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1、- 1 - 2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式abab ab 22 ()() 完全平方公式aabbab 222 2() 立方和、立方差公式ababaabb 3322 () () 补充：欧拉公式： abcabcabc abcabbcca 333222 3()() 1 2 222 ()()()() abcabbcca 特别地：（ 1）当a bc0时，有abcabc 333 3 （2）当c 0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时 需要经过适当的组合、变形后
2、，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、 几何综合题中也有广泛的应用。因此，正 确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把aabb 22 22分解因式的结果是（） A. ()()()ab ab22B. ()()ab ab2 C. ()()ab ab2D. ()()ab ba 22 22 分析：aabbaabbab 222222 22212111()()。 - 2 - 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()ab ab2，故选择B。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合
3、公式的形式。 同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式2 32 xxm有一个因式是21x，求m的值。 分析： 由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可 求出m的值。 解：根据已知条件，设221 322 xxmxxaxb()() 则22212 3232 xxmxaxab xb()() 由此可得 2111 202 3 a ab mb ( ) ( ) ( ) 由（ 1）得a 1 把a 1代入（ 2），得b 1 2 把b 1 2 代入（ 3），得m 1 2 3. 在几何题中的应用。 例：已知abc、
4、、是 ABC的三条边，且满足abcabbcac 222 0，试判 断 ABC的形状。 分析：因为题中有abab 22 、，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成 2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解：abcabbcac 222 0 - 3 - 2222220 222 abcabbcac ()()()aabbbbcccaca 222222 2220 ()()()abbcca 222 0 ()()()abbcca 222 000， abbcca000， abc ABC为等边三角形。 4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数。 分析
5、：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为2123nn，（n为整数） 则()()2321 22 nn ()() () () 2321 2321 2 44 81 nnnn n n 由此可见，()()2321 22 nn一定是 8 的倍数。 5、中考点拨： 例 1：因式分解：xxy 32 4_ 。 解：xxyx xyx xyxy 3222 4422()()() 说明： 因式分解时， 先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻 底。 - 4 - 例 2：分解因式：288 3223 x yx yxy_ 。 解：288244 322322 x yx
6、yxyxy xxyy()22 2 xy xy() 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 题型展示： 例 1. 已知：ambmcm 1 2 1 1 2 2 1 2 3， 求aabbaccbc 222 222的值。 解：aabbaccbc 222 222 ()()abc abc 22 2 ()abc 2 ambmcm 1 2 1 1 2 2 1 2 3， 原式()abc 2 ()()() 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 2 mmm m 说明： 本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式 因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。 例 2.
7、 已知abcabc00 333 ， 求证：abc 555 0 证明：abcabcabcabcabbcca 333222 3()() 把abcabc00 333 ，代入上式， - 5 - 可得abc 0，即a0或b0或c0 若a 0，则bc， abc 555 0 若b0或c0，同理也有abc 555 0 说明：利用补充公式确定abc， ，的值，命题得证。 例 3. 若xyxxyy 3322 279，求xy 22 的值。 解：xyxyxxyy 3322 27()() 且xxyy 22 9 )1 (923 22 yxyxyx， 又xxyy 22 92( ) 两式相减得xy0 所以xy 22 9 说明
8、：按常规需求出xy，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过 程。 【实战模拟】 1. 分解因式： （1）()()aa231 22 （2）xxyxyx 52 22()() - 6 - （3）axya xyxy 2234 2()()() 2. 已知：x x 1 3，求x x 4 4 1 的值。 3. 若abc， ，是三角形的三条边，求证：abcbc 222 20 - 7 - 4. 已知： 2 10，求 2001 的值。 5. 已知abc， ，是不全相等的实数，且abcabcabc03 333 ，试求 （1）a bc的值；（ 2）a bc b ca c ab ()()() 111111
9、 的值。 - 8 - 【试题答案】 1. （1）解：原式()()()()aaaa231231 ()()4123aa ()()41 23aa 说明：把aa231，看成整体，利用平方差公式分解。 （2）解：原式xxyxxy 52 22()() xxyx 23 21()() xxyxxx 22 211()()() （3）解：原式() ()() xyaa xyxy 222 2 () ()xyaxy 22 2. 解：()x x x x 1 2 1 22 2 x x x x 2 2 22 11 2327()() ()x x x x 2 2 24 4 1 49 1 249，x x 4 4 1 47 3. 分
10、析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需 要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。 证明：abcbc 222 2 abbcc abc abc abc 222 22 2() () ()() abc， ，是三角形三边 abc0且abc ()()abcabc0 即abcbc 222 20 - 9 - 4. 解 2 10 ()()110 2 ，即 3 10 320013667 11() 5. 分析与解答：（1）由因式分解可知 abcabcabc 333 3() ()abcabbcca 222 故需考虑abcabbcca 222 值的情况， （2）所求代数式较复杂，考虑恒
11、等变形。 解：（ 1）abcabc 333 3 abcabc 333 30 又abcabc 333 3 ()()abc abcabbcca 222 ()()abcabcabbcca 222 0 而abcabbccaabbcca 222222 1 2 ()()() abc， ，不全相等 abcabbcca 222 0 abc0 （2）abc0 原式 1 222 abc abcbcacab()()() 而abc0，即abc() 原式 1333 abc bcbc() 1 3 abc bc bc() 1 3 3 abc abc() - 10 - 说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。