PB，从而得到PEA PFB，利用全等三角形的性质证得结论即可； （3） 在 RtPEC 中，CP=x， PCE=30 从而得到PE=x， 然后利用PE+BF=6， BF=AE 得到 AE=6x，然后利用勾股定理得到PE2+AE2=PA2，代入整理后得到一元二次方 程 x 212x 8=0，求得 x 的值后大于 12，从而得到矛盾说明不存在满足条件的x 解答：解： （1）如图（ 1） ，由题意，得：EPA+APF=90 ， FPB+APF=90 ， EPA=FPB， 又 PEA=PFB=90 ， PEA

33、PFB； （2）证明：如图2， APB=90 ， 要使 P AB 为等腰三角形，只能是PA=PB， 当 AE=BF 时， PA=PB， EPA=FPB， PEA=PFB=90 ，AE=BF， PEA PFB， PA=PB； （3）如图 2，在 RtPEC 中， CP=x， PCE=30 ， PE=x， 由题意， PE+BF=6，BF=AE， AE=6x， 当 AB=4时，由题意得PA=2， RtPEA 中， PE 2+AE2=PA2， 即（）2+（6 x） 2=40， 整理得： x212x 8=0， 解得： x=62 0（舍去）或x=6+2， x=6+26+6=12，又 CD=12， 点 P

34、在 CD 的延长线上，这与点P 在线段 CD 上运动相矛盾， 不合题意， 综上，不存在满足条件的实数x 点评：本题是一道几何变换的综合题，题目中涉及到了全等三角形、勾股定理等知识，知识 网络比较复杂，难度较大 5、 （ 2014?随州，第25 题 12 分）平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，点C 的坐标为 （ 3，4） ，点 A 在 x 轴的正半轴上，O 为坐标原点，连接OB，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 C、 O、A 三点 （1）直接写出这条抛物线的解析式； （2）如图 1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设 EBO 的面积为S1，菱形 ABCD 的面 积为 S2，当 S1 S

35、2时，求点E 的纵坐标n 的取值范围； （3）如图 2，D（0，）为 y 轴上一点，连接AD，动点 P 从点 O 出发，以个单位 / 秒的速度沿OB 方向运动， 1 秒后，动点Q 从 O 出发，以2 个单位 /秒的速度沿折线OA B 方向运动，设点P 运动时间为t 秒（ 0t6） ，是否存在实数t，使得以 P、Q、B 为顶 点的三角形与ADO 相似？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题 分析：（1）求得菱形的边长，则A 的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的 解析式； （2）首先求得菱形的面积，即可求得S1的范围， 当 S1 取得最大值时即可求得直线的

36、 解析式，则n 的值的范围即可求得； （3）分当 1t3.5 时和 3.5 t6 时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的 比相等，即可列方程求解 解答： 解： （1）根据题意得：， 解得：， 则抛物线的解析式是：y=x2x； （2）设 BC 与 y轴相交于点G，则 S2=OG?BC=20， S15 ， 又 OB 所在直线的解析式是y=2x，OB=2， 当 S1=5 时， EBO 的 OB 边上的高是 如图 1，设平行于OB 的直线为y=2x+b，则它与 y 轴的交点为M（0，b） ，与抛物线 对称轴 x=交于点 E（，n） 过点 O 作 ONME，点 N 为垂足，若ON=，由 MNO O

37、GB，得 OM=5， y=2x5， 由， 解得： y=0， 即 E 的坐标是（，0） 与 OB 平行且到OB 的距离是的直线有两条 由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5 则 E 的坐标是（，10） 由题意得得， n 的取值范围是：0 n10且 n5 （3）如图 2，动点 P、Q 按题意运动时， 当 1t3.5 时， OP=t， BP=2t，OQ=2（t1） ， 连接 QP，当 QPOP 时，有=， PQ=（t1） ， 若=，则有=， 又 QPB=DOA=90 ， BPQ AOD， 此时， PB=2PQ，即 2t=（t 1） ， 10 t=8（t1） ， t=2； 当 3.5 t6 时

38、， QB=102（t1）=122t，连接 QP 若 QPBP， 则有 PBQ=ODA， 又 QPB=AOD=90 ， BPQ DOA， 此时， PB=PB，即 12 2t=（2t） ，122t=10t， t=2（不合题意，舍去） 若 QPBQ，则 BPQ DAO， 此时， PB=BQ， 即 2t=（122t） ，2t=122t， 解得： t= 则 t 的值为 2 或 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面 积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果 6、 （ 2014 衡阳，第28 题 10 分） 已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点3 0

39、A，和点1 0B， 与y轴相交于点030Cmm，顶点为点D。 求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示） ； 如图，当2m时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点， 设APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系 式及S的最大值； 如图，当m取何值时，以 A、D 、C三点为顶点的三角形与OBC相似？ 【考点】待定系数法求二次函数的表达式，三角形面积公式，梯形面积公式，相似三角形的 判定定理 . 当2m时，点C的坐标为06，该二次函数的解析式为 2 246yxx 图 图 点A的坐标为3 0，点C的坐标为06， 直线AC的解析式为1 36 xy ，即26 AC yx 过点P作PEx轴

