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1、专业文档 珍贵文档 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分 步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中 的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加 法原理来解决 还有这样的一种情况：就是在做一件事时
2、，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方 法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： 加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的 不同方法数等于各类方法数之和 乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘 积 在很多题目中， 加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理， 综合分析，正确作出分类和分步 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样
3、的问 题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“ 加法分类，类类独立” 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不 可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“ 乘法分步，步步相关” 【例1】5 条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5 条直线的交点为 顶点能构成几个三角形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 方法一： 5 条直线一共形成5 4210个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，每条直线上另 外 有3个 点 ， 此 外 还 有 三 个 不 共 线 的 点 ， 以 这 个
4、点 为 顶 点 的 三 角 形 就 有 333 33 332230个三角形，以10 个点分别为定点的三角形一共有300 个三角形，但 每个三角形被重复计算3 次，所以一共有100 个三角形 方法二：只要三点不共线就能构成三角形，所以我们先求出10 个点中取出3 个点的种数，再减去3 点共线的情况这10 个点是由5 条直线互相相交得到的，在每条直线上都有4 个点存在共线的情 教学目标 例题精讲 知识要点 7-3-3 加乘原理之图论 专业文档 珍贵文档 况，这 4 个点中任意三个都共线，所以一共有5432(32 1)20 个三点共线的情况，除此 以外再也没有3 点共线的情况 (用反证法可证明之)，
5、 所以一共可以构成1098(32 1)20100 种情况 【答案】 100 【例2】如图，有这样的两条线，请问从这5个点中任选三个点可以构成个不同的三角形 【考点】 加乘原理之图论【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第4 题 【解析】 只要三点不共线，就能构成三角形。 3 5 28C个 【答案】8个 【例3】直线 a，b 上分别有5 个点和 4 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ b a 【考点】加乘原理之图论【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第6 题 【解析】 画三角形需要在一条线上找1 个点，另一条线上找2 个点，本题分为两种情
6、况： 在 a线上找一个点，有5 种选取法，在b线上找两个点，有4326种 根据乘法原理，一共有：5630个三角形； 在b线上找一个点，有4 种选取法，在a线上找两个点，有54210种 根据乘法原理，一共有：41040个三角形； 根据加法原理，一共可以画出： 304070个三角形 【答案】70 【巩固】直线 a，b 上分别有4 个点和 2 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ b a 【考点】加乘原理之图论【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 画三角形需要在一条线上找1 个点，另一条线上找2 个点，本题分为两种情况： 在 a线上找一个点， 有 4 种选取法， 在b线上找两个点， 有 1种
7、， 根据乘法原理， 一共有： 4 14 个三角形； 在b线上找一个点， 有 2种选取法， 在 a 线上找两个点， 有4326种，根据乘法原理， 一共有： 2612个三角形； 根据加法原理，一共可以画出：41216个三角形 【答案】16 【巩固】直线 a，b 上分别有5 个点和 4 个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 画四边形需要在每条线上取2 个点， 在 a线上取 2 个点共有 54210种， 专业文档 珍贵文档 在b线上取 2 个点共有4 326种， 根据乘法原理，一共可以画出6 1060个四边形 【答案】60 【巩固】三
8、条平行线上分别有2，4，3 个点 (下图 )，已知在不同直线上的任意三个点都不共线问：以这些 点为顶点可以画出多少个不同的三角形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】 3 星【题型】解答 【解析】(方法一 )本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况 三个顶点在两条直线上， 一共有4322322232244 3234355个 三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线， 所以一共有：24 324个 根据加法原理，一共可以画出552479个三角形 (方法二 )9个点任取三个点有987(321)84 种取法，其中三个点都在第二条直线上有4种， 都在第三条直线上有1种，所以一共
9、可以画出844179个三角形 【答案】 79 【例4】一个半圆周上共有12 个点，直径上5个，圆周上7 个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有76532135（）种； 第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有762 15105（）种； 第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7542170（）种； 根据加法原理，一共可以画出35 10570210种 【答案】210 【例5】在一个圆周上均匀分布10 个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？(补充
10、知识： 由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如 果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形) 【考点】加乘原理之图论【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 由于 10 个点全在圆周上，所以这10 个点没有三点共线，故只要在10 个点中取 3 个点，就可以画出 一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小 的圆周上，则这三个点构成钝角三角形，这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点之 间仅相隔一个点，这样的三角形有10 110个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形 有10220个，
11、第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10 330个，所以一共可以 画出10203060个钝角三角形 【答案】60 【例6】从 1 至 9 这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字 之和都是不能被3 整除的奇数，那么最多能找出种不同的挑法来(六个数字相同、排列次 专业文档 珍贵文档 序不同的都算同一种) 【考点】加乘原理之图论【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶，因此，应从2，4，6，8 中选 3个数填入3 个不相邻的 圆圈中，下面就按此分类列举： 填入 2，4，6，这时 3 与 9 不能同时填入(否则总有一个与6 相邻，3 6或96能被 3 整除 )，没 有 3， 9 的有 1 种： 1，5，7，经试填，不成立；有3 或 9 的，其它3 个奇数 1，7 中选一个， 5 必 选，有 2 种选法，因此有 224种 填入 2，4，8，这时 1，7 不能填入 (因为72，78，12，18都能被 3 整除 )，从其余3 个奇 数中选出1 个，有 1 种选法 填入 2，6，8，这时 1，7 不能填入，故无法填 填入 4，6，8，这时 3 与 9 只能任选一个， 1 与 7 也只能任选1个， 第三个数是5，因而有224 种选法 根据加法原理，总共有41049种选法 【答案】9