加法原理之分类枚举(一).教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 1.使学生掌握加法原理的基本内容； 2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别； 3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则 加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻 炼思维的周全细致 一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做 法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决 例如 :王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津， 有 4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去天

2、津能有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5 种走法，如果乘长途汽车，有4 种走法上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9 种不同的走 法 在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可 以完成并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的 方法数 二、加法原理的定义 一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有 1 m 种不同做法， 第二类方法中有 2 m 种不同做法， ， 第 k 类方法中有 km 种不同做法，则完成这件

3、事共有12kNmmm种不同方法，这就是加法原理 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问 题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“ 加法分类，类类独立” 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分 类时要注意满足两条基本原则： 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法 只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数通俗地说，就是“ 整体等于局 部之和 ” 三、加法原理解题三部曲 1、完

4、成一件事分N 类； 2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加 枚举法： 枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数分类讨论的时候经常会需 要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏 知识要点 教学目标 7-1-1. 加法原理之分类枚举 （一） 专业文档 珍贵文档 模块一、分类枚举 数出来的种类 【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8 种，不同的课外书20 本，不同的纪 念品 10 种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？ 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 2 星【

5、题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8 种方法；第二类，买课外书，有20 种方法；第 三种，买纪念品，有10 种方法根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38 种方法 【答案】 38 【巩固】有不同的语文书6 本，数学书4 本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？ 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 根据加法原理，共有6+4+3+2=15 种取法 【答案】 15 【巩固】阳光小学四年级有3 个班，各班分别有男生18 人、 20 人、 16 人从中任意选一人当升旗

6、手，有多 少种选法？ 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 解决这个问题有3 类办法：从一班、二班、三班男生中任选1 人，从一班18 名男生中任选1 人有 18 种选法：同理，从二班20 名男生中任选1 人有 20 种选法；从三班16 名男生中任意选1 人有 16 种选法；根据加法原理，从四年级3 个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654 种 【答案】 54 【例2】和为 15 的两个非零自然数共有对。 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第11 题 【解析】 ，举例为：1与14

7、，2与 13， 3与12，4与11， 5 与 10 ， 6 与 9 ， 7与 8，共计 7 对。 【答案】 7 对 【例3】用 1 至 8 这八个自然数中的四个组成四位数，从个位到千位的数字依次增大，且任意两个数字的差 都不是 1，这样的四位数共有人。 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第10 题 【解析】 1357，1358，1368，1468，2468 共 5 个 【答案】 5 个 【例4】三张数字卡片0，2，4 可以组成 _个能被 4 整除的不同整数。 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，

8、二试，第6 题 【解析】 240、204、420 共 3个 【答案】 3个 【巩固】节目期间，小明将6 个彩灯排成一列，其中有2 个红灯， 4 个绿灯，如果两个红灯不相邻，则不同 的排法有 _种（其中 “ 红绿红绿绿绿 ” 与“ 绿绿绿红绿红” 类型算作一种） 。 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第5 题 【解析】 红灯看作 “1”，绿灯看作 “0”则有： 000101、001001、001010、010001、010010、100001 这六种 【答案】 6 例题精讲 专业文档 珍贵文档 【例5】从 1、2、3、4、 5、6 这些数中，

9、任取两个数，使其和不能被3 整除，则有 _种取法。 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第10 题 【解析】 共有选 1 和 3、1 和 4、1 和 6、2 和 3、2 和 5、2 和 6、3 和 4、3 和 5、4 和 6 以及 5和 6 共 10 种选 法。 【答案】 10 种 【巩固】从 l 9这 9 个数码中取出3 个，使它们的和是3 的倍数，则不同取法有_种。 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第13 题 【解析】 （1）3 个数都是3 的倍数，有1 种情况（ 2）3 个数除以3

10、 都余 1，有 1 种情况（ 3）3 个数除以3 都 余 2，有 1 种情况（ 4）一个除以3 余 1，一个除以3 余 2，一个是3 的倍数，有：3 3 3=27 种情况 所以，一共有1+1+1+27=30 种不同取法。 【答案】 30 种 【例6】小明的两个口袋中各有6 张卡片，每张卡片上分别写着1，2， 3， ，6。从这两个口袋中各拿出 一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被6 整除的不同乘积有_个。 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第22 题 【解析】 乘积中最小1，最大为36，能被 6 整除的有 6、12、18、24、3

11、0、36 共 6 个 【答案】 6 个 【例7】老师带着佳佳、芳芳和明明做计算练习.老师先分别给他们一个数，然后让他们每人取3 张写有数的 卡片 .佳佳取的是3、6、 7，芳芳取的是4、5、6，明明取的是4、5、8.这时老师让他们分别取自己 卡片上的两个数相乘，再加上开始老师给他们的数.如果老师开始时给他们的数依次是234、 235、 236， 而且他们计算都正确，那么可能算出_个不同的数 . 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，7 题 【解析】佳佳可以得到的乘积是18，21，42，芳芳可以得到的乘积是20，24，30，明明可以得到的乘积是

