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1、一元二次方程培优 考点精析 考点一、概念 (1) 定义： 只含有一个未知数 ，并且 未知数的最高次数是 2 ， 这样的 整式方程 就是一元二次方程。 (2) 一般表达式：)0(0 2 acbxax 难点： 如何理解“未知数的最高次数是2” ： 该项系数不为“0” ； 未知数指数为“2” ； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方 程或不等式加以讨论。 典型例题 ： 例 1、 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A 1213 2 xxB 02 11 2 xx C 0 2 cbxaxD 12 22 xxx 变式： 当 k 时，关于x 的方程32 22 xxkx是一元二次方程。
2、 例 2、 方程0132mxxm m 是关于 x 的一元二次方程， 则 m 的值为。 考点二、方程的解 概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 应用： 利用根的概念求代数式的值； 2、一元二次方程的解法 （ 1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） 2 (0)xa a解为：xa 2 ()(0)xab b解为：xab 2 ()(0)axbc c解为：axbc 22 ()() ()axbcxdac解为：()axbcxd （ 2）因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如： 2 0( ,0)()0axbxa bx axb此类方程适合用提供因此，而且其中 一个根为0 2 9
3、0(3)(3)0xxx 2 30(3)0xxx x 3 (21)5(21)0(35)(21)0xxxxx 注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。 22 694(3)4xxx 22 41290(23)0xxx 2 4120(6)(2)0xxxx 2 251 20( 23 ) (4 )0xxxx 十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。 （ 3）配方法 二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2 进行配方，如 下所示： 222 0()()0 22 PP xPxqxq 示例： 222 33 310()()10 22 xxx 二次项的系数不为“1”的时候：先提取
4、二次项的系数，之后的方法同上： 2222 0 (0)()0 ()()0 22 bbb axbxcaa xxca xac aaa 22 22 2 4 ()() 2424 bbbbac a xcx aaaa 示例： 2222 1111 210(4 )10(2)210 2222 xxxxx 备注： 实际在解方程的过程中，一般也只是针对1a且b为偶数时，才使用配方 法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 （4） 公式法：一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 当 2 40bac时 ， 右 端 是 正 数 因 此 ， 方 程 有 两
5、 个 不 相 等 的 实 根 ： 2 1,2 4 2 bbac x a 当 2 40bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： 1,2 2 b x a 当 2 40bac时，右端是负数因此，方程没有实根。 注意： 虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方 法的选用。 备注：公式法解方程的步骤： 把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式： 2 0 (0)axbxca，并确定出a、 b、c 求出 2 4bac，并判断方程解的情况。 代公式： 2 1,2 4 2 bbac x a （要注意符号） 备注：一元二次方程的解题步骤： 首先看方程中, ,a b c是否可
6、以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算： 如： 2 10100500xx（同除于10） 2 1050xx这样更加方便计算。 2113 0 244 xx（ 同 乘 于4， 这 样 二 次 项 的 系 数 为 正 整 数 ， 更 方 便 计 算 ） 2 230xx 四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解， 配方法和公式法的顺 序考虑选用。 可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考 虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。 典型例题 ： 例 1、 已知32 2 yy的值为 2，则124 2 yy的值为。 例 2 、 关于x 的
7、一元二次方程042 22 axxa的一个根为0 ，则a 的值为 。 说明： 任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例 3、已知关于 x 的一元二次方程00 2 acbxax的系数满足bca，则此方程 必有一根为。 说明： 本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1 ”巧解代数 式的值。 例 4、 已知ba,是方程04 2 mxx的两个根，cb,是方程058 2 myy的两个根， 则 m 的值为。 典型例题 ：因式分解 例 1、 3532xxx 的根为（） A 2 5 xB 3xC 3, 2 5 21 xxD 5 2 x 例 2、若04434 2 yxyx，则 4
8、x+y 的值为。 变式 1： 2222 2 22 ,06b则ababa。 变式 2：若032yxyx，则 x+y 的值为。 变式 3：若14 2 yxyx，28 2 xxyy，则 x+y 的值为。 例 3、方程06 2 xx的解为（） A.23 21，xx B.23 21，xx C.33 21，xx D.22 21，xx 例 4、解方程：0432132 2 xx 例 5、已知0232 22 yxyx,则 yx yx 的值为。 变式 ：已知0232 22 yxyx,且0, 0 yx,则 yx yx 的值为。 类型三、配方法00 2 acbxax 2 2 2 4 4 2a acb a b x 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。 典型例题 ： 例 1、试用配方法说明32 2 xx的值恒大于0。 例 2、已知 x、y 为实数，求代数式742 22 yxyx的最小值。 例 3、已知， x、yyxyx01364 22 为实数，求 y x的值。 例 4、分解因式：3124 2 xx