40、于点E，交AC于点F 点P为第三象限内抛物线上的一个动点且点P的横坐标为x30x 点P的坐标为 2 246xxx，点E的坐标为0x，点F的坐标为26xx， 222 OACPAEOACOAPCOCPE OCPE OE AE PEOA OC SSSSSS 四边形梯形 2 22 11 22 111 36 3 222 33327 2 324662393 2224 PP P AE PEOE OCOE PE OAOCAE PEOE PEOE OCOAOC AE OE PE OC OA OEOA PEOC AEyx yxxxxxxx其余略 当 3 2 x时，S有最大值 27 4 方法二 11333 3 22

41、222 PFPFFP SOA PFPEEFyyyyyy 222 22 22 333 262462624626 222 39327 393333 2424 xxxxxxxx xxxxxx 当 3 2 x时，S有最大值 27 4 ； 另解： 221133 32462624626 2222 PF SOA PFyyxxxxxx 2 22 339 26333 224 xxxxx 30x， 333 222 x， 2 39 24 x ， 2 39 0 24 x ， 222 3939327 333 242424 Sxxx 当 3 2 x时，S有最大值 27 4 22 2 31231414ym xxm xxmx

42、m xm，点D的坐标为 14m， 2 22222 22 30033399 ACAC ACxxyymmm 22 2222 22 310424416 ADAD ADxxyymmm 2222 22 01341 CDCD CDxxyymmm OBC是直角三角形，欲使以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似，必有 Rt ACD 若在ACD中，90ADC，则 222 ADCDAC，即 222 416199mmm 化简整理得： 21 2 m，0m， 2 2 m（舍去负值） 此时， 2 2 2 12 82 2 3 2 ADADAD CDCDCD ， 3 2 3 2 2 12 CO OB ， ADCO CDO

43、B 虽然90ACDCOB，但是 ADCO CDOB ，ACD与OBC不相似，应舍去； 综上所述，只有当1m时，以 A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似。 【答案】该二次函数的解析式为 2 3123ym xxmxmxm 当 3 2 x时，S有最大值 27 4 当1m时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC 【点评】：本题综合性强，难度大，是代数、几何的综合题，每一问难度逐渐上升，第一问 就是求二次函数表达式的一般问题，第二问虽然常见，但是在表示APC的面积时，难度 较大，计算量也大，一些学生会放弃，第三问分情况讨论，虽然3 种情况容易想到，但是还 是计算，往往造成会思路但不得分的情况. 7

44、、 （ 2014?宁夏，第26 题 10 分）在 RtABC 中， C=90 ，P 是 BC 边上不同于B、C 的一 动点，过 P 作 PQAB，垂足为Q，连接 AP （1）试说明不论点P 在 BC 边上何处时，都有PBQ 与 ABC 相似； （2）若 AC=3，BC=4，当 BP 为何值时， AQP 面积最大，并求出最大值； （3）在 RtABC 中，两条直角边BC、AC 满足关系式BC=AC ，是否存在一个 的值，使 RtAQP 既与 RtACP 全等，也与RtBQP 全等 考点：相似形综合题 分析：（1）利用 “ 两角法 ” 可以证得 PBQ 与 ABC 相似； （2）设 BP=x（0x

45、 4） 由勾股定理、 （1）中相似三角形的对应边成比例以及三角 形的面积公式列出S与 x 的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值； （3） 利用全等三角形的对应边相等得到AQ=AC， AQ=QB， 即 AQ=QB=AC 在 RtABC 中，由勾股定理得BC 2=AB2AC2，易求得： BC= AC，则 = 解答：解： （1）不论点P 在 BC 边上何处时，都有 PQB=C=90 ， B=B PBQ ABC； （2）设 BP=x（0x 4） ，由勾股定理，得AB=5 由（ 1）知， PBQ ABC， ，即 SAPQ= = = 当时， APQ 的面积最大，最大值是； （3）存在 Rt AQPR

46、tACP AQ=AC 又 RtAQPRtBQP AQ=QB AQ=QB=AC 在 RtABC 中，由勾股定理得BC 2=AB2AC2 BC=AC =时， Rt AQP 既与 RtACP 全等，也与Rt BQP 全等 点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式以 及二次函数的最值的求法等知识点难度较大注意，在证明三角形相似时，充分利 用公共角，在利用全等三角形的性质时，要找准对应边 8 （ 2014?四川成都 ,第 20 题 10 分）如图，矩形ABCD 中， AD=2AB，E 是 AD 边上一点， DE=AD（n 为大于 2 的整数），连接 BE，作 BE 的垂直平分线分别交AD，BC 于点 F，G，