12、20， 32，40，那么佳佳可以得到的数是252，255，276，芳芳可以得到的数是255，259，265，明明 可以得到的数是256，268，276 所以一共可以得到7 个不同的数。 【答案】 7 个 【例8】如果三位数m同时满足如下条件：m的各位数字之和是7； 2m 还是三位数，且各位数字之和 为 5那么这样的三位数m共有个 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复赛，2 题 【解析】 三位数 2m可以是 500，410，320，230，140，302，212，122，104；得到m可以是 250，205，160， 115，70，157，106，

13、61，52，两位数的均舍去，所以符合条件的共有6 个 【答案】 6 个 【例9】把数 1， 2，3，4，5， 6 分为三组（不考虑组内数的顺序也不考虑组间的顺序），每组两个数，每组 的数之和互不相等且都不等于6，共有 _种分法 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第7 题 【解析】 枚举法：1,2 , 3,4 , 5,6; 1,2 , 3,5 , 4,6 ， 1,3 , 2,5 , 4,6; 1,3 , 2,6 , 4,5 1,4 , 2,5 , 3,6 ； 1,6 , 2,3 , 4,5共有 6种。 【答案】 6 种 【例10】自然数 12，

14、 456， 1256 这些数有一个共同的特点，相邻两个数字， 左边的数字小于右边的数字我 专业文档 珍贵文档 们取名为 “ 上升数 ” 用 3，6， 7，9 这四个数，可以组成个“ 上升数 ” 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，1 年级，第6 题 【解析】 这样的 “ 上升数 “ 是 36，37，39， 67，69，79，367，369，379， 679，3679 一共有 11 个 【答案】11个 【巩固】自然数 21，654，7521 这些数有一个共同的特点，相邻两个数字，左边的数字大于右边的数字我 们取名为 “ 下降数 ” 用 4， 6，7， 9

15、这四个数，可以组成个“ 下降数 ” 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第5 题 【解析】 这样的 “ 下降数 “ 是 9764，976，974，964，764，97，96，94，76，74，64，一共有11 个 数学方法之枚举 【答案】 11个 【例11】将左下图中20 张扑克牌分成10 对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，两 张牌上的数的乘积除以10 的余数是1?(将 A 看成1) 【考点】加乘原理之综合运用【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第6 题 【解析】 本题实际上是求1到 10 这些数中，取出2

16、个数（可以重复）相乘，能组成几个个位是1 的数 .显然， 双数不成 .所以只能是1 1，3 7，7 3 和 9 9，共 4 对. 【答案】4对 模块二、分类枚举 分类 【例12】甲、乙、丙三个工厂共订300 份报纸，每个工厂至少订了99 份，至多 101 份，问：一共有多少 种不同的订法？ 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 甲厂可以订99、 100、101 份报纸三种方法 如果甲厂订99 份，乙厂有订100 份和 101 份两种方法，丙厂随之而定 如果甲厂订100 份，乙厂有订99 份、 100 份和 101 份三种方法，丙厂随之而定 如

17、果甲厂订101 份，乙厂有订99 份和 100 份两种方法，丙厂随之而定 根据加法原理，一共有2327 种订报方法 【答案】 7 【巩固】大林和小林共有小人书不超过9 本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？ 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 大林和小林共有9 本的话，有10 种可能；共有8 本的话，有9 种可能， ，共有 0 本的话，有1 种可能，所以根据加法原理，一共有10+9+3+2+1=5 5 种可能 【答案】 55 【例13】从 110 中每次取两个不同的数相加，和大于10 的共有多少种取法？ 【考点】加法原理之分类枚举【

18、难度】 3 星【题型】解答 【解析】 根据第一个数的大小，将和大于10 的取法分为9 类： 专业文档 珍贵文档 因此，根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10 【答案】 25 【巩固】从 18 中每次取两个不同的数相加，和大于10 的共有多少种取法？ 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 两个数和为11 的一共有3 种取法； 两个数和为12 的一共有2 种取法； 两个数和为13 的一共有2 种取法； 两个数和为14 的一共有1 种取法； 两个数和为15 的一共有1 种取法； 一共有 3+2+2+1+1=9

19、 种取法 【答案】 9 【例14】思思想将 3 个相同的小球放入A、B、 C 三个盒中，那么一共有_种不同的放法 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第3 题 【解析】 3 个球全放在一个盒子中，3 种， 2 个球放在一个盒子中，还有1 个球单放，326 种，一个盒子 一个球，因为球是一样的，所以就1 种，共有 36110 种 【答案】 10 种 【例15】四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张问： 一共有多少种不同的方法？ 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想

20、【解析】 设四个学生分别是A，B，C， D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d 先考虑 A 拿 B 做的贺年片b 的情况（如下表） ，一共有3 种方法 同样， A 拿 C 或 D 做的贺年片也有3 种方法 一共有 3 33=9（种）不同的方法 【答案】 9 【例16】一次，齐王与大将田忌赛马每人有四匹马，分为四等田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序 依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自 己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等田忌 有_种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛 【考点】加法原理之

