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1、- 1 - 11 、公式变形与字母系数方程 【知识精读】 含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母 的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。 公式变形实质上是解含有字母系数的方程 对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程 axb型，讨论如下： （1）当a 0时，此时方程axb为关于 x 的一元一次方程，解为：x b a （2）当a0时，分以下两种情况： 若b0，原方程变为00x，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数 个解； 若b0，原方程变为00xb b()，这是个矛盾等式，故原方程无解。 含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一
2、）求方程的解，其中包括：字母给出条件 和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。 下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程 【分类解析】 1. 求含有字母系数的一元一次方程的解 例 1. 解关于 x 的方程2 36 2ax b bx ac ab c () 分析：将 x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。 解：去分母得：1226axbcbxac 移项，得12 62axbxbcac - 2 - ()1262 2 1260 2 126 ab xbcac ab ab x bcac ab 2. 求含字母系数的分式方程的解 例 2. 解关于 x 的方程 a axb
3、b bxax 2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。 解：若 a、b 全不为 0，去分母整理，得 ()baxab 22 2 对ba 22 是否为 0 分类讨论： （1）当ba 22 0，即ab时，有02xab，方程无解。 （2）当ba 22 0，即ab时，解之，得x ab ab 2 若 a、b 有一个为0，方程为 12 xx ，无解 若 a、b 全为 0，分母为0，方程无意义 检验：当x ab ab 2 时，公分母()()axb bxa0，所以当abab0，时， x ab ab 2 是原方程的解。 说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b 全不
4、为 0 时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对 未知数的字母系数分类讨论求解。当a、b 中只有一个为0 时，方程也存在，但无解；当a、 b 全为 0 时，方程不存在。最后对字母条件归纳，得出方程的解。 3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件 - 3 - 例 3. 如果关于x 的方程 a xa b xb 11 有唯一解，确定a、b 应满足的条件。 分析：显然方程存在的条件是： a0且b0 解：若a 0且b0，去分母整理，得 ()()ba xab ba 当且仅当ba0，即ba时，解得 xab 经检验， xab是原方程的解 ab、应满足的条件：a0且
5、bba0， 说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b 全不为 0，然后在方程存 在的条件下，求有解且唯一的条件。因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。 4. 在其它学科中的应用（公式变形） 例 4. 在物理学中我们学习了公式Sv tat 0 2 1 2 ， 其中所有的字母都不为零。已知 S、v0、 t，试求 a。 分析： 利用字母系数方程完成公式变形，公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则这 个量就是未知数，其它的量均视为已知量，然后按解字母系数方程求解。 解：Sv tat 0 21 2 1 2 0 1 2 0 22 2 0 2 0 2 atv tS tat a v tS t
6、 5、中考点拨 例 1. 填空：在vvat 0 中，已知vva、 0 且a 0，则t _ 。 - 4 - 解：vvatatvv 00 a t vv a 0 0 例 2. 在公式P Fs t 中，已知P、 F、t 都是正数，则s 等于（） A. Pt F B. Ft P C. FP t D. 以上都不对 解：P Fs t PtFs s Pt F ，故选 A 说明：以上两题均考察了公式变形。 6、题型展示： 例 1. 解关于 x 的方程 xab c xbc b xca b abc30()， ， 解：原方程化为： xab c xbc b xca b 1110 即 xabc c xbca a xcab
7、 b 0 ()()xabc abc abc abc xabc xabc 111 0 000 111 0 0 ， 说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3 拆成3 个 1，正好能凑成公因式 xabc。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的 结构特征，才能找到合适的办法。 例 2. 解关于 x 的方程。 ax xabx xbabxaxbab()()()()() ()0 - 5 - 解：去括号：axa xbxb xab xabxab ab 222222 ()()() ()()()()abxabxab ababxab ab abx ab 222 2 0 2 说明：解含字
8、母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0， 如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。 例 3. 已知 za bz c d ，求 z。（cd0） 分析：本题是求z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，把 方程化归为axb a()0的形式，便可求解。 解：d0 d zac bz dzadbccz dzczadbc dc zadbc ()() () 又dc0 z bcad cd 【实战模拟】 1. 解关于 x 的方程 x mn x nm 11 ，其中mnmn00，。 2. 解关于 x 的方程()()aaxxa1422。 - 6 - 3. a 为何值
9、时，关于x 的方程 x x a a 1 2 23 5 的解等于零？ 4. 已知关于 x 的方程 x x m x3 2 3 有一个正整数解，求m 的取值范围。 5. 如果 a、b 为定值，关于x 的一次方程 3 3 2 6 kxaxbk ，无论取何值，它的根总 是 1，求 a、b 的值。 - 7 - 【试题答案】 1. 解：去分母，得nxmmxn nxmxmn nm xmn mnnm x mn nm () 0 1 2. 解：原方程变为()aaxxa 2 5422 ()aaxa 2 562 即()()aaxa232 （1）当a2且a3时，得x a 1 3 （2）当a2时，原方程变为00x x为任意
10、数，即原方程有无数个解 （3）当a 3时，原方程为01x ，此时原方程无解。 3. 解：去分母，得 axaxaxax552436 ()815a xa 当a 8时，方程有唯一解，x a a 15 8 设 15 8 0 a a ，则150 1 5 aa， 综上所述，当a 1 5 时，原方程的解为0。 4. 分析：解分式方程综合了分式的运算，整式方程等知识，除此之外，分式方程一般还 可能应用代数式的恒等变形的知识。 解： x x m x3 2 3 xxm xm 23 6 () 原方程有解，6m不能为增根 - 8 - 63m ，即m 3 又方程解为正整数 60m ，则m 6 当m6且m3时，原方程有正整数解 5. 分析：原方程是关于x 的一元一次方程，由题意把根代入原方程转化为解关于k 的方 程。 解：6 212kxaxbk ()61122kxabk 由题意得x1代入上式得： () () 61122 6132 kxabk b ka k有无数解， 60 1320 b a 解得ab 13 2 6，