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1、初中数学竞赛专题选讲 一元二次方程的根 一 、内容提要 1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a 0)的实数根，是由它的系数a,b,c 的值确定的. 根公式是： x= a acbb 2 4 2 .(b 24ac0) 2.根的判别式 实系数方程ax 2+bx+c=0(a0)有实数根的充分必要条件是： b 24ac0. 有理系数方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根的判定是： b 24ac是完全平方式 方程有有理数根. 整系数方程x2+px+q=0 有两个整数根 p 24q 是整数的平方数 . 3.设 x1,x2是 ax 2+bx+c=0 的两个实数根，那么 ax12+bx1+c=0 (a
2、0，b 24ac0)， ax 2 2+bx 2+c=0(a0， b 24ac0)； x1= a acbb 2 4 2 ，x2= a acbb 2 4 2 (a0,b24ac0)； 韦达定理： x1+x2= a b , x1x2= a c (a0,b 24ac0). 4.方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a0)有一个整数根x1的必要条件是： x1是 c 的因数 . 特殊的例子有： C=0x1=0 ，a+b+c=0x1=1 ，ab+c=0x1= 1. 二、例题 例1.已知： a,b,c 是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x 2+x+b=0 与 x2 +ax+c=0
3、中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明（用反证法） 设两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么 10 和20. 即 1 04 041 2 cba ca b 由得 b 4 1 ，b+1 4 5 代入，得 ac=b+1 4 5 ，4c4a5 ： a 2 4a+50， 即（ a2） 2+10，这是不能成立的 . 既然 10 和20 不能成立的，那么必有一个是大于 0. 方程 x 2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根 . 本题也可用直接证法：当 120 时，则1和2中至少有一个是正数 . 例2.已知首项系数不相等的两个方程： （ a1）x 2(a2+2
4、)x+(a2+2a)=0 和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 ( 其中 a,b 为正整数 ) 有一个公共根.求 a,b 的值 . 解：用因式分解法求得： 方程的两个根是a 和 1 2 a a ；方程两根是b 和 1 2 b b . 由已知 a1,b1 且 ab. 公共根是a= 1 2 b b 或 b= 1 2 a a . 两个等式去分母后的结果是一样的. 即 aba=b+2, ab ab+1=3, (a1)(b1)=3. a,b 都是正整数， 31 11 b a ；或 11 31 b a . 解得 4 2 b a ；或 2 4 b a . 又解：设公共根为x0那么 （ 0)2(
5、)2()1 0)2()2()1( 22 2 0 22 2 0 bbxbxb aaxaxa 先消去二次项： （ b1）（ a1）得 （ a2+2） (b1)+(b 2+2)(a1)x 0+(a 2+2a)(b1) (b2+2b)(a1)=0. 整理得（ab）(ab ab2)(x01)=0. ab x01；或(abab2) 0. 当 x0 1 时，由方程得a=1, a1=0， 方程不是二次方程. x0不是公共根 . 当(abab2)0 时，得(a1)(b1)=3解法同上 . 例 3.已知： m,n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0 的两根差与方程 y 2+ny+m=0 的两根 差相等 .
6、求： m+n的值 . 解：方程两根差是 21 xx 2 21 )xx（ 21 2 21 4)(xxxx nm4 2 同理方程两根差是 21 yymn4 2 依题意，得nm4 2 mn4 2 . 两边平方得： m24n=n 24m. （ mn）(m+n+4)=0 mn， m+n+4 0，m+n 4. 例 4.若 a,b,c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a 0)没有有理数根 . 证明：设方程有一个有理数根 n m （m,n 是互质的整数）. 那么 a( n m ) 2+b( n m )+c=0,即 an 2+bmn+cm2=0. 把 m,n 按奇数、偶数分类讨论， m,n 互质，不
7、可能同为偶数. 当 m,n 同为奇数时，则an2+bmn+cm 2 是奇数奇数奇数奇数0； 当 m 为奇数 ,n 为偶数时， an 2 +bmn+cm 2 是偶数偶数奇数奇数0； 当 m 为偶数 ,n 为奇数时， an2+bmn+cm 2 是奇数偶数偶数奇数0. 综上所述 不论 m,n 取什么整数，方程a( n m ) 2+b( n m )+c=0 都不成立 . 即假设方程有一个有理数根是不成立的. 当 a,b,c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a 0)没有有理数根 . 例 5.求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B 与矩形 A 的周长比和 面积比都等于k(k1).
8、证明：设矩形A 的长为 a,宽为 b，矩形 B 的长为 c,宽为 d. 根据题意，得k ab cd ba dc . c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韦达定理的逆定理，得 c,d 是方程 z 2(a+b)kz+abk=0 的两个根 . （ a+b）k 24abk （ a2+2ab+b 2）k24abk =k(a 2+2ab+b2)k 4ab k1，a 2+b2 2ab, a 2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k 4ab. 0. 一定有c,d 值满足题设的条件. 即总存在一个矩形B，使得矩形B 与矩形 A 的周长比和面积比都等于k(k 1). 例 6.k 取什么整数值时，下列
9、方程有两个整数解？ （ k 21）x26(3k1)x+72=0 ； kx 2+(k22)x(k+2)=0. 解：用因式分解法求得两个根是：x1= 1 12 k ，x2= 1 6 k . 由 x1是整数，得 k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12. 由 x2是整数，得 k 1=1, 2, 3, 6. 它们的公共解是：得k=0,2, 2,3,5. 答：当 k=0,2,2,3,5 时，方程有两个整数解. 根据韦达定理 k k k k xx k k k k xx 22 22 21 2 21 x1, x2,k都是整数， k=1， 2.（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把 k
10、=1,1,2,2，分别代入原方程检验，只有当k=2 和 k=2 时适合 . 答：当 k 取 2 和 2 时，方程有两个整数解. 三、练习 1.写出下列方程的整数解： 5x 2 3x=0 的一个整数根是x=0 . 3x 2+( 23)x 2=0 的一个整数根是x=1 . x2+( 5+1)x+5=0 的一个整数根是x=-1. 2.方程（ 1m）x 2x1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是 5/4 . 3.已知方程x 2(2m1)x4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则 m=1 . 4.若 x y ，且满足等式x 2+2x5=0 和 y 2 +2y5=0. 那么 yx 11 1.（提示： x,y 是方程 z 2+5z 5=0 的两个根 .） 5.如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2 倍，那么p,q 应满足的关系 是：9q=2p2. 6.若方程 ax 2+bx+c=0 中 a0, b0,c1） 15.由韦达定理 ,把左边化为p,q 16. x 2 3x+2=0 17.C18.C