21、分类枚举【难度】 4 星【题型】解答 专业文档 珍贵文档 【关键词】分类讨论思想，第六届，走美杯 【解析】 第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛， 若三场全胜，则只有一种出场方法； 若胜两场，则又分为三种情况： 二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有 这一种情况； 二，四两场胜，此时有三种情况； 三，四两场胜，此时有七种情况； 所以一共有 113712 种方法 【答案】12 【例17】给定三种重量的砝码（每种数量都有足够多个）3kg ， 11kg ，17kg ，将它们组合凑成100kg 有 种，不同的方法（每种砝码至少用

22、一块。） 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第1 题 【解析】 10032411 1 171， 1003 13114171 ， 32117171100 ， 3711 1174100 ， 311113172100 ， 39112173100，一共有 6 种。 【答案】 6 种 【例18】把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 把一元钱换成角币，有三类分法：第一类：有五角币2 张，只有1 种换法： 第二类：有五角币1 张，

23、则此时二角币可以有0， 1，2 张，相应的，一角币有5，3， 1 张，有 3 种换法； 第三类：有五角币0 张，则此时二角币可以有0，1，2，3，4，5 张，相应的，一角币有10，8，6， 4，2，0 张，有 6 种换法 所以，根据加法原理，总共的换法有13610 种 【答案】 10 【巩固】一把硬币全是2 分和 5 分的，这把硬币一共有1 元，问这里可能有多少种不同的情况？ 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 按 5 分硬币的个数对硬币情况进行分类： 如果 5 分硬币有奇数个，那么无论2 分硬币有多少个都不能凑成100 分如表当5 分硬币

24、的个数为 020 的偶数时，都有对应个数的2 分硬币所以一共有11 种不同的情况 【答案】 11 【巩固】用若干个1 分、 2 分、 5 分的硬币组成一角钱(不要求每种硬币都有)，共有（）种不同的方法 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第4 题 【解析】 此题采用枚举法，具体如下： 专业文档 珍贵文档 共有 10 种情况 【答案】 10 种 【例19】用 100 元钱购买2 元、 4 元或 8 元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法? 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 如果买 0

25、 张 8 元饭票，还剩100 元，可以购买4 元饭票的张数为025 张，其余的钱全部购买2 元 饭票，共有26 种买法； 如果买l 张 8 元饭票，还剩92 元，可购4 元饭票023 张，其余的钱全部购买2 元饭票，共有24 种不同方法； 如果买 2 张 8 元饭票，还剩84 元，可购4 元饭票 021 张，其余的钱全部购买2 元饭票，共有22 种不同方法； 如果买 12 张 8 元饭票， 还剩 4 元饭票， 可购 4元饭票 01 张，其余的钱全部购买2 元饭票， 共有 2 种方法 总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是 13 的等差数列利用分类计数原理 及等差数列求和公式求

26、出所有方法： 26+24+22+ +2=(26+2) 13 2=182(种)共有 182 种不同的买法 【答案】 182 【巩固】一个文具店橡皮每块5 角、圆珠笔每支1 元、钢笔每支2 元 5 角小明要在该店花5 元 5 角购买两 种文具，他有多少种不同的选择 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，6 题，分类讨论思想 【解析】 一共三种文具，要买两种文具那么就可以分三类了 第一类：橡皮和圆珠笔5 元 5 角=55 角=11 块橡皮（要买两种，所以这个不考虑） =9 块橡皮 +1 只圆珠笔 =7 块橡皮 +2 只圆珠笔 =5 块橡皮 +3 只圆

27、珠笔 =3 块橡皮 +4 只圆珠笔 =1 块橡皮 +5 只圆珠笔第一类共5 种 第二类：橡皮和钢笔55 角=11 块橡皮（不做考虑） =6 块橡皮 +1 只钢笔 =1 块橡皮 +2 只钢笔第二类共2 种 第三类：圆珠笔和钢笔 55 角=11 块橡皮（不做考虑） =1 只钢笔 +3 只圆珠笔第三类共1 种 【答案】 8 专业文档 珍贵文档 【巩固】有面值为1 分， 2分， 5 分的硬币各4 枚，用它们去支付2 角 3 分问：有多少种不同的支付方法? 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第7 题 【解析】 要付 2 角 3 分钱，即23 分最多只能使用4

28、 枚 5 分币。因为全部1 分和 2 分币都用上时，共值12 分，所以最少要用3 枚 5 分币使用3 枚 5 分币时， 5 315，23 158，所以使用2 分币最多4 枚，最少2 枚，可有23 15(22 22)，2315 十(222 十 11)2315(2211 11)，3 种支付方法当使用4 枚 5 分币时， 5 420，23203。所以 2 分币最多使用1枚，从 而可有 2320(21)2320 (111）2 种支付方法，于是，共有5 种不同的支付方法 【答案】 5 种 【例20】用 1 元、 5 元、 10 元、 50 元、 100 元人民币各一张，2 元、 20 元人民币各两张，在不找钱的情 况下，最多可以支付种不同的款额。 【考点】加法原理之分类枚举【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第5 题 【解析】 1、2、2、5 可以组成1 到 10 的所有数， 10、20、20、50 可以组成10 到 100 的所有数，再加上100， 故可以组成1 到 210 的所有数。 【答案】 210 种