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1、- 1 - 3、三角形及其有关概念 【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180 （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性
2、。 4. 补充性质：在ABC中， D 是 BC 边上任意一点，E是 AD 上任意一点，则 SSSS ABECDEBDECAE 。 A B CD E 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形 又是多边形的一种， 而且是最简单的多边形，在几何里， 常常把多边形分割成若干个三角形， - 2 - 利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近 它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的 基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】 例 1. 锐角三角形ABC 中，C2 B，则B 的范围
3、是（） A. 1020BB. 2030B C. 3045BD. 4560B 分析： 因为ABC为锐角三角形，所以090B 又C2B，0290B 045B 又 A 为锐角， ABC180 为锐角 BC90 390B，即B30 3045B，故选择C。 例 2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160 ，另两个外角的比为2:3 ，则这个三角形 的形状是（） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定 分析： 由于三角形的外角和等于360 ，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此 三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。 解： 三角形的一个外角
4、等于160 - 3 - 另两个外角的和等于200 设这两个外角的度数为2x ，3x 23200xx 解得：x40 2803120xx， 与 80相邻的内角为 100 这个三角形为钝角三角形 应选 C 例 3. 如图，已知：在ABC中，ABAC 1 2 ，求证：CB 1 2 。 A E BC F 分析：欲证CB 1 2 ， 可作ABC 的平分线BE 交 AC 于 E， 只要证CEBC 即可。为与题设ABAC 1 2 联系，又作AF/BE 交 CB 的延长线于F。 显然EBCF，只要证CF即可。由AFABAC2可得证。 证明：作 ABC 的角平分线BE 交 AC 于 E，过点 A 作 AF/BE交
5、 CB 的延长线于F AFBEFEBCFABABE/ /， 又BE平分ABC ， EBCABE FFAB，ABBF 又ABFBAF，即 2AB AF 又ABACACAF 1 2 ， FC，又FABC 1 2 CB 1 2 - 4 - 例 4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的 1 6 与 1 4 之间。 分析： 首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系 加以证明。 A BC a b c 证明： 如图，设ABC的三边为a、b、c，其中ac2， bacac，2 bc 因此， c 是最小边，bc3 因此，abcccc23，即cabc 1 6
6、 () 1 6 1 4 ()()abccabc 故最小边在周长的 1 6 与 1 4 之间。 中考点拨： 例 1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（） A. 50 B. 100 C. 180 D. 200 A B C D E GF 分析： 由于我们学习了三角形的内角、外角的知识， 所以需要我们把问题转化为三角形 - 5 - 角的问题。 解：，CEAGFBDAFG ABCEDAA G FAFG180 所以选择 C 例 2. 选择题：已知三角形的两边分别为5 和 7，则第三边x 的范围是（） A. 大于 2 B. 小于 12 C. 大于 2 小于 12 D. 不能确定 分析：
7、根据三角形三边关系应有7575x，即122x 所以应选 C 例 3. 已知： P 为边长为1 的等边ABC内任一点。 求证： 3 2 2PAPBPC A E F BC P 证明： 过 P 点作 EF/BC ，分别交AB 于 E，交 AC 于 F， 则AEPABC 60 EAPEAF APE 60 60 在 AEP中， ， ， APEAEPAEAP AFEACBAEF6060 AEF是等边三角形 AFEF - 6 - AEAP BEEPBP PFFCPC AEEBEPPEFCAPBPPC ABEFFCAPBPPC ABAFACAPBPPC PBPAPCABAC2 PAPBAB PBPCBC PC
8、PAAC PAPBPCABBCAC PAPBPC 23 2 3 2 题型展示： 例 1. 已知：如图，在ABC中， D 是 BC 上任意一点， E 是 AD 上任意一点。求证： （1）BECBAC ； （2） ABACBEEC。 A B CD E F 分析： 在（ 1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助 线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。 证明： （1） BED 是ABE的一个外角， BEDBAE 同理，DECCAE BEDDECBAECAE - 7 - 即BECBAC （2）延长 BE 交 AC 于 F点 ABAFBEEF EFFCEC ABAF
9、EFFCBEEFEC 又 即ABACBEEC 例 2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45 。 已知：如图，在ABC中，CEABABD90 ，、是ABC的外角， AF、BF 分别平分 EAB 及ABD 。 求证： AFB45 AB C ED F 分析： 欲证AFB45，须证FABFBA135 AF、BF 分别平分 EAB 及ABD 要转证EABABD 270 又 C90 ，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 问题得证 证明： EABABCC ABD CAB C ABC CCAB180 ， C90 - 8 - EABABDABCCCABC18090270 AF、
10、BF 分别平分 EAB 及ABD FABFBAEABABD 1 2 1 2 270135 在 ABF中，AFBFABFBA18045 【实战模拟】 1. 已知：三角形的三边长为3，8，12x，求 x 的取值范围。 2. 已知：ABC中，ABBC，D 点在 BC 的延长线上，使ADBC，BCA， CAD，求 和 间的关系为？ A B C D 3. 如图，ABC中，ABCACB、的平分线交于P 点，BPC134，则BAC （） A. 68 B. 80C. 88 D. 46 - 9 - A B C P 4. 已知：如图，AD 是ABC的 BC 边上高， AE 平分BAC。 求证：EADCB 1 2
11、A B CDE 5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。 - 10 - 【试题答案】 1. 分析： 本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。 解： 三边长分别为3，8，12x，由三边关系定理得： 51211x 4210 25 x x 2. 解：ABBCBCABAC， 又ADBCADAB， DB，又BCADB DB， 根据三角形内角和，得： 2180 3180 3. 解：BPC134 PBCPCB46 又BP、CP 为B、C 的平分线 ， PBCABCPCBACB PBCPCBABCACB ABCACB BACABCACB 1 2 1 2 1 2
12、 24692 18088 4. - 11 - 证明：EADEACCAD AE 平分BAC ，EACBAC 1 2 又AD BC，ADC90 CADC90 又BACBC180 EADBACCAD BCC CB 1 2 1 2 18090 1 2 1 2 EADCB 1 2 5. 证明： 如图，设ABC的BAC 和ABC 的外角平分线交于点D E A B D CG FABABCACB EBABACACB D ABD BA FABEBA ABCBACACB 1 2 1 2 则 ADBDABDBA180 ABCACBBACABCBACACB ABCBAC 1 2 1 2 - 12 - 又 1 2 1 2 ACGABCBAC A D BA CG 1 2 。